נוסחאות של אוקלידס, הדגמה, יישום ותרגילים

ה המשפט של אוקלידס מדגים את המאפיינים של המשולש הימני על ידי ציור קו המחלק אותו לשני משולשים ימניים חדשים הדומים זה לזה, והם דומים למשולש המקורי; אז יש יחס של מידתיות.

Euclid היה אחד הגדולים ביותר מתמטיקאים ו geometers של העתיק מי עשה כמה הפגנות של משפט חשוב. אחד העיקריים הוא זה הנושא את שמו, אשר יש יישום רחב.

זה היה כך כי, באמצעות משפט זה, זה מסביר בצורה פשוטה את היחסים הגיאומטריים הקיימים המשולש הנכון, שבו הרגליים של זה קשורים התחזיות שלהם ב hypotenuse.

אינדקס

• 1 נוסחאות והדגמה
  • 1.1 משפט הגובה
  • 1.2 משפט הרגליים
• 2 הקשר בין משפטים של אוקלידס
• 3 תרגילים נפתרו
  • 3.1 דוגמה 1
  • 3.2 דוגמה 2
• 4 הפניות

נוסחאות והדגמה

קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים עולה כי כל משולש ישר זווית, כאשר קו המייצג את הגובה המתאים הקודקוד של הזווית הנכונה מופנית hipotenusa- שני משולשים ישרי זווית נוצרים מהמקור.

המשולשים האלה יהיו דומים זה לזה ויהיו דומים למשולש המקורי, שמשמעותו כי הצדדים הדומים ביניהם זה לזה:

זוויותיהם של שלושת המשולשים הולמות זו את זו; כלומר, כאשר מסובבים ל 180 מעלות על קודקודו, זווית חופפת בצד השני. זה מרמז שכולם יהיו שווים.

בדרך זו ניתן גם לאמת את הדמיון הקיים בין שלושת המשולשים, לפי השוויון בזוויותיהם. מתוך הדמיון של משולשים, יוקליד קובע את הפרופורציות של אלה משני משפטים:

- משפט גובה.

- משפט הרגליים.

משפט זה יש יישום רחב. בעת העתיקה הוא שימש לחישוב גבהים או מרחקים, המייצג התקדמות גדולה טריגונומטריה.

זה מיושם כיום במספר תחומים המבוססים על מתמטיקה, כגון הנדסה, פיזיקה, כימיה ואסטרונומיה, בין תחומים רבים אחרים.

משפט גובה

משפט זה קובע כי כל משולש ישר זווית, הגובה שנשאב ישרת האלכסון הוא פרופורציונאלי הגיאומטרי (בריבוע גובה) בין התחזיות של הרגליים קובעת האלכסון.

כלומר, הריבוע של גובה יהיה שווה כפל של הרגליים מוקרן היוצרים את hypotenuse:

ח_c² = m _* n

הפגנה

בהינתן משולש ABC, שהוא מלבן בקודקוד C, כאשר מתווה את גובה שני משולשים ימין דומה, ADC ו- BCD, נוצרים; לכן, הצד המקביל שלהם הוא יחסי:

באופן כזה גובה h_c אשר מתאים לתקליטור קטע, מתאים hypotenuse AB = C, אז אנחנו צריכים:

בתורו, זה מתאים ל:

ניקוי hypotenuse (ח_c), להכפיל את שני חברי השוויון, עליך:

ח_{c *} ח_{c =} מ _* n

ח_c² = m _* n

לפיכך, הערך של hypotenuse ניתנת על ידי:

משפט הרגליים

משפט זה קובע כי בכל משולש ישר זווית, ההיקף כל רגל הוא ממוצע גיאומטרי יחסי (מרובע של כל רגל) בין האמצעי של היתר (השלם) וכל השלכה על זה:

.ב² = c _* מ

א² = c_* n

הפגנה

נתון משולש ABC, כי הוא מלבן על קודקוד C, כך האלכסון שלה הוא ג, על ידי התוויית הגובה (ח) התחזיות של B הרגליים, אשר מגזרי m ו- n בהתאמה, ואשר על נקבעות את hypotenuse.

לכן, יש לנו את הגובה המשורטט על המשולש הימני ABC מייצר שני משולשים ימין דומה, ADC ו- BCD, כך הצדדים המתאימים הם פרופורציונליים, כך:

DB = n, שהיא היטל של הרגל CB על hypotenuse.

