משפט של Chebyshov מה זה מורכב, יישומים ודוגמאות

ה משפט של Chebyshov (או אי השוויון של Chebyshov) הוא אחד התוצאות הקלאסיות החשובות ביותר של התיאוריה של הסתברות. הוא מאפשר לאמוד את ההסתברות לאירוע המתואר במונחים של משתנה אקראי X, על ידי מתן מימד שאינו תלוי בהתפלגות המשתנה האקראי, אלא בשונות X.

שהמשפט שמו של המתמטיקאי הרוסי צ'ביצ'ב Pafnuty (שנכתב גם Chebychev או Tchebycheff) אשר, למרות שלא להיות הראשון לבטא משפט זה, היה הראשון לתת הפגנה 1867.

אי שוויון זה, או אלה המאפיינים את המאפיינים שלהם נקראים אי שוויון Chebyshov, משמש בעיקר כדי להסתמך על הסתברויות באמצעות חישוב של מידות.

אינדקס

• 1 מה זה מורכב??
• 2 יישומים ודוגמאות
  • 2.1 הסתברויות בגבולות
  • 2.2 הפגנה של משפטי הגבול
  • 2.3 גודל המדגם
• 3 אי שוויון סוג Chebyshov
• 4 הפניות

מה זה מורכב??

במחקר של תורת ההסתברות קורה שאם אנו יודעים את פונקצית ההתפלגות של משתנה אקראי X, נוכל לחשב את הערך הצפוי שלו - או את הציפייה המתמטית E (X) - ואת השונות שלה Var (X), כל עוד אמר שיש סכומים. עם זאת, הדדי אינו בהכרח נכון.

כלומר, ידיעת E (X) ו Var (X) זה לא בהכרח ניתן להשיג את הפונקציה ההפצה של X, אז כמויות כמו P (| X |> k) עבור כמה k> 0 הם מאוד קשה להשיג. אבל בזכות אי השוויון של Chebyshov ניתן להעריך את ההסתברות של המשתנה האקראי.

משפט של Chebyshov אומר לנו שאם יש לנו משתנה אקראי X על שטח מדגם S עם פונקציה ההסתברות p, ואם k> 0, ולאחר מכן:

יישומים ודוגמאות

בין היישומים הרבים שיש לתיאורייתו של צ'בישוב, ניתן לציין את הדברים הבאים:

הסתבכות של הסתברויות

זהו היישום הנפוץ ביותר והוא משמש למתן גבול עליון עבור P (X-E (X) ≥ k) כאשר k> 0, רק עם השונות והציפייה של המשתנה האקראי X, מבלי לדעת את פונקציית ההסתברות.

דוגמה 1

נניח שמספר המוצרים המיוצרים בחברה במהלך שבוע הוא משתנה אקראי עם ממוצע של 50.

אם אנו יודעים כי השונות של שבוע הייצור שווה ל 25, אז מה אנחנו יכולים לומר על ההסתברות כי זה הייצור השבוע ישתנה על ידי יותר מ 10 מהממוצע?

פתרון

החלת אי השוויון של Chebyshov אנחנו צריכים:

מכאן אנו יכולים לקבל כי ההסתברות כי בשבוע הייצור מספר המאמרים עולה על יותר מ 10 לממוצע הוא לכל היותר 1/4.

הדגמה של משפטי הגבול

חוסר השוויון של Chebyshov משחק תפקיד חשוב בהפגנה של משפטי הגבול החשוב ביותר. כדוגמה יש לנו את הדברים הבאים:

חוק חלש של מספרים גדולים

חוק זה קובע כי בהתחשב ברצף X1, X2, ..., Xn, ... של משתנים אקראיים עצמאיים עם אותה התפלגות ממוצעת E (Xi) = μ ושונות Var (X) = σ², ומדגם ממוצע ידוע של:

לאחר מכן עבור k> 0 עליך:

או, באופן שווה:

הפגנה

ראשית, שים לב לנקודות הבאות:

מאז X1, X2, ..., Xn הם עצמאיים, זה כדלקמן:

לפיכך, ניתן לאשר את הדברים הבאים:

לאחר מכן, באמצעות משפט של Chebyshov, אנחנו צריכים:

לבסוף, המשפט נובע מהעובדה כי הגבול לימין הוא אפס כאשר n נוטה אינסוף.

