תכונות משולש שווה צלעות, תכונות, נוסחאות ואזור

א משולש שווה צלעות זה מצולע עם שלושה צדדים, שם כולם שווים; כלומר, יש להם אותה מידה. עבור אותו מאפיין הוא קיבל את השם של צדדית (צדדים שווים).

משולשים הם מצולעים נחשב הפשוט ביותר בגיאומטריה, כי הם נוצרו שלושה צדדים, שלוש זוויות ושלוש קודקודים. במקרה של המשולש שווה הצלעות, על ידי בעל שווה הצדדים, מרמז כי שלוש זוויות שלה יהיה גם.

אינדקס

• 1 מאפיינים של משולשים שווה צלעות
  • 1.1 צדדים שווים
  • 1.2 רכיבים
• 2 מאפיינים
  • 2.1 זוויות פנימיות
  • 2.2 זוויות חיצוניות
  • 2.3 סכום הצדדים
  • 2.4 צדדים חופפים
  • 2.5 זוויות חופפות
  • 2.6 הביסקטור, החציון והמדיאטריקס מקבילים
  • 2.7 bisector וגובה מקבילים
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter ו circumcenter חופפים
• כיצד לחשב את ההיקף?
• כיצד לחשב את הגובה?
• 5 כיצד לחשב את הצדדים?
• כיצד לחשב את השטח?
• תרגילים
  • 7.1 תרגיל ראשון
  • 7.2 תרגיל שני
  • 7.3 תרגיל שלישי
• 8 הפניות

מאפיינים של משולשים שווה צלעות

צדדים שווים

המשולשים החד-צדדיים הם דמויות שטוחות וסגורות, המורכבות משלושה קטעים של קווים ישרים. המשולשים מסווגים לפי המאפיינים שלהם, ביחס לזוויותיהם ולזוויותיהם; השוויון סווג באמצעות המדד של צדדיו כפרמטר, שכן אלה בדיוק אותו דבר, כלומר, הם חופפים.

משולש שווה צלעות הוא מקרה מסוים של המשולש isosceles כי שני הצדדים שלה חופפים. לכן כל המשולשים שווה צלעות הם גם שוהים, אבל לא כל המשולשים isosceles יהיה שווה צדדים.

בדרך זו משולשים שווה צלעות יש את אותם המאפיינים של משולש משקפיים.

משולשים חד צדדיים יכולים גם להיות מסווגים על ידי משרעת של זוויות הפנימיים שלהם כמו משולש זווית צלעות, שיש לו שלושה צדדים ושלוש זוויות פנימיות עם אותו מידה. זוויות יהיה חד, כלומר, הם יהיו פחות מ 90^o.

רכיבים

משולשים בכלל יש כמה שורות ונקודות להלחין אותו. הם משמשים לחישוב השטח, הצדדים, הזוויות, החציון, bisector, בניצב וגובה.

• החציון: הוא קו שיוצא מאמצע צד אחד ומגיע לקודקוד הנגדי. שלושת החציונים מסכימים בנקודה הנקראת centroid או centroid.
• ביסקטור: היא קרן המחלקת את זווית הקודקודים לשתי זוויות בגודל שווה, ולכן היא נקראת ציר הסימטריה. למשולש המשולש יש שלושה צירי סימטריה.

במשולש שווה צלעות, הביסקטור נמשך מקודקוד של זווית לצדה הנגדי, חותך אותו בנקודת האמצע שלו. אלה מסכימים הנקודה הנקראת תמריצים.

• המטפל: הוא קטע בניצב לצד המשולש שמקורו באמצע זה. ישנם שלושה mediatices משולש והם מסכימים בנקודה הנקראת Circuncentro.
• הגובה: הוא הקו שהולך מן הקודקוד לצד בצד ההפוך וגם הקו הזה הוא מאונך לצד הזה. כל המשולשים יש שלושה גבהים אשר חופפים בנקודה הנקראת אורטוצנטר.

מאפיינים

המאפיין העיקרי של משולשים שווה צלעות הוא שהם יהיו תמיד משולשים משקפיים, שכן השניים הם נוצרו על ידי שני הצדדים חופף ואת אלה בצדדים על ידי שלושה.

