שתף:
משפטם של תאלס ממילטוס הראשון, השני ודוגמאות
הראשון והשני משפטן של תאלס ממילטוס הם מבוססים על קביעת משולשים של דומים אחרים (משפט ראשון) או circumferences (משפט שני). הם היו מאוד שימושי בתחומים שונים. לדוגמה, הראשון משפט הוכיח מאוד שימושי למדידת מבנים גדולים כאשר לא היו כלי מדידה מתוחכמים.
Thales של Miletus היה מתמטיקאי יווני שסיפק תרומות גדולות לגיאומטריה, אשר שני אלה משפטי להתבלט (בכמה טקסטים הם גם לכתוב את זה כמו Thales) ויישומים שימושיים שלהם. תוצאות אלה שימשו לאורך ההיסטוריה אפשרו פתרון מגוון רחב של בעיות גיאומטריות.
אינדקס
- 1 משפט ראשון של סיפורים
- 1.1 בקשה
- 1.2 דוגמאות
- 2 משפט שני של סיפורים
- 2.1 בקשה
- 2.2 דוגמה
- 3 הפניות
משפט ראשון של סיפורים
המשפט הראשון של סיפורים הוא כלי שימושי מאוד, אשר, בין היתר, מאפשר לבנות משולש דומה לזו, בעבר ידוע. מכאן נגזרים גרסאות שונות של המשפט שניתן ליישם בהקשרים מרובים.
לפני מתן ההצהרה שלך, לזכור כמה מושגים של דמיון של משולשים. בעיקרו של דבר, שני משולשים דומים אם הזוויות שלהם חופפות (יש להם את אותה מידה). עובדה זו מעוררת את העובדה, שאם שני משולשים דומים, הצדדים המתאימים (או הומולוגים) הם פרופורציונליים.
התיאוריה הראשונה של תאלס קובעת שאם במשולש נתון קו ישר משורטט במקביל לכל אחד מהצדדים שלו, המשולש החדש המתקבל יהיה דומה למשולש הראשוני.
אתה גם מקבל מערכת יחסים בין זוויות שנוצרו, כפי שניתן לראות בדמות הבאה.
יישום
בין היישומים המרובים שלה בולט עניין מסוים, והוא קשור לאחת הדרכים שבהן נערכו מדידות של מבנים גדולים בעת העתיקה, הזמן שבו התאלס חיו, ואשר מכשירי המדידה המודרניים לא היו זמינים בהם. הם קיימים עכשיו.
אומרים שכך טאלס הצליח למדוד את הפירמידה הגבוהה ביותר במצרים, צ'אפס. לשם כך, תאלס הניח שההשתקפויות של קרני השמש נגעו באדמה שיצרו קווים מקבילים. תחת הנחה זו, הוא תקע מוט או מקל אנכי לתוך האדמה.
באותה תקופה הוא היה הדמיון של שני המשולשים כתוצאה, אחד התגבש לפי אורך הצל של הפירמידה (אשר ניתן לחשב בקלות) ואת גובה הפירמידה (לא ידוע), והשני נוצר על ידי האורכים של הבצל ואת גובה המוט (אשר יכול גם להיות מחושב בקלות).
באמצעות הפרופורציונליות בין אורכים אלה, אתה יכול לנקות ולדעת את גובה הפירמידה.
למרות ששיטת המדידה הזו יכולה לתת שגיאת קירוב משמעותית ביחס לדיוק הגובה, והיא תלויה בהקבלה של קרני השמש (אשר בתורן תלויה בזמן מדויק), עלינו להכיר בכך שזה רעיון גאוני מאוד וזה סיפק חלופה מדידה טובה עבור הזמן.
דוגמאות
מצא את הערך של x בכל אחד מהמקרים:
פתרון
כאן יש לנו שתי שורות לחתוך על ידי שני קווים מקבילים. לפי המשפט הראשון של ת'אלס אחד יש כי הצדדים שלהם בהתאמה. בפרט:
פתרון
כאן יש לנו שני משולשים, אחד מהם נוצר על ידי מקביל במקביל לאחד הצדדים של הצד השני (בדיוק בצד של אורך x). לפי משפט הראשון של סיפורים עליך:
משפט שני של סיפורים
המשפט השני של תאלס קובע משולש ימין שנכתב להיקף בכל נקודה של אותו.
משולש החרוט על היקף הוא משולש שקודקודיו נמצאים על ההיקף, ולכן הם כלולים בו.
