טרינומי של הטופס x ^ 2 + bx + c (עם דוגמאות)



לפני ללמוד לפתור את טרינומי של הצורה x ^ 2 + bx + c, וגם לפני שידע את המושג טרינומי, חשוב לדעת שני מושגים חיוניים; כלומר, המושגים של מונומי ו פולינום. מונומי הוא ביטוי מסוג * xn, כאשר a הוא מספר רציונלי, n הוא מספר טבעי ו- x הוא משתנה.

פולינום הוא צירוף ליניארי של מונומים בצורת אn* xn+אn-1* xn-1+... + א2* x2+א1* x + a0, שבו כל ai, עם i = 0, ..., n, הוא מספר רציונלי, n הוא מספר טבעי ו- a_n הוא nonzero. במקרה זה נאמר כי מידת הפולינום היא n.

פולינום שנוצר על ידי סך של שני מונחים (שני מונומיאלים) בדרגות שונות, ידוע בשם בינומי.

אינדקס

  • 1 טרינומים
    • 1.1 מושלם ריבוע trinomial
  • 2 מאפיינים של כיתה 2 trinomials
    • 2.1 מרובע מושלם
    • 2.2 נוסחת ממיסים
    • 2.3 פרשנות גיאומטרית
    • 2.4 פקטורינג של trinomials
  • 3 דוגמאות
    • 3.1 דוגמה 1
    • 3.2 דוגמה 2
  • 4 הפניות

טרינומים

פולינום שנוצר על ידי סך של שלושה מונחים (שלושה מונומים) בדרגות שונות ידוע בשם trinomial. להלן דוגמאות של trinomials:

  • x3+x2+5x
  • 2x4-x3+5
  • x2+6x + 3

ישנם מספר סוגים של trinomials. מבין אלה מדגיש את הכיכר trinomial מרובע.

ריבוע מושלם trinomial

ריבוע מושלם trinomial היא תוצאה של העלאת ריבוע binomial. לדוגמה:

  • (3x-2)2= 9x2-12x + 4
  • (2x3+y)2= 4x6+4x3y + y2
  • (4x2-2y4)2= 16x4-16x2ו4+4y8
  • 1 / 16x2ו8-1 / 2xy4z + z2= (1 / 4xy4)2-2 (1 / 4xy4) z + z2= (1 / 4xy4-z)2

מאפייני כיתה 2 trinomials

הכיכר המושלמת

באופן כללי, trinomial של הצורה גרזן2+bx + c הוא ריבוע מושלם אם המפלה שלו שווה לאפס; כלומר, אם b2-4ac = 0, שכן במקרה זה זה יהיה רק ​​שורש אחד והוא יכול לבוא לידי ביטוי בצורת (x-d)2= (√a (x-d))2, שבו d הוא השורש שכבר הוזכר.

שורש של פולינום הוא מספר שבו הפולינום הופך לאפס; במילים אחרות, מספר זה, על ידי החלפת אותו x בביטוי של פולינום, התוצאות אפס.

נוסחת המרכך

נוסחה כללית לחישוב השורשים של פולינום של התואר השני של הצורה גרזן2+bx + c הוא הנוסחה של פותר, אשר קובע כי השורשים האלה ניתנים על ידי (-B ± √ (b2-4ac)) / 2a, כאשר b2-4ac ידוע בשם discriminant והוא מסומן בדרך כלל על ידי Δ. מנוסחה זו הוא עוקב אחר גרזן2+bx + c כולל:

- שני שורשים אמיתיים אם Δ> 0.

- שורש אמיתי אחד אם Δ = 0.

- אין לו שורש אמיתי אם Δ<0.

להלן נשקול רק את trinomials של הטופס x2+bx + c, כאשר בבירור c חייב להיות מספר לא אפס (אחרת זה יהיה בינומי). זה סוג של trinomials יש יתרונות מסוימים כאשר factoring ופועלים איתם.

פרשנות גיאומטרית

גיאומטרית, x trinomial2+bx + c הוא פרבולה שנפתחת כלפי מעלה ויש לה את הקודקוד בנקודה (-b / 2, -b2/ 4 + c) של המטוס קרטזית כי x2+bx + c = (x + b / 2)2-.ב2/ 4 + c.