יצוין כי בדיקה זו נעשתה רק במקרה שבו קיימת שונות של Xi; כלומר, זה לא לסטות. כך אנו רואים כי המשפט הוא תמיד נכון אם E (Xi) קיים.

משפט הגבול של Chebyshov

אם X1, X2, ..., Xn, ... הוא רצף של משתנים אקראיים עצמאיים כגון שיש כמה C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

הפגנה

כמו רצף של וריאציות הוא מגביל באופן אחיד, יש לנו Var (Sn) ≤ C / n, עבור כל n טבעי. אבל אנחנו יודעים את זה:

על ידי הפיכת n נוטה לאינסוף, את התוצאות הבאות:

מאחר שההסתברות אינה יכולה לעלות על הערך של 1, התוצאה הרצויה מתקבלת. כתוצאה של משפט זה אנו יכולים להזכיר את המקרה של ברנולי בפרט.

אם ניסוי חוזר על עצמו פעמים n עצמאי עם שתי תוצאות אפשריות (הצלחה וכישלון), כאשר P הוא ההסתברות להצלחה בכל ניסוי ו- X הוא משתנה מקרי המייצג מספר ההצלחות, אז עבור כל k> 0 אתה צריך:

גודל המדגם

במונחים של השונות, אי השוויון של Chebyshov מאפשר לנו למצוא גודל מדגם n זה מספיק כדי להבטיח שההסתברות ש- Sn-μ |> = k = מתרחשת קטנה ככל שרצוי, המאפשרת לנו קירוב לממוצע.

במדויק, תן X1, X2, ... Xn להיות מדגם של משתנים אקראיים עצמאיים בגודל n ונניח לנו E (Xi) = μ ואת השונות שלה σ². לאחר מכן, בשל אי השוויון של Chebyshov, אנחנו צריכים:

דוגמה

נניח כי X1, X2, Xn הם מדגם של משתנים אקראיים עצמאיים עם התפלגות Bernoulli, כך שהם לוקחים את הערך 1 עם הסתברות p = 0.5.

מה צריך להיות גודל המדגם כדי להיות מסוגל להבטיח כי ההסתברות שההבדל בין הממוצע האריתמטי של Sn והערך הצפוי שלה (העולה על 0.1) קטן או שווה ל -0.01.?

פתרון

יש לנו כי E (X) = μ = p = 0.5 וכי Var (X) = σ²= p (1-p) = 0.25. עבור אי השוויון של Chebyshov, עבור כל k> 0 אנחנו צריכים:

עכשיו, לוקח k = 0.1 ו δ = 0.01, אנחנו צריכים:

בדרך זו ניתן להסיק כי יש צורך בגודל מדגם של לפחות 2500 כדי להבטיח שההסתברות של האירוע | Sn - 0.5>> 0.1 = פחות מ -0.01.

אי שוויון סוג Chebyshov

ישנם אי שוויון שונים הקשורים אי שוויון של Chebyshov. אחד הידועים ביותר הוא אי השוויון מרקוב:

בביטוי זה X הוא משתנה אקראי לא שלילי עם k, r> 0.

אי-השוויון של מרקוב יכול ללבוש צורות שונות. לדוגמה, תן Y להיות משתנה אקראי nonnegative (כך P (Y> 0 =) = 1) ו נניח כי E (Y) = μ קיים. נניח גם כי (E (Y))^ייצורμ 49_ייצור קיים עבור מספר שלם שלם> 1. ואז:

אי שוויון נוסף הוא זה של גאוס, אשר אומר לנו כי נתון משתנה אקראי Unimodal X עם מצב אפס, ולאחר מכן עבור k> 0,

הפניות

1. קאי לאי צ'אנג תורת ההסתברות הראשונית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו-יורק
2. קנת'. מתמטיקה בדידה ויישומיה. ס. א.מ.ג.ג.- היל / אינטרמריקנה ד.
3. פול ל. מאייר. הסתברות ויישומים סטטיסטיים. S.A. מקסיקני אלהמברה.
4. סימור ליפשיץ Ph.D. 2000 מתמטיקה בדידה לפתור בעיות. מקגראו-היל.
5. סימור ליפשיץ Ph.D. תיאוריה ובעיות הסתברות. מקגראו-היל.