באופן ספציפי, את המשפט השני של Thales קובע את הדברים הבאים: נתון מעגל של מרכז O ו קוטר AC, כל נקודה B של היקף (מלבד A ו- C) קובע משולש ימין ABC, עם זווית ישרה לשם הצדקה, שים לב כי OA ו- OB ו- OC תואמים את רדיוס ההיקף; לכן, המדידות שלהם זהים. משם מתקבל כי OAB משולשים OCB הם שוהים, שם ידוע כי סכום זוויות המשולש שווה ל -180 מעלות. באמצעות זה עם משולש ABC אתה צריך: 2b + 2a = 180º. באופן שווה, יש לנו את זה b + a = 90 & b + a = שים לב כי המשולש הנכון המסופק על ידי תאלס השני משפט הוא דווקא כי hypotenuse שווה לקוטר של היקף. לכן, הוא נקבע לחלוטין על ידי semicircle המכיל את הנקודות של המשולש; במקרה זה, את semicircle העליון. שים לב גם כי המשולש הנכון שהושג באמצעות תאלס השני משפט, hypotenuse מחולק לשני חלקים שווים על ידי OA ו OC (רדיוס). בתורו, מדד זה שווה את קטע OB (גם רדיוס), אשר תואם את חציון של המשולש ABC ידי B. במילים אחרות, אורך החציון של המשולש הימני ABC המקביל לקודקוד B נקבע לחלוטין על ידי חצי hypotenuse. נזכיר כי החציון של המשולש הוא קטע מאחד הקודקודים לאמצע של הצד הנגדי; במקרה זה, קטע BO. דרך נוספת לראות את Thales השני הוא משפט דרך מעגל circumscribed כדי משולש ימין. באופן כללי, מעגל המוגבל למצולע מורכב מהיקף העובר דרך כל קודקודו, בכל פעם שניתן לאתר אותו. הייתי באמצעות המשפט השני כזה נתון משולש ישר זווית, אנחנו תמיד יכולים לבנות circumcircle לכך, של רדיוס השווה למחצית האלכסון ו circumcenter (במרכז המעגל) כמו האמצע של האלכסון. יישום חשוב מאוד של משפט שני של סיפורים, ואולי ביותר בשימוש, הוא למצוא את קווי משיק להיקף נתון, על ידי נקודה P חיצוני זה (ידוע). שים לב ניתנה היקף (נמשכים בכחול באיור למטה) ו P לנקודה החיצונית, ישנם שני משיקים לחקיקת היקף באמצעות פ שון T ו- T "נקודות המשיק r רדיוס המעגל או במרכז. זה ידוע כי הקטע העובר ממרכז מעגל לנקודה של משיק של זה, הוא בניצב לקו זה משיק. לאחר מכן, הזווית OTP הוא ישר. ממה שראינו קודם לכן במשפט הראשון של תאלס ובגרסאותיו השונות, אנו רואים שאפשר לחתום על משולש OTP בהיקף אחר (באדום). באופן אנלוגי זה מתקבל כי המשולש OT'P יכול להיות כתוב בתוך אותו היקף הקודם. עבור המשפט בנוסף השנייה כזו נקבל קוטר המעגל החדש הוא דווקא האלכסון של המשולש OTP (אשר שווה האלכסון של המשולש OT'P), והמרכז הוא נקודת האמצע של האלכסון. כדי לחשב את מרכז ההיקף החדש, אז זה מספיק כדי לחשב את נקודת האמצע בין המרכז - אומר M - של היקף הראשוני (שאנו כבר יודעים) ואת הנקודה P (שאנו יודעים גם). לאחר מכן, הרדיוס יהיה המרחק בין הנקודה M ו- P. עם הרדיוס ומרכז המעגל האדום אנו יכולים למצוא את משוואה קרטזית שלו, אשר אנו זוכרים ניתנת על ידי (x-h)2 + (y-k)2 = c2, כאשר c הוא הרדיוס והנקודה (h, k) היא מרכז המעגל. בידיעה עכשיו את המשוואות של שני circumferences, אנחנו יכולים לחצות אותם על ידי פתרון של מערכת המשוואות שנוצרו על ידי אלה, ובכך להשיג את הנקודות של משיק T ו- T. לבסוף, כדי לדעת את קווי המשיק הרצוי, זה מספיק כדי למצוא את המשוואה של הקווים הישרים העוברים דרך T ו- P, ועל ידי T ו- P. שקול היקף של קוטר AC, מרכז O ורדיוס 1 ס"מ. תן B להיות נקודה על היקף כזה AB = AC. כמה א.ב.? לפי המשפט השני של Thales יש לנו את המשולש ABC הוא מלבן ואת hypotenuse מתאים לקוטר, אשר במקרה זה אמצעים 2 ס"מ (רדיוס הוא 1 ס"מ). ואז, על פי משפט פיתגורס אנחנו צריכים:
היקף מצומצם
יישום
דוגמה
פתרון
הפניות