משפט ווריניון דוגמאות ותרגילים פתוחים

ה משפט ורינון קובעת כי אם בכל מרובע כל נקודות מתחברות תמיד לצדדים, נוצרת מקבילה. משפט זה נוסח על ידי פייר Varignon ופורסם ב 1731 בספר אלמנטים מתמטיים".

פרסום הספר התרחש שנים לאחר מותו. מאחר שווריניון היה זה שהציג את המשפט הזה, המקביל נקרא על שמו. המשפט מבוסס על גיאומטריה אוקלידית ומציג יחסים גיאומטריים של quadrilaterals.

אינדקס

• 1 מהו משפט ורינון??
• 2 דוגמאות
  • 2.1 דוגמה ראשונה
  • 2.2 דוגמה שנייה
• 3 תרגילים נפתרו
  • 3.1 מימוש 1
  • 3.2 תרגיל 2
  • 3.3 מימוש 3
• 4 הפניות

מהו משפט ורינון??

ואריניון טען כי דמות המוגדרת על ידי midpoints של מרובע תביא תמיד מקבילית, ואת השטח של זה יהיה תמיד חצי שטח של מרובע אם הוא שטוח קמור. לדוגמה:

בתרשים ניתן לראות מרובע עם שטח X, שבו נקודות האמצע של הצדדים מיוצגות על ידי E, F, G ו- H, וכאשר הם מצטרפים, יוצרים מקבילית. שטח המרובע יהיה סכום שטחי המשולשים הנוצרים, ומחציתם תואמים את שטח המקביל.

מאחר ששטח המקבילית הוא חצי משטח השטח המרובעי, ניתן לקבוע את ההיקף של אותו מקבילוגרם.

לפיכך, ההיקף שווה לסכום של אורכי האלכסון של מרובע; זה בגלל חציון של מרובע יהיה האלכסון של מקבילית.

מצד שני, אם אורכי האלכסון של מרובעת הם בדיוק אותו הדבר, מקבילית יהיה יהלום. לדוגמה:

מן הדמות ניתן לראות כי, על ידי הצטרפות midpoints של הצדדים של מרובע, מעוין מתקבל. מצד שני, אם האלכסון של מרובעת הם בניצב, מקבילית יהיה מלבן.

גם מקבילית יהיה ריבוע כאשר מרובע יש את האלכסונים עם אורך זהה וגם להיות בניצב.

המשפט אינו מתממש רק ב quadrilaterals שטוח, הוא מיושם גם בגיאומטריה מרחבית או בממדים גדולים; כלומר, אלה quadrilaterals שאינם קמור. דוגמה לכך יכולה להיות אוקטהדרון, כאשר midpoints הם centroids של כל פנים וליצור מקבילים.

בדרך זו, על ידי הצטרפות midpoints של דמויות שונות, מקבילים ניתן להשיג. דרך פשוטה לבדוק אם זה באמת נכון הוא כי הצדדים הפוכים חייב להיות מקביל כאשר הם המורחבת.

דוגמאות

דוגמה ראשונה

ההמשכה של הצדדים הנגדיים כדי להראות שהיא מקבילית:

דוגמה שנייה

על ידי הצטרפות midpoints של יהלום אנו מקבלים מלבן:

המשפט משמש באיחוד נקודות הממוקם באמצע הצדדים של מרובע, והוא יכול לשמש גם עבור סוגים אחרים של נקודות, כגון ב trisection, סעיף penta, או אפילו מספר אינסופי של חלקים ( n), על מנת לחלק את הצדדים של כל מרובע לחלקים כי הם פרופורציונליים.

תרגילים נפתרים

תרגיל 1

יש לנו בדמות ABCD מרובע של אזור Z, שבו midpoints של הצדדים זה PQSR. בדוק כי מקבילית של Varignon נוצר.

פתרון

ניתן לראות כי על ידי הצטרפות הנקודות PQSR Varignon מקבילית נוצר, בדיוק בגלל בכותרת ניתן אמצע של מרובע.

כדי להדגים זאת, midpoints PQSR מאוחדים, כך ניתן לראות כי מרובע נוסף נוצר. כדי להראות כי הוא מקבילית, אתה רק צריך לצייר קו ישר מנקודה C לנקודה א ', כך שאתה יכול לראות כי CA מקביל PQ ו RS.

באופן דומה, על ידי הרחבת הצדדים PQRS ניתן לציין כי PQ ו RS מקבילים, כפי שמוצג בתמונה הבאה:

תרגיל 2

יש לו מלבן כך אורכי כל הצדדים שלה שווים. כאשר מצטרף midpoints של הצדדים האלה, מעוין ABCD נוצר, אשר מחולק על ידי שני אלכסונים AC = 7cm ו BD = 10cm, אשר בקנה אחד עם המדידות של הצדדים של המלבן. לקבוע את אזורי היהלום והמלבן.

פתרון

זכור כי השטח של מקבילית המתקבל הוא חצי מרובע, אתה יכול לקבוע את השטח של ידיעה אלה כי המדד של אלכסונים בקנה אחד עם הצדדים של המלבן. אז אתה צריך:

AB = D

CD = d

א_מלבן = (AB _* CD) = (10 ס"מ _* 7 ס"מ) = 70 ס"מ²

א_מעוין = A _מלבן / 2

א_מעוין = 70 ס"מ² / 2 = 35 ס"מ²

תרגיל 3

יש לנו את הדמות מרובע כי יש את האיחוד של נקודות EFGH, אורכי הקטעים ניתנים. לקבוע אם האיחוד של EFGH הוא מקבילית.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

פתרון

לאור אורכי הקטעים, ניתן לבדוק אם קיימת מידתיות בין המקטעים; כלומר, אנו יכולים לדעת אם אלה מקבילים, המתייחסים למקטעים של מרובע באופן הבא:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

לאחר מכן נבדקת מידתיות, שכן:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

באופן דומה, כאשר מתווים קו מנקודה ב 'לנקודה D, אנו יכולים לראות כי EH מקביל BD, בדיוק כמו BD מקביל FG. מצד שני, EF מקביל ל- GH.

בדרך זו ניתן לקבוע כי EFGH הוא מקבילית, כי הצדדים הפוכים מקבילים.

הפניות

1. Andres, T. (2010). מתמטיקה אולימפיאדת טרזורה. שפרינגר. ניו יורק.
2. Barbosa, J. L. (2006). גיאומטריה שטוחה אוקלידית. SBM. ריו דה ז'ניירו.
3. Howar, E. (1969). חקר הגיאומטריה. מקסיקו: היספני - אמריקאי.
4. ראמו, ג 'פ' (1998). פתרונות לא ידועים לבעיות של פרמה-טוריצ'לי. ISBN - עבודה עצמאית.
5. ורה, פ. (1943). אלמנטים של גיאומטריה. בוגוטה.
6. Villiers, M. (1996). כמה הרפתקאות בגיאומטריה האוקלידית. דרום אפריקה.