פרבולה זו חותכת את ציר Y בנקודה (0, c) ואת ציר ה- X בנקודות (d1,0) ו- (ד)2,0); אז, ד1 ד2 הם שורשי הטרינומיאלי. זה יכול לקרות כי trinomial יש שורש יחיד ד, ובמקרה לחתוך רק עם ציר X יהיה (ד, 0).

זה יכול לקרות גם כי Trinomial אין שום שורשים אמיתיים, ובמקרה זה לא היה לחתוך את ציר X בכל נקודה.

לדוגמה, x2+6x + 9 = (x + 3)2-9 + 9 = (x + 3)2 הוא פרבולה עם קודקוד ב (-3,0), אשר חותך את ציר Y ב (0,9) ואת ציר ה- X (-3,0).

גורם טרינומי

כלי שימושי מאוד בעבודה עם פולינומים הוא factoring, אשר להביע פולינום כמוצר של גורמים. באופן כללי, נתון trinomial של הטופס x2+bx + c, אם זה שני שורשים שונים ד1 ד2, זה יכול להיות factored כמו (x-D)1) (x-d)2).

אם יש לך רק שורש אחד d, אתה יכול גורם זה כמו (x-d) (x-d) = (x-d)2, ואם אין לו שורשים אמיתיים, הוא נשאר אותו הדבר; במקרה זה היא אינה תומכת בפקטוריזציה כתוצר של גורמים אחרים מאשר את עצמה.

משמעות הדבר היא כי, לדעת את השורשים של צורה trinomial הוקמה כבר פרוק הביע בקלות, וכפי שכבר הוזכר לעיל, שורשים אלה תמיד להיקבע באמצעות resolvent.

עם זאת, יש כמות משמעותית של סוג זה של trinomies שיכולים להיות factored מבלי לדעת את השורשים מראש, אשר מפשט את העבודה.

השורשים יכולים להיקבע ישירות מהגורם ללא הצורך להשתמש בנוסחה של הפותר; אלה הם פולינומים של הטופס x2 +(a + b) x + ab. במקרה זה יש לך:

x2+(a + b) x + ab = x2+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

מכאן ניתן להבחין בקלות כי השורשים הם - א ו - ב.

במילים אחרות, נתון x trinomial2+bx + c, אם יש שני מספרים u ו- v כך c = uv ו- b = u + v, ולאחר מכן x2+bx + c = (x + u) (x + v).

כלומר, בהתחשב x trinomial2+bx + c, בודק תחילה אם יש שני מספרים כאלה, שהתרבו לתת יירוט (ג) והוסיף (או נגרעו, תלוי במקרה), ה- x המלווה לטווח den (ב).

לא עם כל trinomials בדרך זו שיטה זו יכולה להיות מיושמת; שבו אתה לא יכול, אתה הולך לפתרון וליישם את הנ"ל.

דוגמאות

דוגמה 1

כדי גורם x trinomial הבא2+3x + 2 אנו ממשיכים כדלקמן:

אתה חייב למצוא שני מספרים כך שכאשר אתה מוסיף אותם, התוצאה היא 3, וכאשר אתה להכפיל אותם, התוצאה היא 2.

לאחר ביצוע בדיקה ניתן להסיק כי המספרים המבוקשים הם: 2 ו - 1. לכן, x2+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

דוגמה 2

כדי גורם x trinomial2-5x + 6 אנו מחפשים שני מספרים שסכוםם הוא -5 והתוצר שלה הוא 6. המספרים העונים על שני התנאים הם -3 ו- -2. לכן, פקטורציה של trinomial נתון x2-5x + 6 = (x-3) (x-2).

הפניות

  1. מקורות, א. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחישוב. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד לפתור משוואה ריבועית. מרילו גארו.
  3. Haeussler, E. F, & Paul, R. S. (2003). מתמטיקה למינהל וכלכלה. חינוך פירסון.
  4. ג'ימנז, ג ', רופריגז, מ', & אסטרדה, ר '(2005). מתמטיקה 1 SEP. סף.
  5. Preciado, C. T. (2005). קורס מתמטיקה 3 א. עריכה Progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). אלגברה אני קל! כל כך קל. צוות רוק לחץ.
  7. סאליבן, י. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. חינוך פירסון.