Isosceles משולש תכונות, נוסחה שטח, חישוב

א משולש משקפיים זהו מצולע דו צדדי, שבו שניים מהם יש את המדידה אותו ואת הצד השלישי מדידה שונה. הצד האחרון הזה נקרא בסיס. בשל תכונה זו הוא קיבל את השם הזה, אשר ביוונית פירושו "רגליים שוות"

משולשים הם מצולעים נחשבים הפשוטים ביותר בגיאומטריה, כי הם נוצרים על ידי שלושה צדדים, שלוש זוויות ושלושה קודקודים. הם אלה שיש להם לפחות מספר צדדים וזוויות ביחס המצולעים האחרים, אולם השימוש בו הוא נרחב מאוד.

אינדקס

• 1 מאפיינים של משולשים משקפיים
  • 1.1 רכיבים
• 2 מאפיינים
  • 2.1 זוויות פנימיות
  • 2.2 סכום הצדדים
  • 2.3 צדדים חופפים
  • 2.4 זוויות חופפות
  • 2.5 גובה, חציון, bisector bisector הם מקריים
  • 2.6 גבהים יחסית
  • 2.7 אורתונטר, בריסקנטר, אינקרנטר וניתוח
• כיצד לחשב את ההיקף?
• כיצד לחשב את הגובה?
• כיצד לחשב את השטח?
• כיצד לחשב את בסיס המשולש?
• תרגילים
  • 7.1 תרגיל ראשון
  • 7.2 תרגיל שני
  • 7.3 תרגיל שלישי
• 8 הפניות

מאפיינים של משולשים משקפיים

משולש השוליים היה מסווג באמצעות מדד צדדיו כפרמטר, שכן שני הצדדים שלה הם חופף (יש להם את אותו אורך).

לפי המשרעת של הזוויות הפנימיות, משולשי השוליים מסווגים כ:

• משולש משקפיים משולש: שני הצדדים שלה שווים. אחת הזוויות שלו ישר (90^o) והאחרים זהים (45)^o כל אחד מהם)
• Isosceles אטום משולש זווית: שני הצדדים שלה שווים. אחת הזוויות שלו היא אטומה (> 90^o).
• Isosceles חריפה זווית משולש: שני הצדדים שלה שווים. כל זוויותיה חדות (< 90^o), שבו שני יש את אותו מידה.

רכיבים

• החציון: הוא קו שיוצא מאמצע צד אחד ומגיע לקודקוד הנגדי. שלושת החציונים מסכימים בנקודה הנקראת centroid או centroid.
• ביסקטור: היא קרן המחלקת את הזווית של כל קודקוד לשני זוויות בגודל שווה. לכן הוא ידוע כציר הסימטריה ולמשולש מסוג זה יש רק אחד.
• המטפל: הוא קטע בניצב לצד המשולש, שמקורו באמצע זה. ישנם שלושה mediatices משולש והם מסכימים בנקודה הנקראת Circuncentro.
• הגובה: הוא הקו שהולך מן הקודקוד לצד בצד ההפוך וגם הקו הזה הוא מאונך לצד הזה. כל המשולשים יש שלושה גבהים, אשר חופפים בנקודה הנקראת orthocenter.

מאפיינים

משולשים משולשים מוגדרים או מזוהים כי יש להם כמה מאפיינים המייצגים אותם, שמקורם במשפטים המוצעים על ידי מתמטיקאים גדולים:

זוויות פנימיות

סכום הזוויות הפנימיות שווה תמיד ל -180^o.

סך כל הצדדים

סכום הצעדים של שני הצדדים חייב להיות תמיד גדול יותר ממדידת הצד השלישי, + b> c.

צדדים חופפים

למשולשים יש שני צדדים עם אותו אורך או אורך; כלומר, הם חופפים והצד השלישי שונה מהם.

זוויות חופפות

משולשים איסוסל ידועים כמו זוויות איסו זוויות מדי, כי יש להם שתי זוויות שיש להם את אותו מידה (congruents). אלה ממוקמים בבסיס המשולש, הפוכה לצדדים בעלי אורך זהה.

מסיבה זו, המשפט הקובע כי:

"אם למשולש יש שני צדדים חופפים, הזוויות מול אותם הצדדים יהיו גם חופפות". לכן, אם המשולש הוא isosceles זוויות הבסיסים שלה חופפים.

דוגמה:

האיור הבא מציג משולש ABC. על ידי מעקב bisector שלה מקודקוד של זווית B לבסיס, המשולש מחולק לשני משולשים שווה BDA ו- BDC:

לכן, זווית של קודקוד B היה מחולק גם לשתי זוויות שוות. Bisector הוא עכשיו צד (BD) משותף בין שני משולשים חדשים, בעוד הצדדים AB ו- BC הם הצדדים חופף. אז יש לך את המקרה של צד קונגרנס, זווית, צד (LAL).