בדרך זו, משולשים חד צדדיים בירו את כל המאפיינים של המשולש isosceles:

זוויות פנימיות

סכום הזוויות הפנימיות שווה תמיד ל -180^o, ומאחר שכל זוויותיו חופפות, הרי שכל אחת מהן תמדוד 60^o.

זוויות חיצוניות

סכום הזוויות החיצוניות תמיד יהיה שווה ל- 360^o, ולכן כל זווית חיצונית תמדוד 120^o. הסיבה לכך היא כי זוויות פנימיים וחיצוניים הם משלימים, כלומר, הוספת אותם תמיד יהיה שווה ל 180^o.

סך כל הצדדים

סכום הצעדים של שני הצדדים חייב להיות תמיד גדול יותר מאשר המדד של הצד השלישי, כלומר, + b c, כאשר a, b ו- c הם המדידות של כל צד.

צדדים חופפים

משולשים שווים צדדים יש שלושה צדדים שלהם באותו אורך או אורך; כלומר, הם חופפים. לכן, בפריט הקודם יש לנו = b = c.

זוויות חופפות

משולשים חד-צדדים ידועים גם בשם משולשים דו-כיווניים, משום ששלושת הזוויות הפנימיות שלהם חופפות זו עם זו. הסיבה לכך היא כי כל הצדדים שלה יש גם את אותו מידה.

הביסקטור, החציון והמדיאטריקס מקבילים

Bisector מחלק את הצד של המשולש לשני חלקים. ב משולשים שווה צלעות כי הצד יחולק לשני חלקים בדיוק שווה, כלומר, המשולש יחולק לשני משולשים ימין חופף.

לפיכך, bisector נמשך מכל זווית של משולש שווה צלעות עולה בקנה אחד עם חציון bisector של הצד הנגדי של הזווית.

דוגמה:

האיור הבא מציג את המשולש ABC עם נקודת האמצע D המחלקת אחד הצדדים לשני חלקים AD ו- BD.

כאשר אתה מצייר קו מנקודה D לקודקוד הנגדי, בהגדרה אתה מקבל את חציון התקליטור, שהוא יחסית לקודקוד C ו- AB.

ככל CD קטע מחלק את המשולש ABC לשני משולשים השווה CDA ו CDB, אומר כי במקרה של חפיפה תהיה: צד זווית צד ולכן יהיה גם CD חוֹצֶה BCD.

כאשר ציור קטע CD, לחלק את זווית הקודקוד לשתי זוויות שוות של 30^o, זווית קודקוד A ממשיכה למדוד 60^o ואת תקליטור ישר יוצר זווית של 90^o ביחס לנקודת האמצע.

תקליטור המגזרים יוצר זוויות בעלות אותה מידה עבור המשולשים ADC ו- BDC, כלומר, הם משלימים באופן כזה שמדידת כל אחד מהם תהיה:

(ADB) + Med (ADC) = 180^o

2 _* Med (ADC) = 180^o

Med (ADC) = 180^o ÷ 2

Med (ADC) = 90^o.

וכך, יש לך את קטע CD הוא גם bisector של הצד AB.

הביסקטור והגובה מקבילים

כאשר אתה מצייר את bisector מקודקוד של זווית לאמצע של הצד הנגדי, הוא מחלק את המשולש שווה צלעות לשני משולשים חופף.

באופן כזה כי זווית של 90 נוצרת^o (ישר). זה מציין כי קטע זה קטע מאונך לחלוטין לאותו צד, ועל ידי הגדרת קו זה יהיה גובה.

בדרך זו, bisector של כל זווית של משולש שווה צלעות עולה בקנה אחד עם הגובה היחסי בצד הנגדי של הזווית.

Orthocenter, barycenter, incenter ו circumcenter חופפים

כמו גובה, בינוני, ו חוֹצֶה שחצתה מיוצגים על ידי שני באותו קטע, במסגרת נקודות מפגש שווה צלעות מאותם מגזרים-the orthocenter, centroid, incenter ואת משולש circuncentro-, היו באותה הנקודה:

כיצד לחשב את המערכת?

