מקור לוגי מתמטי, אילו מחקרים, סוגים

ה לוגיקה מתמטית או לוגיקה סימבולית היא שפה מתמטית הכוללת את הכלים הדרושים שבאמצעותם ניתן להסביר או להכחיש את ההיגיון המתמטי.

זה ידוע כי במתמטיקה אין עמימות. בהינתן טיעון מתמטי, זה תקף או פשוט לא. זה לא יכול להיות שקר ונכון בעת ​​ובעונה אחת.

היבט מסוים של המתמטיקה היא כי יש לו שפה רשמית וקפדנית שדרכו תוקף של חשיבה ניתן לקבוע. מה זה עושה את ההגיון או כל הוכחה מתמטית בלתי ניתנת לערעור? זה מה ההיגיון המתמטי הוא כל העניין.

לפיכך, הלוגיקה היא המשמעת של המתמטיקה כי הוא אחראי על חקר ההנמקה וההיגיון מתמטיים, ולספק את הכלים כדי להיות מסוגל להסיק מסקנה נכונה מן הצהרות או הצעות קודמות.

כדי לעשות זאת, זה עושה שימוש axioms והיבטים מתמטיים אחרים אשר יפותח מאוחר יותר.

אינדקס

• 1 מוצא והיסטוריה
  • 1.1 אריסטו
• 2 מה לוגיקה מתמטית מחקרים?
  • 2.1 הצעות
  • 2.2 טבלאות האמת
• 3 סוגים של לוגיקה מתמטית
  • 3.1 אזורים
• 4 הפניות

מוצא והיסטוריה

התאריכים המדויקים לגבי היבטים רבים של לוגיקה מתמטית אינם בטוחים. עם זאת, רוב ביבליוגרפיות בנושא להתחקות אחר המקור של זה ליוון העתיקה.

אריסטו

ההתחלה של הטיפול הקפדני בהיגיון מיוחסת, בין השאר, לאריסטו, שכתב סדרה של יצירות לוגיות, שנאספו ונפתחו מאוחר יותר על ידי פילוסופים ומדענים שונים, עד ימי הביניים. זה יכול להיחשב "ההיגיון הישן".

ואז, שבו הוא ידוע בתור הגיל העכשווי, לייבניץ, מונע על ידי רצון עז להקים שפה אוניברסלית מתמטיקה באופן הגיוני, ומתמטיקאים אחרים כגון גוטלוב פרגה ג'וזפה פאנו, בעיקר השפיע על ההתפתחות של לוגיקה מתמטית עם תרומות גדולות , ביניהם, אקסיומות של Peano, אשר לגבש תכונות הכרחיות של מספרים טבעיים.

גם השפיעו על מתמטיקאים הפעם ג'ורג 'בול ו גיאורג קנטור, עם תרומות חשובות להגדיר שולחנות התיאוריה ואמת, אשר הדגיש, בין היתר, אלגברה בוליאנית (על ידי ג'ורג' בול) ואת אקסיומת הבחירה (מאת ג'ורג 'קנטור).

אוגוסטוס דה מורגן גם עם החוקים הידועים מורגן, שוקל שלילות, צירופים, disjunctions ואת התניות בין הטענות, המפתח להתפתחות הלוגיקה סימבולית ואת ג'ון ון המפורסם דיאגרמות ון.

במאה ה -20, בין 1910 ל -1913, בולטים ברטרנד ראסל ואלפרד נורת וייטהד עם פרסומם עקרונות מתמטיקאים, אוסף של ספרים שאוספים, מפתחת ומאשרת שורה של אקסיומות ותוצאות לוגיות.

אילו מחקרים לוגיים מתמטיים?

הצעות

לוגיקה מתמטית מתחילה בחקר ההנחות. הצעה היא הצהרה כי ללא כל עמימות ניתן לומר אם זה נכון או לא. להלן דוגמאות להצעות:

• 2 + 4 = 6.
• 5²= 35.
• בשנת 1930 היתה רעידת אדמה באירופה.

הראשון הוא הצעה אמיתית והשנייה היא הצעה שקרית. השלישי, למרות שייתכן כי מי שקורא אותו אינו יודע אם זה נכון או מיד, זה משפט כי ניתן לאמת וקבע אם זה באמת קרה או לא.

להלן דוגמאות לביטויים שאינם הצעות:

• היא בלונדינית.
• 2x = 6.
• בואו נשחק!
• האם אתה אוהב את הקולנוע?

בהצעה הראשונה, לא צוין מי היא "היא", ולכן שום דבר לא יכול להיות affirmed. בהצעת השני, לא מיוצג על ידי "x". אם במקום זה נאמר כי 2x = 6 עבור מספר כלשהו x טבעי, במקרה זה היה מתאים הצעה, למעשה נכון, שכן עבור x = 3 הוא מילא.

שתי ההצהרות האחרונות אינן מתאימות להצעה, שכן אין דרך להכחיש או לאשר אותן.

