שתף:
מוצרים בולטים הסבר ותרגילים נפתרה
ה מוצרים מרשימים הם פעולות אלגבריות, שבהן הכפילויות של פולינומים באים לידי ביטוי, אשר לא צריך להיפתר באופן מסורתי, אבל בעזרת חוקים מסוימים אתה יכול למצוא את התוצאות של אותם.
פולינומים מוכפלים בעצמם, ולכן הם עשויים להיות מספר רב של מונחים ומשתנים. כדי להפוך את התהליך קצר יותר, הכללים של מוצרים מרשימים משמשים, המאפשרים הכפלות להיות שנעשו מבלי ללכת על ידי טווח..
אינדקס
- 1 מוצרים ודוגמאות בולטות
- 1.1 בינומי בריבוע
- 1.2 תוצר של בינומים מצומדים
- 1.3 מוצר של שני בינומים עם מונח משותף
- 1.4 פולינום מרובע
- 1.5 בינומית לקובייה
- 1.6 דלי טרינומי
- 2 תרגילים נפתרים עבור מוצרים יוצאי דופן
- 2.1 מימוש 1
- 2.2 תרגיל 2
- 3 הפניות
מוצרים בולטים ודוגמאות
כל מוצר יוצא דופן הוא נוסחה הנובעת פקטורציה, המורכבת פולינומים של מונחים שונים כגון binomials או trinomials, שנקרא גורמים.
הגורמים הם הבסיס של כוח יש מעריך. כאשר הגורמים מתרבים, יש להוסיף את המעריכים.
ישנם מספר נוסחאות מוצר יוצא דופן, חלקם משמשים יותר מאחרים, בהתאם פולינומים, והם כדלקמן:
בינומית בריבוע
זהו הכפל של בינום בפני עצמו, המתבטא בצורה של כוח, שבו התנאים מוסיפים או מופחתים:
א. בינומי של סכום לכיכר: שווה לריבוע של המונח הראשון, בתוספת פעמיים תוצר של התנאים, בתוספת הריבוע של המונח השני. זה בא לידי ביטוי כדלקמן:
(a + b)2 = (a + b) * (a + b).
האיור הבא מראה כיצד המוצר פותח על פי הכלל הנ"ל. התוצאה נקראת טרינום של ריבוע מושלם.
דוגמה 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5 ²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
דוגמה 2
(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4 א * 2b) + (2b)2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
.ב בינומי של חיסור בריבוע: אותו כלל חל על הבינומי של סכום, רק שבמקרה זה המונח השני הוא שלילי. הנוסחה שלה היא כדלקמן:
(א - ב)2 = [(a) + (- b)]2
(א - ב)2 = a2 +2 א * (-b) + (-b)2
(א - ב)2 = a2 - 2ab + b2.
דוגמה 1
(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6)2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.
תוצר של בינומים מצומדות
שני binomials הם מצומדות כאשר השני במונחים של כל אחד מהם הם סימנים שונים, כלומר, הראשון הוא חיובי של השני שלילי או להיפך. לפתור על ידי העלאת כל ריבוע מונומי מחסור. הנוסחה שלה היא כדלקמן:
(a + b) * (א - ב)
באיור הבא נוצר תוצר של שני בינומים מצומדים, שם נצפה כי התוצאה היא הפרש ריבועים.
דוגמה 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
מוצר של שני בינומים עם מונח משותף
זהו אחד המוצרים המורכבים ביותר בשימוש מועט ביותר כי זה כפל של שני binomials כי יש מונח משותף. הכלל מציין את הפרטים הבאים:
- הכיכר של המונח המשותף.
- בנוסף להוסיף את התנאים שאינם נפוצים ולאחר מכן להכפיל אותם על ידי המונח המשותף.
- בנוסף סכום של כפל של מונחים שאינם נפוצים.
הוא מיוצג בנוסחה: (x + a) * (x + b) והוא מפותח כפי שמוצג בתמונה. התוצאה היא trinomial מרובע לא מושלם.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6) * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
קיימת אפשרות שהמונח השני (המונח השונה) הוא שלילי ונוסחתו היא כדלקמן: (x + a) * (x - b).
דוגמה 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
זה יכול להיות גם כי שני מונחים שונים הם שליליים. הנוסחה שלה תהיה: (x - a) * (x - b).
