משפט של מויבר על מה מורכב, הדגמה ונסיגה תרגילים

ה משפט של מוברה חל על תהליכים בסיסיים של אלגברה, כגון כוחות והפקת שורשים במספרים מורכבים. משפט זה הוכרז על ידי המתמטיקאי הצרפתי הנודע אברהם דה מוברה (1730), שחיבר מספרים מורכבים עם טריגונומטריה.

אברהם מוברה עשה את העמותה הזאת באמצעות הביטויים של השד והקוסינוס. סוג זה של נוסחה מתמטית שנוצר שדרכו אפשר לגדל z מספר מרוכב בחזקת n, אשר הוא מספר חיובי גדול או שווה 1.

אינדקס

• 1 מהו משפט Moverre??
• 2 הפגנה
  • 2.1 בסיס אינדוקטיבי
  • 2.2 השערת אינדוקציה
  • 2.3 בדיקה
  • 2.4 מספר שלם שלילי
• 3 תרגילים נפתרו
  • 3.1 חישוב של כוחות חיוביים
  • 3.2 חישוב סמכויות שליליות
• 4 הפניות

מהו משפט Moverre??

משפט של Moivre קובע את הדברים הבאים:

אם יש לך מספר מורכב בצורת הקוטב z = r_Ɵ, כאשר R הוא מודול של z מספר מרוכב ואת זווית ɵ זה נקרא משרעת או טענה של כל מספר מורכב עם 0 ≤ ɵ ≤ 2π, כדי לחשב את הכוח n-th לא צריך להיות מוכפל עצמו n פעמים; כלומר, אין צורך להפוך את המוצר הבא:

Zⁿ z z _* z _* z_{* ... *} z ייצור Mary_{Ɵ *} ייצור_{Ɵ *} ייצור_{Ɵ * ... *} ייצור_Ɵ   n פעמים.

להיפך, המשפט אומר שכאשר כותבים z בצורת טריגונומטריה שלה, כדי לחשב את הכוח nth, אנחנו ממשיכים כדלקמן:

אם z r = (cos Ɵ + i _* חטא Ɵ) ואז zⁿ M. 49ⁿ (cos n * Ɵ + i _* חטא n * Ɵ).

לדוגמה, אם n = 2, z² M. 49²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. אם יש לך את זה n = 3, אז z³ z z² _* z. בנוסף:

z³ M. 49²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

בדרך זו, היחסים הטריגונומטריים של סינוס וקוסינוס ניתן להשיג עבור כפולות של זווית, כל עוד היחסים trigonometric של זווית ידועים..

באותו אופן ניתן להשתמש בו כדי למצוא ביטויים מדויקים יותר ומבולבלים פחות עבור השורש nth של מספר z מורכב, כך zⁿ = 1.

כדי להוכיח את המשפט של Moivre עיקרון האינדוקציה מתמטית משמש: אם מספר שלם "a" יש רכוש "P", ואם עבור כל מספר שלם "n" גדול מ "A" בעל הנכס "P" הוא מספק כי n + 1 יש גם את המאפיין "P", אז כל המספרים השלמים גדול או שווה ל "" יש את המאפיין "P".

הפגנה

בדרך זו, ההוכחה של המשפט נעשה עם הצעדים הבאים:

בסיס אינדוקטיבי

בדיקה ראשונה עבור n = 1.

כמו z¹ = (r) cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ M. 49¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ M. 49¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* סן (1)_* Ɵ)], יש לנו כי עבור n = 1 משפט מתממש.

השערת אינדוקציה

ההנחה היא כי הנוסחה נכונה עבור מספר שלם חיובי, כלומר, n = k.

z^k = (r) cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  M. 49^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

בודק

זה הוכח כנכון עבור n = k 1.

כמו z^{k + 1}z z^k _* z, z^{k + 1} = (r) cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} M. 49^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

ואז הביטויים מתרבים:

z^{k + 1} M. 49^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*) +) i ( _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

לרגע מתעלמים מהמקדם^{k + 1},  וגורם משותף i מוסר:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

איך אני² = -1, אנו מחליפים אותה בביטוי ומקבלים:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

עכשיו מסודרים החלקים האמיתיים והדמיוניים:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

כדי לפשט את הביטוי, את הזהויות trigonometric של סכום של זוויות עבור הקוסינוס סינוס מוחלים, אשר:

cos (A + B) = cos A _* cos B - סן א _* סן ב.

סן (A + B) = חטא א _* c b - cos a _* c b.

במקרה זה, המשתנים הם הזוויות Ɵ ו- kƟ. החלת הזהויות הטריגונומטריות, יש לנו:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

כך נשאר הביטוי:

z^{k + 1} M. 49^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} M. 49^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

לכן ניתן להוכיח שהתוצאה נכונה עבור n = k 1. על פי העיקרון של אינדוקציה מתמטית, הוא הגיע למסקנה כי התוצאה היא נכונה עבור כל מספרים שלמים וחיוביים; כלומר, ≥ 1.