זה מראה כי זוויות של קודקודים A ו- C יש את אותו מידה, בדיוק כפי שהוא יכול גם להראות כי מאז משולשים BDA ו BDC הם חופף, הצדדים AD ו- DC הם גם חופף..

גובה, חציון, bisector bisector הם צירוף מקרים

הקו המצויר מקודקוד מול הבסיס עד אמצע בסיס משולש האיסוסל, הוא בעת ובעונה אחת הגובה, החציון והביסקטור, כמו גם את bisector יחסית לזווית ההפוכה של הבסיס.

כל המקטעים הללו חופפים זה לזה.

דוגמה:

האיור הבא מציג את המשולש ABC עם נקודת אמצע M המחלק את הבסיס לשני חלקים BM ו- CM.

כאשר אתה מצייר קטע מנקודה M אל הקודקוד הנגדי, לפי ההגדרה אתה מקבל את חציון AM, אשר יחסית לקודקוד A ואת הצד לפנה"ס.

מאז קטע AM מחלק את המשולש ABC לשני משולשים שווים AMB ו AMC, זה אומר כי במקרה של צד, זווית, חפיפה בצד יילקחו ולכן AM יהיה גם bisector של BÂC.

לכן bisector תמיד יהיה שווה חציון ולהיפך.

קטע AM יוצר זוויות שיש להם את אותה מידה עבור משולשים AMB ו AMC; כלומר, הם משלימים כך שהמדד של כל אחד מהם יהיה:

(AMB) + Med (AMC) = 180^o

2 _* Med (AMC) = 180^o

Med (AMC) = 180^o ÷ 2

Med (AMC) = 90^o

זה יכול להיות ידוע כי הזוויות שנוצרו על ידי קטע AM לגבי הבסיס של המשולש הם ישר, אשר מציין כי קטע זה הוא בניצב לחלוטין לבסיס.

לכן הוא מייצג את הגובה ואת bisector, בידיעה כי M הוא נקודת האמצע.

לכן קו ישר AM:

• מייצג את גובה לפנה"ס.
• הוא בינוני.
• הוא נכלל בתוך mediatrix של BC.
• זהו bisector של זווית קודקוד זווית

גבהים יחסית

הגבהים יחסית לצד שווה, יש את אותה מידה גם.

מאחר ומשולש המשקפיים יש שני צדדים שווים, שני הגבהים בהתאמה שלהם יהיו שווים.

Orthocenter, barycenter, incenter ו circumcenter חופפים

כאשר גובה, חציון, bisector ו bisector יחסית לבסיס, מיוצגים באותו זמן על ידי אותו קטע, את המרכז, מרכז centrocentric incenter ו circumcenter יהיו נקודות קוליניאריות, כלומר, הם יהיו באותו קו:

כיצד לחשב את המערכת?

ההיקף של מצולע מחושב על ידי סכום של הצדדים.

כמו במקרה זה משולש משקפיים יש שני צדדים עם אותו מידה, ההיקף שלה מחושב עם הנוסחה הבאה:

P = 2_*(צד a) + (צד ב).

כיצד לחשב את הגובה?

הגובה הוא קו מאונך לבסיס, מחלק את המשולש לשני חלקים שווים על ידי הארכת לקודקוד הנגדי.

הגובה מייצג את הרגל ההפוכה (א), חצי מהבסיס (b / 2) לרגל הסמוכה והצד "א" מייצג את ההיפוטנוס.

באמצעות משפט Pythagorean, אתה יכול לקבוע את הערך של גובה:

א² + .ב² = c²

היכן

א² גובה = (h).

.ב² = b / 2.

c² צד = a.

החלפת ערכים אלה במשפט פיתגורס, וניקוי גובה יש לנו:

ח² + (.ב / 2)² = א²

ח² + .ב² / 4 = א²

ח² = א² - .ב² / 4

h = √ (א² - .ב² / 4).

אם הזווית שנוצרה על ידי הצדדים חופף ידוע, גובה ניתן לחשב את הנוסחה הבאה:

כיצד לחשב את השטח?

השטח של המשולשים מחושב תמיד עם אותה נוסחה, הכפלת הבסיס על ידי גובה וחלוקת על ידי שני:

ישנם מקרים שבהם רק את המדידות של שני הצדדים של המשולש ואת זווית נוצר ביניהם ידועים. במקרה זה, כדי לקבוע את השטח יש צורך ליישם את היחסים trigonometric:

כיצד לחשב את בסיס המשולש?

