התיאוריה של Bolzano, ההסברים והתרגילים נפתרה

ה משפט Bolzano קובע כי אם פונקציה היא רציפה בכל הנקודות של מרווח סגור [a, b] והוא מרוצה כי התמונה של "א" ו "b" (תחת הפונקציה) יש סימנים הפוכה, אז תהיה לפחות נקודה אחת "C" במרווח פתוח (a, b), כך שהפונקציה שתוערך ב- c תהיה שווה ל -0.

משפט זה המובעות על ידי פילוסוף, תיאולוג המתמטיקאי ברנרד בולצאנו בשנת 1850. המדען הזה, שלידתו צ'כיה הנוכחי זה היה אחד המתמטיקאים הראשונים בהיסטוריה ולארגן הפגנה רשמית של התכונות של פונקציות רציפות.

אינדקס

• 1 הסבר
• 2 הפגנה
• 3 מה זה??
• 4 תרגילים נפתרו
  • 4.1 מימוש 1
  • 4.2 תרגיל 2
• 5 הפניות

הסבר

המשפט של Bolzano ידוע גם כמשפט ערכי הביניים, אשר מסייע בקביעת ערכים ספציפיים, במיוחד אפסים, של פונקציות ריאליות מסוימות של משתנה אמיתי.

In a f נתון (x) רציפה, כלומר, f (א) ו- f (b) מחוברים באמצעות מעוקל, כאשר f (א) הוא מתחת ציר ה- X (שלילי), f (b) פונקציה מעל ציר x (החיובי), או להיפך, בצורה גרפית להתקיים קיצוץ x ציר מייצג ערך ביניים "ג", שהוא בין "A" "ב" ו, ואת הערך של f (ג) יהיה שווה ל 0.

על ידי ניתוח גרפי של Bolzano של משפט, אנו יכולים לדעת כי עבור כל פונקציה f רציף מוגדר במרווח [a, b], שם f (א)_*f (b) הוא פחות מ -0, יהיה לפחות שורש אחד c של אותה פונקציה בתוך המרווח (a, b).

משפט זה אינו קובע את מספר הנקודות הקיימות באותו מרווח פתוח, אלא רק קובע כי יש לפחות נקודה אחת.

הפגנה

כדי להוכיח את המשפט של Bolzano, הוא הניח ללא אובדן של כלליות כי f (א) < 0 y f(b) > 0; בדרך זו, עשויים להיות ערכים רבים בין "a" ו- "b" אשר f (x) = 0, אבל אתה רק צריך להראות שיש אחד.

התחל בהערכת F בנקודת האמצע (a + b) / 2. אם f (a + b) / 2) = 0 אז הבדיקה מסתיימת כאן; אחרת, אז f (a + b) / 2) הוא חיובי או שלילי.

אחת מחציות המרווח [a, b] נבחרת, כך שסימני הפונקציה הנמדדים בקצוות שונים. מרווח חדש זה יהיה [a1, b1].

עכשיו, אם F מוערך בנקודת האמצע של [a1, b1] הוא לא אפס, אז מבצע את אותו הדבר כמו קודם; כלומר, מחצית מרווח זה העונה על מצב הסימנים נבחרה. היה זה מרווח חדש [a2, b2].

אם תהליך זה נמשך, אזי שתי רצופות a ו- bn יילקחו, כך:

a הולך וגדל bn יורד:

≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ≤ ≤. ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

אם לחשב את אורך כל מרווח [ai, bi], יהיה עליך:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-a = (b-a) / 2 ^ n.

לכן, הגבול כאשר n נוטה לאינסוף (bn-a) שווה ל -0.

השימוש ב- a הולך וגדל ו bn יורד ומתחבר, חייב להיות ערך "c" כך:

≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ≤ ... ≤ c c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

הגבול של "c" ​​הוא הגבול של bn הוא גם "c". לכן, בהינתן כל δ> 0, יש תמיד "n" כך שהרווח [a, bn] נמצא בתוך המרווח (c-δ, c + δ).

עכשיו, זה חייב להיות מוצג כי f (c) = 0.

אם f (c)> 0, לאחר מכן f הוא רציף, קיים ε> 0 כך ש- f הוא חיובי לאורך כל המרווח (c-ε, c + ε). עם זאת, כאמור לעיל, ערך "n" כך ששינויים F היכנסו [an, bn] וגם [an, bn] מוכל בתוך (ג-ε ג + ε), את מהי סתירה.

אם f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 כך f הוא שלילי לאורך כל מרווח (c-ε, c + ε); אבל קיים ערך "n" כך ששינויים f נכנסים [a, bn]. מתברר כי [a, bn] כלול בתוך (c-ε, c + ε), שהוא גם סתירה.

