משפט בינומי הדגמה ודוגמאות

ה משפט בינומי היא משוואה שאומרת לנו איך לפתח ביטוי של הטופס (א + ב)ⁿ עבור מספר טבעי n. בינומי הוא לא יותר מסכום של שני אלמנטים, כמו (+ b). זה גם מאפשר לנו לדעת על מונח נתון על ידי^k.ב^n-k מהו המקדם המלווה אותו.

משפט זה מיוחס בדרך כלל לממציא האנגלי, הפיזיקאי והמתמטיקאי סר אייזיק ניוטון; עם זאת, נמצאו מספר רשומות המציינות כי במזרח התיכון קיומו כבר ידוע, בסביבות שנת 1000.

אינדקס

• 1 מספרים קומבינטוריים
• 2 הפגנה
• 3 דוגמאות
  • 3.1 זהות 1
  • 3.2 זהות 2
• 4 הפגנה נוספת
  • 4.1 הדגמה על ידי אינדוקציה
• 5 סקרנות
• 6 הפניות

מספרים קומבינטוריים

המשפט הבינומי אומר לנו מתמטית את הדברים הבאים:

בביטוי זה a ו- b הם מספרים אמיתיים ו- n הוא מספר טבעי.

לפני שנתן את ההפגנה, בואו נראה כמה מושגים בסיסיים הנחוצים.

מספר קומבינטוריאלי או שילובים של n ב k באה לידי ביטוי כדלקמן:

טופס זה מבטא את הערך של כמה תת-קבוצות עם אלמנטים k ניתן לבחור מתוך קבוצה של אלמנטים n. הביטוי האלגברי שלה ניתן על ידי:

בואו נראה דוגמה: נניח שיש לנו קבוצה של שבעה כדורים, מתוכם שניים אדומים והשאר כחולים.

אנחנו רוצים לדעת כמה דרכים אנחנו יכולים להזמין אותם ברציפות. דרך אחת יכולה להיות למקם את שני האדומים בעמדה הראשונה והשנייה, ואת שאר הכדורים בעמדות הנותרות.

בדומה למקרה הקודם, אנחנו יכולים לתת את הכדורים האדומים הראשון ואת המיקום האחרון בהתאמה, ותפוס את האחרים עם כדורים כחולים.

עכשיו, דרך יעילה לספור כמה דרכים אנחנו יכולים להזמין את הכדורים ברציפות היא באמצעות מספרים קומבינטוריים. אנו יכולים לראות כל מיקום כאלמנט של הקבוצה הבאה:

הבא הוא רק צריך לבחור תת קבוצה של שני אלמנטים, שבו כל אחד מהאלמנטים האלה מייצג את המיקום כי הכדורים האדומים יכבוש. אנחנו יכולים לעשות את הבחירה הזו על פי היחסים שניתנו על ידי:

בדרך זו, יש לנו כי יש 21 דרכים למיין כדורים כאלה.

הרעיון הכללי של דוגמה זו יהיה שימושי מאוד בהפגנה של המשפט הבינומי. הבה נסתכל על מקרה מסוים: אם n = 4, יש לנו (a + b)⁴, וזה לא יותר מאשר:

כאשר אנו מפתחים מוצר זה, יש לנו את הסכום של התנאים שהושגו על ידי הכפלת אלמנט של כל אחד מארבעת הגורמים (א + ב). כך, יהיו לנו מונחים שיהיו מהצורה:

אם רצינו לקבל את המונח של הטופס⁴, פשוט להכפיל את הדרך הבאה:

שים לב שיש רק דרך אחת להשיג את האלמנט הזה; אבל מה קורה אם אנחנו עכשיו מחפשים את המונח של הטופס².ב²? מאחר ש "א" ו "ב" הם מספרים ממשיים, ולכן החוק החלופי תקף, יש לנו דרך להשיג את המושג הזה הוא להכפיל את החברים כפי שצוין על ידי החצים.

ביצוע כל הפעולות האלה הוא בדרך כלל קצת מייגע, אבל אם אנחנו רואים את המושג "א" כמו שילוב שבו אנחנו רוצים לדעת כמה דרכים אנחנו יכולים לבחור שני "א" מתוך קבוצה של ארבעה גורמים, אנחנו יכולים להשתמש ברעיון של הדוגמה הקודמת. אז, יש לנו את הדברים הבאים:

לכן, אנו יודעים כי בפיתוח הסופי של הביטוי (א + ב)⁴ יהיה לנו בדיוק 6a².ב². באמצעות אותו רעיון עבור אלמנטים אחרים, עליך:

לאחר מכן אנו מוסיפים את הביטויים שהושגו קודם לכן ויש לנו:

זוהי הפגנה רשמית למקרה הכללי שבו "n" הוא מספר טבעי.