כמו המשולש isosceles יש שני צדדים שווים, כדי לקבוע את הערך של הבסיס שלה צריך לדעת לפחות את גובה הגובה או אחד הזוויות שלה.

לדעת את גובה משפט Pythagorean משמש:

א² + .ב² = c²

היכן

א² גובה = (h).

c² צד = a.

.ב² = b / 2, אינו ידוע.

פינינו² של הנוסחה ואנחנו צריכים:

.ב² = a² - c²

b = √ a² - c²

מאחר וערך זה מתאים למחצית הבסיס, יש להכפיל אותו בשני כדי לקבל את המדד המלא של בסיס משולש האיסוסל:

b = 2 _* (√ א² - c²)

במידה ידועה ערך רק צלעות שוות ואת הזווית בין אלה, טריגונומטריה מוחל על ידי סימון קו מן הקודקוד לבסיס המחלקת את משולש שווה שוקיים לשני משולשים ישרי זווית.

בדרך זו מחצית מהבסיס מחושבת עם:

ייתכן גם כי רק את הערך של גובה וזווית של קודקוד כי הוא הפוכה לבסיס ידוע. במקרה זה על ידי טריגונומטריה הבסיס יכול להיקבע:

תרגילים

תרגיל ראשון

מצא את השטח של המשולש isosceles ABC, בידיעה כי שני הצדדים שלה למדוד 10 ס"מ ואת הצד השלישי אמצעים 12 ס"מ.

פתרון

כדי למצוא את השטח של המשולש יש צורך לחשב את גובה באמצעות הנוסחה של האזור כי הוא קשור משפט Pythagorean, שכן ערך הזווית נוצר בין הצדדים שווים אינו ידוע.

יש לנו את הנתונים הבאים של המשולש isosceles:

• צדדים שווים (א) = 10 ס"מ.
• בסיס (b) = 12 ס"מ.

הערכים בנוסחה מוחלפים:

תרגיל שני

אורכו של שני הצדדים שווים של המשולש isosceles אמצעים 42 ס"מ, איחוד של הצדדים האלה יוצרים זווית של 130^o. לקבוע את הערך של הצד השלישי, את השטח של המשולש הזה ואת המערכת.

פתרון

במקרה זה ידועות מדידות הצדדים והזווית בין אלה.

כדי להבין את הערך של הצד החסר, כלומר, הבסיס של המשולש, קו מאונך זה הוא זמם על ידי חלוקת הזווית לשני חלקים שווים, אחד לכל משולש ישר זווית התגבשה.

• צדדים שווים (א) = 42 ס"מ.
• זווית (Ɵ) = 130^o

עכשיו על ידי טריגונומטריה הערך של מחצית הבסיס מחושב, אשר מתאים למחצית hypotenuse:

כדי לחשב את השטח יש לדעת את גובה המשולש כי ניתן לחשב על ידי טריגונומטריה או על ידי משפט פיתגורס, עכשיו כי הערך של הבסיס כבר נקבע.

על ידי טריגונומטריה זה יהיה:

המערכת מחושבת:

P = 2_*(צד a) + (צד ב).

P = 2_* (42 ס"מ) + (76 ס"מ)

P = 84 ס"מ + 76 ס"מ

P = 160 ס"מ.

תרגיל שלישי

לחשב את הזוויות הפנימיות של המשולש isosceles, בידיעה כי זווית הבסיס הוא Â = 55^o

פתרון

כדי למצוא את שתי הזוויות החסרות (t ו- Ô) יש לזכור שתי תכונות של המשולשים:

• סכום הזוויות הפנימיות של כל משולש יהיה תמיד = 180^oYou

 + Ê + Ô = 180 ^o

• במשולש משקפיים, זוויות הבסיס תמיד חופפות, כלומר, יש להן את אותה מידה, ולכן:

 = Ô

= = = 55^o

כדי לקבוע את הערך של הזווית φ, להחליף את הערכים של זוויות אחרות של הכלל הראשון clear ברור:

55^o + 55^o + Ô = 180 ^o

110 ^o + Ô = 180 ^o

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

הפניות

1. Álvarez, E. (2003). אלמנטים של גיאומטריה: עם תרגילים רבים וגיאומטריה של המצפן. אוניברסיטת מדיין.
2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). ציור טכני: מחברת פעילויות.
3. אנג'ל, ר '(2007). אלגברה יסודית חינוך פירסון.
4. ארתור גודמן, ל. ח. (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
5. Baldor, A. (1941). אלגברה הוואנה: תרבות.
6. חוסה ג'ימנז, ל. ג. (2006). מתמטיקה 2.
7. טומה, י. הנדסת מתמטיקה מדריך. וולפרם.