לכן, f (c) = 0 וזה מה שרצינו להפגין.

בשביל מה??

מהפרשנות הגרפית, משפט בולצאנו משמש כדי למצוא שורשים או לאפסי פונקציה רציפה באמצעות ביתור (קירוב), שהיא שיטה שתמיד מחלק מרווחי חיפוש מצטברים 2.

לאחר מכן, קח מרווח [a, c] או [c, b] שבו משתנה הסימן, וחזור על התהליך עד שהרווח קטן וקטן יותר, כך שתוכל לגשת לערך הרצוי לך; כלומר, הערך שהפונקציה עושה 0.

לסיכום, ליישם את התיאוריה של Bolzano ובכך למצוא את השורשים, תחום את אפסים של פונקציה או לתת פתרון למשוואה, השלבים הבאים מתבצעים:

- זה מאומת אם F הוא פונקציה רציפה במרווח [a, b].

- אם המרווח לא ניתן, יש למצוא את הפונקציה הרציפה.

- זה מאומת אם הקצוות של המרווח לתת סימנים הפוכה כאשר מוערך ב F.

- אם סימנים מנוגדים לא מתקבלים, מרווח צריך להיות מחולק לשני subintervals באמצעות נקודת האמצע.

- להעריך את הפונקציה על נקודת האמצע ולוודא כי ההשערה Bolzano הוא פגש, שם f (א) _* f (b) < 0.

- בהתאם לשלט (חיובי או שלילי) של הערך שנמצא, התהליך חוזר על עצמו עם תת-משנה חדשה עד להשגת ההשערה האמורה.

תרגילים נפתרים

תרגיל 1

קבע אם הפונקציה f (x) = x² - 2, יש לפחות פתרון אחד אמיתי במרווח [1,2].

פתרון

יש לנו את הפונקציה f (x) = x² - 2. מכיוון שהוא פולינומי, זה אומר שהוא רציף בכל מרווח.

אתה מתבקש לקבוע אם יש לך פתרון אמיתי במרווח [1, 2], אז עכשיו אתה רק צריך להחליף את הקצוות של המרווח בפונקציה כדי לדעת את הסימן של אלה ולדעת אם הם עומדים בתנאי של להיות שונה:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (שלילי)

f (2) = 2² - 2 = 2 (חיובי)

לכן, סימן של f (1) סימן ו '(2).

זה מבטיח כי יש לפחות נקודה אחת "c" השייכת מרווח [1,2], שם f (c) = 0.

במקרה זה, הערך של "c" ​​ניתן לחשב בקלות כדלקמן:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

לכן, √2 ≈ 1,4 שייך למרווח [1,2] ומספק את F (√2) = 0.

תרגיל 2

להוכיח את המשוואה x⁵ + x + 1 = 0 יש לפחות פתרון אחד אמיתי.

פתרון

הערה ראשונה f (x) = x⁵ + x + 1 היא פונקציה פולינומית, כלומר היא רציפה בכל המספרים הממשיים.

במקרה זה, לא ניתנת מרווח, לכן יש לבחור ערכים באופן אינטואיטיבי, רצוי קרוב ל 0, כדי להעריך את הפונקציה ולמצוא את הסימן משתנה:

אם אתה משתמש במרווח [0, 1] עליך:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

מאחר שאין שינוי סימן, התהליך חוזר על עצמו עם מרווח נוסף.

אם אתה משתמש במרווח [-1, 0] עליך:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

במרווח זה יש שינוי סימן: סימן של f (-1) ≠ סימן של f (0), כלומר הפונקציה f (x) = x⁵ + x + 1 יש לפחות שורש אחד אמיתי "c" במרווח [-1, 0], כך ש- f (c) = 0. במילים אחרות, נכון ש- x⁵ + x + 1 = 0 יש פתרון אמיתי במרווח [-1,0].

הפניות

1. ברונשטיין אני, ק '(1988). מדריך למתמטיקה עבור מהנדסים וסטודנטים ... עריכה MIR.
2. ג'ורג ', א. (1994). מתמטיקה ומחשבה. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.
3. Ilín V, P. E. (1991). ניתוח מתמטי בשלושה כרכים ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). מורים לחינוך העל. כרך II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). המאפיינים הבסיסיים של הניתוח ב ר 'עורכים, 20 דצמבר.
6. Piskunov, N. (1980). חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). מתמטיקה לניתוח כלכלי. פליקס ורלה.
8. ויליאם ה 'בארקר, ר' ח '(s.f.). סימטריה רציפה: מאוקליד לקליין. חברה אמריקאית מתמטית.