מספר שלם שלילי

משפט של Moivre מוחל גם כאשר n ≤ 0. שקול מספר שלם שלילי "n"; אז "n" ניתן לכתוב כמו "מ", כלומר, n = -m, כאשר "מ" הוא מספר שלם חיובי. לכן:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-מ

כדי להשיג את המעריך "מ" בצורה חיובית, הביטוי כתוב הפוך:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^מ

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

עכשיו, הוא משמש כי אם z = a + b * i הוא מספר מורכב, אז 1 ÷ z = a-b * i. לכן:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

באמצעות cos (x) = cos (-x) ו -sen (x) = sin (-x), עלינו:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (n) - i _* sen (n).

בדרך זו, אנו יכולים לומר כי המשפט חל על כל ערכי שלם של "n".

תרגילים נפתרים

חישוב של כוחות חיוביים

אחת הפעולות עם מספרים מורכבים בצורתו הקוטבית היא הכפל בין שניים מהם; במקרה זה המודולים מוכפלים והוויכוחים מתווספים.

אם יש לך שני מספרים מורכבים z₁ ו z₂ ואתה רוצה לחשב (z₁* z₂)², לאחר מכן אנו ממשיכים כדלקמן:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

הרכוש החלוקתי מוחל:

z₁z₂ M. 49₁ ייצור₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

הם מקובצים, לוקח את המונח "אני" כגורם משותף של ביטויים:

z₁z₂ M. 49₁ ייצור₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + אני (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

איך אני² = -1, מוחלף בביטוי:

z₁z₂ M. 49₁ ייצור₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + אני (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

המונחים האמיתיים מתאחדים עם המציאות, ודמיוניים עם דמיון:

z₁z₂ M. 49₁ ייצור₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

לבסוף, מאפיינים trigonometric מוחלים:

z₁z₂ M. 49₁ ייצור₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i סן (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

לסיכום:

(z₁* z₂)²= (r₁ ייצור₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i סן (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²ייצור₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

תרגיל 1

כתוב את המספר המורכב בצורת הקוטב אם z = - 2 -2 i. לאחר מכן, באמצעות משפט Moverre, לחשב z⁴.

פתרון

המספר המורכב z = -2 -2 i מתבטא בצורת מלבני z = a + bi, כאשר:

a2- -2.

b = -2.

בידיעה כי הצורה הקוטבית היא z = r (cos Ɵ + i _* חטא Ɵ), עליך לקבוע את הערך של המודול "r" ואת הערך של הארגומנט "Ɵ". כמו r = √ (a² + b²), הערכים הנתונים מוחלפים:

r = √) ² + b² (= √) (- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

ואז, כדי לקבוע את הערך של "Ɵ", את צורת מלבני זה מוחל, אשר ניתנת על ידי הנוסחה:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

כמו שזוף (Ɵ) = 1 ואתה צריך<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

Receives 49/4 map less

= 5Π / 4.

ככל שהערך "R" ו "ɵ" הושג, z מספר מרוכב = -2 -2i יכול לבוא לידי ביטוי בצורה קוטבית על ידי החלפת ערכים:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4/4)).

עכשיו משפט Mover משמש לחישוב z⁴You

z⁴= 2√2 (cos (5/4) + i _* sen (5/4/4))⁴

= 32 (cos (5) + i _* סן (5)).

תרגיל 2

מצא את המוצר של המספרים המורכבים על ידי הבעת אותו בצורת הקוטב שלו:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 סנט^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 סנט^o).

לאחר מכן, לחשב (z1 * z2) ².

פתרון

תחילה נוצר תוצר של המספרים הנתונים:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 סנט^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 סנט^o)]

לאחר מכן הכפל את המודולים יחד והוסף את הארגומנטים:

z₁ z₂ = (4) _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50)^o + 100^o)]

הביטוי הוא פשוט:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 סנט^o).

לבסוף, משפט Moverre מוחל:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 סנט^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 סן^o)).

חישוב של כוחות שליליים

לחלק שני מספרים מורכבים₁ ו z₂ בצורתו הקוטבית, המודול מחולק והארגומנטים מופחתים. לפיכך, המנה היא z₁ ÷ z₂ והוא מתבטא כך:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i סן (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

כמו במקרה הקודם, אם אתה רוצה לחשב (Z1 Z2 ÷) ³ החלוקה הראשונה מתבצעת ואז משפט משמש Moivre.

תרגיל 3

בהתחשב you

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * חטא (3/4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * חטא (π / 4)),

לחשב (z1 ÷ z2) ³.

פתרון

בעקבות הצעדים המתוארים לעיל ניתן להסיק כי:

(Z1 Z2 ÷) ³ = ((4/12) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3) cos (π / 2) + i * חטא (π / 2)) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * חטא (3/2)).

הפניות

1. ארתור גודמן, ל. ח. (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
2. קראוצ'ר, מ. מתוך משפטם של מוברה לגבי זהויות הטריג. פרויקט וולפרם.
3. Hazewinkel, M. (2001). אנציקלופדיה של מתמטיקה.
4. מקס פיטרס, W. L. (1972). אלגברה וטריגונומטריה.
5. פרז, ד. (2010). חינוך פירסון.
6. סטנלי, ג '(s.f.). אלגברה ליניארית Graw-Hill.
7. , מ (1997). פרלקולוס חינוך פירסון.