הפגנה

שים לב כי התנאים שנותרו בעת פיתוח (a + b)ⁿ הם של הטופס^k.ב^n-k, שם k = 0,1, ..., n. באמצעות הרעיון של הדוגמה הקודמת, יש לנו את הדרך לבחור "k" משתנים "א" מ "n" גורמים הוא:

על ידי בחירה בדרך זו, אנו בוחרים באופן אוטומטי n-k משתנים "b". מכאן נובע:

דוגמאות

בהתחשב (a + b)⁵, מה יהיה הפיתוח שלה?

לפי המשפט הבינומי עלינו:

משפט binomial הוא מאוד שימושי אם יש לנו ביטוי שבו אנחנו רוצים לדעת מה מקדם של מונח מסוים הוא ללא צורך לבצע את הפיתוח המלא. כדוגמה אנו יכולים לקחת את השאלה הבאה: מהו מקדם x⁷ו⁹ בפיתוח (x + y)¹⁶?

לפי המשפט הבינומי, יש לנו כי המקדם הוא:

דוגמה נוספת תהיה: מהו מקדם x⁵ו⁸ בפיתוח של (3x-7y)¹³?

ראשית אנו לשכתב את הביטוי בצורה נוחה; זו היא:

לאחר מכן, באמצעות משפט בינומי, יש לנו כי מקדם רצה הוא כאשר יש לנו k = 5

דוגמה נוספת לשימושים של משפט זה היא בהפגנה של כמה זהויות משותפות, כגון אלה המוזכרות להלן.

זהות 1

אם "n" הוא מספר טבעי, עלינו:

עבור ההפגנה אנו משתמשים במשפט הבינומי, שבו "א" ו "ב" לקחת את הערך של 1. אז יש לנו:

בדרך זו הוכחנו את הזהות הראשונה.

זהות 2

אם "n" הוא מספר טבעי, אז

לפי המשפט הבינומי עלינו:

הפגנה נוספת

אנחנו יכולים לעשות הדגמה אחרת עבור משפט binomial באמצעות שיטת אינדוקטיבי וזהות פסקל, אשר אומר לנו שאם "n" ו "k" הם מספרים שלמים וחיוביים העונים n ≥ k, ואז:

הפגנה על ידי אינדוקציה

ראשית בואו נראה כי בסיס אינדוקטיבי מתממש. אם n = 1, עלינו:

אכן, אנו רואים כי הוא מילא. עכשיו, תן n = j כך שהוא מילא:

אנחנו רוצים לראות כי עבור n = j 1 הוא מילא כי:

אז, אנחנו צריכים:

לפי ההשערה אנו יודעים כי:

לאחר מכן, באמצעות הנכס חלוקה:

לאחר מכן, בפיתוח כל אחד הסיכומים לנו:

עכשיו, אם אנחנו נפגשים יחד בצורה נוחה, אנחנו צריכים:

באמצעות הזהות של פסקל, אנחנו צריכים:

לבסוף, שים לב:

לכן, אנו רואים כי המשפט הבינומי הוא מילא עבור כל "n" השייכים למספר הטבעי, ועם זה המבחן מסתיים.

קוריוזים

מספר קומבינטורי (nk) נקרא גם מקדם בינומי כי זה בדיוק המקדם המופיע בפיתוח של binomial (a + b)ⁿ.

אייזק ניוטון נתן הכללה של משפט זה עבור המקרה שבו המעריך הוא מספר אמיתי; משפט זה ידוע בתור משפט בינומי של ניוטון.

כבר בימי קדם זו תוצאה זו הייתה ידועה במקרה הספציפי שבו n = 2. מקרה זה מוזכר בסעיף אלמנטים של אוקלידס.

הפניות

1. ג'ונסון ריצ'רד. מתמטיקה בדידה PHH
2. קנת'. מתמטיקה בדידה ויישומיה. ס. א.מ.ג.ג.- היל / אינטרמריקנה ד.
3. סימור ליפשיץ וד"ר מארק ליפסון. מתמטיקה בדידה. מקגראו-היל.
4. ראלף גרימלדי. מתמטיקה בדידה וקומבינציה. אדיסון-וסלי איברואמריקנה
5. ורדה כוכב לואיס ... מתמטיקה בדידה Combinatoria.Anthropos