דוגמה 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
פולינום מרובע
במקרה זה יש יותר משני מונחים ולפתח אותו, כל אחד מהם הוא מרובע ומוסיף יחד עם כפליים של הכפלה של מונח אחד עם אחר; הנוסחה שלה היא: (a + b + c)2 ואת התוצאה של המבצע הוא trinomial בריבוע.
דוגמה 1
(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6x + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12x + 24xz + 16yz.
הבינום לקובייה
זהו מוצר מורכב מדהים. כדי לפתח אותו, להכפיל את הבינומי ליד הכיכר שלה, בדרך הבאה:
א. עבור הבינומי לקוביה של סכום:
- הקוביה של המונח הראשון, בתוספת משולש הכיכר של המונח הראשון על ידי השני.
- בנוסף לשלש את המונח הראשון, עבור השני בריבוע.
- בנוסף הקוביה של המונח השני.
(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2
(a + b)3 = (a + b) * (א)2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2 א2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + .ב3
(a + b)3 = a3 + 3 א2b + 3ab2 + .ב3.
דוגמה 1
(+ 3)3 = a3 + 3 (א)2*(3) + 3 (א)*(3)2 + (3)3
(+ 3)3 = a3 + 3 (א)2*(3) + 3 (א)*(9) + 27
(+ 3)3 = a3 + 9 א2 + 27 + 27.
.ב עבור הבינומי לקובייה של חיסור:
- הקוביה של המונח הראשון, בניכוי משולש הכיכר של המונח הראשון על ידי השני.
- בנוסף לשלש את המונח הראשון, עבור השני בריבוע.
- פחות הקוביה של המונח השני.
(א - ב)3 = (a - b) * (א - ב)2
(א - ב)3 = (a - b) * (א)2 - 2ab + b2)
(א - ב)3 = a3 - 2 א2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - .ב3
(א - ב)3 = א3 - 3 א2b + 3ab2 - .ב3.
דוגמה 2
(ב - 5)3 = b3 + 3 (ב)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3
(ב - 5)3 = b3 + 3 (ב)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125
(ב - 5)3 = b3 - 15 ב2 +75b - 125.
דלי של טרינום
הוא מתפתח על ידי הכפלתו בכיכר שלו. זהו מוצר יוצא דופן מאוד נרחב כי יש 3 מונחים שהועלו על הקוביה, בתוספת שלוש פעמים כל ריבוע המונח, מוכפל בכל אחד מהמונחים, בתוספת שש פעמים את התוצר של שלושת המונחים. נראה טוב יותר:
(+ b + c)3 = (+ b + c) * (+ b + c)2
(+ b + c)3 = (+ b + c) * (א)2 + .ב2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(+ b + c)3 = A3 + .ב3 + c3 + 3 א2b + 3ab2 + 3 א2c + 3ac2 + 3 ב2c + 3bc2 + 6abc.
דוגמה 1
תרגילי פתור של מוצרים יוצאי דופן
תרגיל 1
לפתח את הבינומי הבא לקובייה: (4x - 6)3.
פתרון
נזכיר כי בינומי לקובייה שווה למונח הראשון שהועלה לקובייה, פחות משולש הכיכר של המונח הראשון בשנייה; בתוספת משולש של המונח הראשון, על ידי השני בריבוע, מינוס הקוביה של המונח השני.
(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2
(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36
(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
תרגיל 2
לפתח את הבינומי הבא: (x + 3) (x + 8).
פתרון
יש בינומי שבו יש מונח נפוץ, שהוא x והמונח השני הוא חיובי. כדי לפתח את זה אתה רק צריך למקם את המונח המשותף, בתוספת סכום של תנאים שאינם נפוצים (3 ו - 8) ולאחר מכן להכפיל אותם על ידי המונח המשותף, בתוספת סכום של כפל של מונחים שאינם נפוצים.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3)*8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
הפניות
- אנג'ל, ר '(2007). אלגברה יסודית. חינוך פירסון,.
- ארתור גודמן, ל 'ח' (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
- Das, S. (s.f.). מתמטיקה פלוס 8. בריטניה: רטנה סגר.
- ג'רום א. קאופמן, ק 'ל' (2011). אלגברה בסיסית ו ביניים: גישה משולבת. פלורידה: למידה Cengage.
- פרז, ד. (2010). חינוך פירסון.