הגדרה פירמידית משושה, מאפיינים ודוגמאות לחישוב

אחת פירמידה משושה הוא polyhedron שנוצר על ידי משושה, המהווה את הבסיס, ואת שישה משולשים כי מתחילים מ קודקודים של משושה ו concur בנקודה מחוץ המטוס המכיל את הבסיס. בנקודה זו של הסכמה זה נקרא קודקוד או השיא של הפירמידה.

פוליאתרון הוא גוף גיאומטרי תלת מימדי סגור שפניו דמויות שטוחות. משושה הוא דמות סגורה שטוחה (פוליגון) שנוצרה על ידי שישה צדדים. אם לשישה הצדדים יש את אותו אורך וזוויות שוות, הוא אמר להיות קבוע; אחרת זה לא סדיר.

אינדקס

• 1 הגדרה
• 2 מאפיינים
  • 2.1 קעור או קמור
  • 2.2 קצוות
  • 2.3 Apotema
  • 2.4 מסומן
• 3 כיצד לחשב את השטח? נוסחאות
  • 3.1 חישוב פירמידות משושה לא סדיר
• 4 כיצד לחשב את עוצמת הקול? נוסחאות
  • 4.1 חישוב פירמידות משושה לא סדירות
• דוגמה 5
  • 5.1 פתרון
• 6 הפניות

הגדרה

פירמידה משושה מכילה שבעה פרצופים, הבסיס ושש המשולשים לרוחב, אשר הבסיס הוא היחיד שלא נוגע קדקוד.

הוא אמר כי הפירמידה היא ישר אם כל המשולשים לרוחב הם שוהים. במקרה זה גובה הפירמידה הוא הקטע העובר מקודקוד למרכז המשושה.

ככלל, גובה הפירמידה הוא המרחק בין קודקוד לבין המטוס של הבסיס. הוא אמר כי הפירמידה היא אלכסונית אם לא כל המשולשים לרוחב הם שוהים.

אם משושה הוא קבוע הפירמידה היא גם ישר, הוא אמר להיות פירמידה משושה רגיל. באופן דומה, אם המשושה אינו סדיר או הפירמידה היא אלכסונית, הוא אמר להיות פירמידה משושה לא סדירה..

תכונות

קעור או קמור

מצולע הוא קמור אם המדד של כל זוויות הפנים הוא פחות מ 180 מעלות. מבחינה גיאומטרית, זה שווה לומר כי, בהתחשב זוג נקודות בתוך המצולע, קטע הקו שמצטרף אליהם נכלל המצולע. אחרת הוא אמר כי המצולע הוא קעור.

אם משושה הוא קמור, הוא אמר כי הפירמידה היא פירמידה קמור משושה. אחרת, זה יהיה אמר כי זה פירמידה משושה קעור.

קצוות

קצוות הפירמידה הם צדי שש המשולשים שמרכיבים אותה.

אפוטמה

הקצה של הפירמידה הוא המרחק בין הקודקוד לבין צדי בסיס הפירמידה. הגדרה זו רק הגיוני כאשר הפירמידה היא קבועה, כי אם זה לא סדיר זה המרחק משתנה בהתאם למשולש שנחשב.

לעומת זאת, ב הפירמידות הרגילות apothem מתאים לגובה של כל משולש (שכן כל הוא isosceles) ויהיה זהה בכל משולשים.

הקצה של הבסיס הוא המרחק בין אחד מצידי הבסיס ומרכזו. אגב זה מוגדר, apothem של הבסיס גם הגיוני רק בפירמידות רגילות.

מסומן

גובה של פירמידה משושה יהיה מסומן על ידי ח, את apothem של הבסיס (במקרה הרגיל) על ידי APB ואת apothem של הפירמידה (גם במקרה הרגיל) על ידי AP.

מאפיין של פירמידות משושה רגיל הוא זה ח, APB ו AP ליצור משולש ימין של hypotenuse AP ואת הרגליים ח ו APB. לפי משפט Pythagorean אתה צריך AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

התמונה הקודמת מייצגת פירמידה רגילה.