ההיקף של מצולע מחושב על ידי סכום של הצדדים. מכיוון שבמקרה זה המשולש המשולש כולל את כל צדיו באותה מידה, ההיקף שלו מחושב לפי הנוסחה הבאה:

P = 3 _* צד.

כיצד לחשב את הגובה?

מכיוון שהגובה הוא הקו הניצב לבסיס, הוא מחלק אותו לשני חלקים שווים על ידי הארכת הקודקוד הנגדי. כך נוצרים שני משולשים ישרים.

הגובה (h) מייצג את הצד הנגדי (a), מחצית מהצד AC לצד הסמוך (b) ובצד B לפני הספירה מייצג את ההיפוטנוס (c).

באמצעות משפט Pythagorean, אתה יכול לקבוע את הערך של גובה:

א² + .ב²= c²

היכן

א² גובה = (h).

.ב² צד = b / 2.

c² צד = a.

החלפת ערכים אלה במשפט פיתגורס, וניקוי גובה יש לנו:

ח² + ( l / 2)² = l²

ח² +  l²/ 4 = l²

ח² = l²  -  l²/ 4

ח² = (4)_*l² -  l²) / 4

ח² =  3_*l²/4

√ח² = √ (3)_*l²/4)

אם הזווית שנוצרה על ידי הצדדים חופף ידוע, גובה (המיוצג על ידי רגל) ניתן לחשב על ידי יישום יחסי טריגונומטריים.

הרגליים נקראות הפוכה או סמוכות בהתאם לזווית שנלקחה כנקודת התייחסות.

לדוגמה, בדמות הקודמת הקטטה ה 'תהיה הפוכה לזווית C, אך צמוד לזווית B:

לפיכך, גובה ניתן לחשב עם:

כיצד לחשב את הצדדים?

ישנם מקרים שבהם המדידות של הצדדים של המשולש אינם ידועים, אבל גובהם ואת הזוויות שנוצרו בתוך הקודקודים.

כדי לקבוע את השטח במקרים אלה יש צורך ליישם את היחסים trigonometric.

לדעת את הזווית של אחד הקודקודים שלה, הרגליים מזוהים היחס הטריגונומטרי המתאים משמש:

לפיכך, הרגל AB יהיה הפוך לכיוון זווית C, אך סמוך א זווית בהתאם לוואי או התואם את הרגל לגובה, בצד השני מנוקה להשיג את הערך של זה, בידיעה כי במשולש שווה צלעות שלוש הצדדים תמיד יהיו באותו גודל.

כיצד לחשב את השטח?

השטח של המשולשים מחושב תמיד עם אותה נוסחה, הכפלת הבסיס על ידי גובה וחלוקת על ידי שני:

שטח = (b _* ח) ÷ 2

בידיעה כי גובה ניתנת על ידי הנוסחה:

תרגילים

תרגיל ראשון

הצדדים של משולש שווה צלעות ABC למדוד 20 ס"מ כל אחד. לחשב את גובה השטח של המצולע.

פתרון

כדי לקבוע את השטח של משולש שווה צלעות זה יש צורך לחשב את הגובה, בידיעה כי כאשר ציור זה, הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ימין שווה.

בדרך זו ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא אותו:

א² + .ב²= c²

היכן

20 = = 10 ס"מ.

גובה b =.

c = 20 ס"מ.

הנתונים במשפט מוחלפים:

10² + .ב² = 20²

100 ס"מ + .ב² 400 ס"מ

.ב² = (400 - 100) ס"מ

.ב² 300 ס"מ

b = √300 ס"מ

b = 17.32 ס"מ.

כלומר, גובה המשולש שווה ל -17.32 ס"מ. עכשיו ניתן לחשב את השטח של המשולש הנתון על ידי החלפת הנוסחה:

שטח = (b _* ח) ÷ 2

שטח = (20 ס"מ _* 17.32 ס"מ) ÷ 2

שטח = 346,40 ס"מ² ÷ 2

שטח = 173.20 ס"מ².