ניתן לשלב או לחבר בין שתי הצעות או יותר באמצעות המחברים המחברים (או המחברים) הידועים. אלה הם:

• הכחשה: "לא יורד גשם".
• הפרדה: "לואיסה קנה תיק לבן או אפור".
• צירוף: "4²= 16 ו- 2 × 5 = 10 ".
• מותנה: "אם יורד גשם, אז אני לא הולכת לחדר הכושר אחר הצהריים".
• Biconditional: "אני הולך לחדר כושר אחר הצהריים אם, ורק אם, זה לא גשם".

הצעה שאין לה את החיבור הקודם, נקראת הצעה פשוטה (או אטומית). לדוגמה, "2 הוא פחות מ 4", היא הצעה פשוטה. ההנחות שיש להן חיבור כלשהו נקראות 'הצעות מורכבות', כמו למשל '1 + 3 = 4 ו- 4 הוא מספר זוגי'.

ההצהרות שנעשו באמצעות הצעות הן בדרך כלל ארוכות, ולכן זה מייגע לכתוב אותן תמיד כפי שראינו עד כה. מסיבה זו, נעשה שימוש בשפה סמלית. ההצעות מיוצגות בדרך כלל באותיות גדולות כגון P, Q, R, S, וכו ' ואת החיבור הסמלי כדלקמן:

אז זה

ה הדדי של הצעה מותנית

היא ההצעה

ואת counterreproach (או סותרת) של הצעה

היא ההצעה

טבלאות האמת

מושג חשוב נוסף בהיגיון הוא זה של טבלאות האמת. ערכי האמת של הצעה הם שתי האפשרויות הזמינות עבור הצעה: אמת (אשר יסומן על ידי V ואת הערך האמיתי שלה יהיה אמר להיות V) או שקר (אשר יסומן על ידי F והערך שלה יהיה אמר זה באמת F).

ערך האמת של הצעה מורכבת תלוי אך ורק בערכי האמת של ההנחות הפשוטות המופיעות בו.

כדי לעבוד באופן כללי יותר, לא נשקול הצעות ספציפיות, אלא משתנים מוצעים p, q, r, s, וכו ', אשר מייצגים כל הצעה.

עם משתנים אלה ואת חיבורים לוגי נוסחאות הצעה ידועים נוצרים בדיוק כמו הצהרות מורכבים נבנים.

אם כל המשתנים המופיעים בנוסחת הצעה מוחלפת על ידי הצעה, מתקבלת הצעה מורכבת.

להלן טבלאות האמת עבור חיבורים לוגיים:

ישנן נוסחאות הצעה המקבלות רק את הערך V בטבלת האמת שלהם, כלומר, הטור האחרון של טבלת האמת שלהם יש רק את הערך V. סוג זה של נוסחאות ידוע בשם tautologies. לדוגמה:

להלן טבלת האמת של הנוסחה

הוא אמר כי נוסחה α הגיוני מרמז נוסחה אחרת β, אם α נכון בכל פעם β נכון. כלומר, בטבלת האמת של α β, את השורות שבהן α יש V, β יש גם V. רק את השורות שבהן α יש ערך V הם עניין.הסימן עבור ההשלכות הלוגיות היא הבאה You

הטבלה הבאה מסכמת את מאפייני ההשלכה הלוגית:

נאמר כי שתי נוסחאות הצעה הן שוות ערך מבחינה לוגית, אם טבלאות האמת שלהם זהות. הסימון הבא משמש לביטוי ההשוואה הלוגית:

הטבלאות שלהלן מסכמות את המאפיינים של ההשוואה הלוגית:

סוגי לוגיקה מתמטית

ישנם סוגים שונים של לוגיקה, במיוחד אם לוקחים בחשבון את ההיגיון הפרגמטי או הבלתי פורמלי המצביע על הפילוסופיה, בין תחומים אחרים.

מבחינת המתמטיקה, ניתן לסכם את סוגי הלוגיקה כדלקמן:

• לוגי פורמלי או אריסטוטלי (לוגיקה עתיקה).
• ההיגיון המוצע: אחראי על לימוד כל מה שקשור לתוקף של טיעונים והצעות באמצעות שפה רשמית וגם סמלית.
• לוגיקה סימבולית: התמקדה בחקר הסטים ותכונותיהם, גם בשפה פורמלית וסמלית, וקשורה עמוקות ללוגיקה המוצעת.
• לוגיקה קומבינטורית: אחת המפותחות ביותר, כוללת תוצאות שניתן לפתח באמצעות אלגוריתמים.
• תכנות לוגי: נעשה שימוש בחבילות השונות ובשפות התכנות.

אזורים

בין התחומים העושים שימוש בלוגיקה מתמטית כך חיוני בהתפתחות החשיבה טענותיהם, הם מדגישים את הפילוסופיה, תורת הקבוצות, תורת המספרים, מתמטיקה בונה אלגבריים ושפות תכנות.

הפניות

1. Aylwin, C. U. (2011). לוגיקה, סטים ומספרים. מרידה - ונצואלה: מועצת הפרסומים, אוניברסיטת לוס אנדס.
2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). מבוא לתורת המספרים. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). קורס בסיסי בתורת המספרים. אוניברסיטת צפון.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). כיצד לפתח היגיון לוגי מתמטי. מערכת האוניברסיטה.
5. סרגוסה, א.ג. (s.f.). תורת המספרים. ספרים העריכה חזון.