כיצד לחשב את השטח? נוסחאות

שקול פירמידה משושה רגיל. להיות מותאם לכל צד של משושה. אז A מתאים למדוד של הבסיס של כל משולש של הפירמידה, ולכן, את הקצוות של הבסיס.

השטח של מצולע הוא תוצר של המערכת (סכום של הצדדים) על ידי apothem של הבסיס, מחולק לשניים. במקרה של משושה זה יהיה 3 * A * APB.

ניתן לראות כי שטח של פירמידה משושה רגיל שווה שש פעמים את השטח של כל משולש של הפירמידה בתוספת שטח הבסיס. כאמור, גובהו של כל משולש תואם את apothem של הפירמידה, AP.

לכן, השטח של כל משולש של הפירמידה ניתן על ידי A * AP / 2. לפיכך, השטח של פירמידה משושה רגיל הוא 3 * A (APB + AP), כאשר A הוא קצה הבסיס, APB הוא apothem של הבסיס AP APOThem של הפירמידה.

חישוב בפירמידות משושה לא סדירות

במקרה של פירמידה משושה לא סדירה אין נוסחה ישירה לחישוב השטח כמו במקרה הקודם. הסיבה לכך היא כי כל משולש של הפירמידה הולך להיות אזור אחר.

במקרה זה, יש לחשב את השטח של כל משולש בנפרד ואת שטח הבסיס. ואז, שטח הפירמידה יהיה סכום של כל התחומים שחושבו בעבר.

כיצד לחשב את עוצמת הקול? נוסחאות

נפח פירמידה של צורה משושה רגיל הוא תוצר של גובה הפירמידה על ידי שטח הבסיס בין שלוש. לכן, נפח של פירמידה משושה רגיל ניתנת על ידי A * APB * H, כאשר A הוא קצה הבסיס, APB הוא apothem של הבסיס ו- h הוא גובה הפירמידה.

חישוב בפירמידות משושה לא סדירות

באופן דומה לאזור, במקרה של פירמידה משושה לא סדירה אין נוסחה ישירה לחישוב נפח מאז הקצוות של הבסיס אין את אותו מידה כי זה מצולע לא סדיר.

במקרה זה, יש לחשב את שטח הבסיס בנפרד והנפח יהיה (h * אזור הבסיס) / 3.

דוגמה

לחשב את השטח ואת נפח של פירמידה משושה רגיל של גובה 3 ס"מ, אשר הבסיס הוא משושה רגיל של 2 ס"מ בכל צד ואת apothem של הבסיס הוא 4 ס"מ.

פתרון

ראשית עלינו לחשב את apothem של הפירמידה (AP), אשר הוא חסר רק נתונים. כאשר מסתכלים על התמונה לעיל, ניתן לראות כי גובה הפירמידה (3 ס"מ) ואת apothem של הבסיס (4 ס"מ) יוצרים משולש ימין; לכן, כדי לחשב את apothem של הפירמידה אנו משתמשים משפט פיתגורס:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

לכן, תוך שימוש בנוסחה שנכתבה לעיל, השטח שווה ל- 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

מצד שני, באמצעות הנוסחה של נפח אנו מקבלים כי נפח הפירמידה נתון הוא 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.

הפניות

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2013). מתמטיקה: גישה לפתרון בעיות למורים לחינוך בסיסי. López Mateos עורכים.
2. Fregoso, R. S., & Carrera, S. A. (2005). מתמטיקה 3. עריכה Progreso.
3. Gallardo, G., & Pilar, P. M. (2005). מתמטיקה 6. עריכה Progreso.
4. Gutiérrez, C. T, & Cisneros, M. P. (2005). קורס מתמטיקה 3. עריכה Progreso.
5. Kinsey, L., & Moore, T. E. (2006). סימטריה, צורה וחלל: מבוא למתמטיקה באמצעות גיאומטריה (מאויר, דפוס מחדש). ספרינגר מדע ומדיה עסקית.
6. Mitchell, C. (1999). עיצובים קו מתוחכם (מאוירת עורכים). Scholastic Inc.
7. ר ', מ' פ. (2005). אני מצייר 6 מעלות. עריכה Progreso.