דרך פשוטה נוספת לפתור את התרגיל היא להחליף את הנתונים בנוסחה הישירה של האזור, כאשר ערך הגובה הוא גם במשתמע:

תרגיל שני

בארץ שיש לה צורת משולש שווה צלעות, פרחים ישתלו. אם ההיקף של שטח זה שווה 450 מ ', לחשב את מספר מטרים רבועים שנכבשו על ידי פרחים.

פתרון

בידיעה כי היקף המשולש מתאים סכום של שלושת הצדדים שלה כמו השטח יש צורה של משולש שווה צלעות, שלושת הצדדים של המשולש הזה יהיה באותו אורך או אורך:

P = צד + צד + צד = 3 _* l

3 _* l 450 מ '.

l = 450 מ ' ÷ 3

l = 150 מ '.

עכשיו זה רק צריך לחשב את גובה המשולש.

הגובה מחלק את המשולש לשני משולשים ישרים חופפים, כאשר אחת הרגליים מייצגת גובה וחצי השני של הבסיס. לפי משפט פיתגורס, גובה ניתן לקבוע:

א² + .ב²= c²

היכן

א = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c 150 מטר.

.ב גובה =

הנתונים במשפט מוחלפים:

(75 מ ')²+ .ב² = (150 מ ')²

5,625 מ ' + .ב² = 22,500 מ '

.ב² 22,500 מ '- 5,625 מ'

.ב² = 16,875 מ '

.ב = √ 16,875 מ '

.ב = 129.90 m.

כך שהאזור שיתפוס את הפרחים יהיה:

שטח = b * h ÷ 2

שטח = (150 מ ' _* 129.9 מ ') ÷ 2

שטח = (19,485 מ '²) ÷ 2

שטח = 9,742.5 מ '²

תרגיל שלישי

משולש שווה צלעות ABC מחולק על ידי קטע קטע שעובר קודקוד שלה אל נקודת האמצע D, הממוקם בצד הנגדי (AB). קטע זה אמצעים 62 מטרים. לחשב את השטח ואת המערכת של המשולש שווה צלעות.

פתרון

בידיעה כי משולש שווה צלעות מחולק על ידי קטע קו המתאים לגובה, ובכך יוצרים שני משולשים ימין חופף, זה בתורו גם מחלק את הזווית של קודקוד C לשתי זוויות עם אותו מידה, 30^o כל אחד.

הגובה יוצר זווית של 90^o ביחס למגזר AB, ואת זווית הקודקוד A ואז למדוד 60^o.

לאחר מכן, באמצעות התייחסות הזווית של 30^o, את גובה התקליטור הוא קבע כמו רגל סמוך לזווית ו BC כ hypotenuse.

מנתונים אלה ניתן לקבוע את הערך של אחד הצדדים של המשולש, תוך שימוש ביחסים הטריגונומטריים:

כמו במשולש שווה צלעות כל הצדדים יש בדיוק את אותו מידה או אורך, זה אומר שכל צד של המשולש שווה צלעות ABC שווה 71.6 מטר. בידיעה כי, ניתן לקבוע את השטח שלך:

שטח = b * h ÷ 2

שטח = 71.6 מ ' _* 62 מ ') ÷ 2

שטח = 4,438.6 מ '² ÷ 2

שטח = 2,219.3 מ '²

המערכת ניתנת על ידי סכום שלושת הצדדים שלה:

P = צד + צד + צד = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71.6 מ '

P = 214.8 מ '.

הפניות

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). ציור טכני: מחברת פעילויות.
2. ארתור גודמן, ל. ח. (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
3. Baldor, A. (1941). אלגברה הוואנה: תרבות.
4. BARBOSA, J. L. (2006). גיאומטריה שטוחה אוקלידית. SBM. ריו דה ז'ניירו, .
5. Coxford, A. (1971). גיאומטריה גישה טרנספורמציה. ארה"ב: האחים לידלוב.
6. אאוקליד, ר 'פ. (1886). Euclid של אלמנטים של גיאומטריה.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). גיאומטריה וטריגונומטריה.
8. León Fernández, G. S. (2007). גיאומטריה משולבת המכון הטכנולוגי המטרופוליני.
9. Sullivan, J. (2006). אלגברה ו טריגונומטריה חינוך פירסון.