AD = m, שהוא היטל של AC catathus על hypotenuse.

לאחר מכן, את c hypotenuse נקבע על ידי סכום של הרגליים של התחזיות שלה:

c = m + n

בשל הדמיון של משולשים ADC ו BCD, אנחנו צריכים:

האמור לעיל הוא זהה:

על ידי ניקוי הרגל "א" כדי להכפיל את שני חברי השוויון, יש:

א _* a c _* n

א² = c _* n

לפיכך, הערך של הרגל "א" ניתן על ידי:

באופן דומה, על ידי הדמיון של משולשים ACB ו ADC, אנחנו צריכים:

האמור לעיל שווה ל:

על ידי ניקוי הרגל "b" כדי להכפיל את שני חברי השוויון, אחד צריך:

.ב _* b = c _* מ

.ב² = c _* מ

לפיכך, הערך של הרגל "b" ניתנת על ידי:

הקשר בין משפטיו של אוקלידס

המשפטים עם התייחסות גובה ורגליים קשורים זה לזה, כי המדד של שניהם נעשה ביחס hypotenuse של המשולש הנכון.

דרך הקשר של משפטי Euclid ערך גובה ניתן למצוא גם; זה אפשרי על ידי ניקוי ערכי m ו n מן משפט הרגל והם מוחלפים במשפט הגובה. בדרך זו, גובה שווה את הכפל של הרגליים, מחולק hypotenuse:

.ב² = c _* מ

m = b² ÷ c

א² = c _* n

n = a² ÷ c

במשפט הגובה, m ו- n מוחלפים:

ח_c² = m _* n

ח_c² = (b² C) _* (א)² C)

ח_c = (b²_* א²) ÷ c

תרגילים נפתרים

דוגמה 1

בהתחשב המשולש ABC, מלבן A, לקבוע את מידת AC ו AD, אם AB = 30 ס"מ ו- BD = 18 ס"מ

פתרון

במקרה זה יש לנו את המדידות של אחת הרגליים מוקרן (BD) ועל אחת הרגליים של המשולש המקורי (AB). בדרך זו ניתן להחיל את משפט הרגל כדי למצוא את הערך של הרגל לפנה"ס.

א.ב.² BD 49 _* לפני הספירה

(30)² 49 _* לפני הספירה

850 = 18 _* לפני הספירה

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 ס"מ

הערך של cathetus CD ניתן למצוא בידיעה כי BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 ס"מ

עכשיו אפשר לקבוע את הערך של AC catathus, החלת שוב את משפט הרגל:

AC² CD = _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² 160 =

AC = √1600 = 40 ס"מ

כדי לקבוע את הערך של גובה (AD) משפט גובה מוחל, שכן הערכים של התקליטורים הרגליים צפוי BD ידועים:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 ס"מ

דוגמה 2

לקבוע את הערך של גובה (ח) של משולש MNL, מלבן N, לדעת את המדידות של המגזרים:

NL = 10 ס"מ

MN = 5 ס"מ

PM = 2 ס"מ

פתרון

יש לך את המדידה של אחת הרגליים מוקרן על hypotenuse (PM), כמו גם את המדידות של הרגליים של המשולש המקורי. בדרך זו, משפט הרגל ניתן ליישם כדי למצוא את הערך של הרגל מוקרן אחרים (LN):

NL² PM 49 _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

כפי שאנו כבר יודעים את הערך של הרגליים ואת hypotenuse, דרך היחס של משפטי גובה ורגליים, את הערך של גובה ניתן לקבוע:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* א²) ÷ c.

h = (10)²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

גובה 125 ס"מ.

הפניות

1. Braun, E. (2011). כאוס, פרקטלים ודברים מוזרים. קרן התרבות הכלכלית.
2. Cabrera, V. M. (1974). מתמטיקה מודרנית, כרך 3.
3. דניאל הרננדס, ד 'פ. (2014). מתמטיקה שנה ג ' קראקס: סנטיאנה.
4. אנציקלופדיה בריטניקה, i. (1995). האנציקלופדיה ההיספאנית: מקרופדיה. אנציקלופדיה בריטניקה הוצאה לאור.
5. אאוקליד, ר 'פ. (1886). Euclid של אלמנטים של גיאומטריה.
6. גארדנו, א. ג. (2000). מורשת המתמטיקה: מאוקליד לניוטון, הגאונים דרך ספריו. אוניברסיטת סביליה.