וקטור אלגברה בסיסיים, מגניטודים, וקטורים

ה אלגברה וקטורית הוא ענף של מתמטיקה אחראי על לימוד מערכות של משוואות לינאריות, וקטורים, מטריצות, מרחבים וקטוריים ושינויים לינאריים שלהם. זה קשור בתחומים כגון הנדסה, פתרון משוואות דיפרנציאלי, ניתוח פונקציונלי, מחקר תפעול, גרפיקה ממוחשבת, בין היתר..

תחום נוסף שאימץ את האלגברה הליניארית הוא הפיזיקה, משום שבמסגרת זו פותח ללמוד תופעות פיזיות, המתאר אותן באמצעות שימוש בקטורים. זה איפשר הבנה טובה יותר של היקום.

אינדקס

• 1 יסודות
  • 1.1 גיאומטרית
  • 1.2 אנליטית
  • 1.3 אקסיומה
• מגניטודות
  • 2.1 גודל סקלרי
  • 2.2 גודל וקטור
• 3 מה הם וקטורים?
  • 3.1 מודול
  • 3.2 כתובת
  • 3.3 תחושת
• 4 סיווג וקטורים
  • 4.1 וקטור קבוע
  • 4.2 וקטור חופשי
  • 4.3 וקטור הזזה
• 5 תכונות של וקטורים
  • 5.1 וקטורים
  • 5.2 וקטורים מקבילים
  • 5.3 שוויון של וקטורים
  • 5.4 מול וקטורים
  • 5.5 וקטור יחידה
  • 5.6 Null וקטור
• 6 רכיבי וקטור
  • 6.1 דוגמאות
• 7 פעולות עם וקטורים
  • 7.1 הוספת וחיסור וקטורים
  • 7.2 כפל של וקטורים
• 8 הפניות

יסודות

אלגברה וקטורית שמקורה המחקר של quaternions (הרחבה של מספרים ממשיים) 1, i, j, k, כמו גם בגיאומטריה קרטזית שמקדמת גיבס ו Heaviside, אשר הבינו כי וקטורים לשרת ככלי מייצגות תופעות פיזיות שונות.

ואלקטברה וקטורית נלמדת באמצעות שלושה יסודות:

גיאומטרית

הווקטורים מיוצגים על ידי קווים בעלי כיוון, והפעולות כגון חיבור, חיסור וכפל במספרים ריאליים מוגדרים בשיטות גיאומטריות.

מבחינה אנליטית

התיאור של הווקטורים והפעולות שלהם נעשה עם מספרים, הנקראים רכיבים. סוג זה של תיאור הוא תוצאה של ייצוג גיאומטרי כי מערכת קואורדינטות משמש.

אקסיומטית

תיאור של וקטורים נעשה, ללא קשר למערכת הקואורדינטות או כל סוג של ייצוג גיאומטרי.

המחקר של דמויות בחלל נעשה באמצעות הייצוג שלהם במערכת התייחסות, אשר יכול להיות בממד אחד או יותר. בין המערכות העיקריות:

- מערכת חד-ממדית, שהיא קו שבו נקודה אחת (O) מייצגת את המקור ונקודה אחרת (P) קובעת את קנה המידה (אורך) ואת הכיוון שלו:

- מערכת קואורדינטות מלבניות (דו מימדיות), המורכבת משני קווים אנכיים הנקראים ציר ה- X והציר ה- y, העוברים דרך נקודת מוצא (O); בדרך זו המטוס מחולק לארבעה אזורים הנקראים רבעים. במקרה זה הנקודה (P) במישור ניתנת על ידי המרחקים הקיימים בין הצירים ו- P.

- מערכת הקואורדינטות פולאר (דו מימדי). במקרה זה, המערכת מורכבת מנקודה O (מקור) הנקראת מוט ורדי עם מקור O הנקרא ציר הקוטב. במקרה זה הנקודה P של המטוס, בהתייחסות לקוטב ולציר הקוטב, ניתנת על ידי הזווית (Ɵ), אשר נוצר על ידי המרחק בין המוצא לנקודה P.

- מערכת תלת ממדית מלבנית, שנוצרה על ידי שלושה קווים אנכיים (x, y, z) שיש להם נקודת מוצא בחלל. שלושה מטוסי קואורדינטות נוצרים: xy, xz ו- yz; החלל יחולק לשמונה אזורים הנקראים octants. ההתייחסות לנקודה P של החלל ניתנת על ידי המרחקים הקיימים בין המטוסים לבין P.

מגניטודות

גודל הוא כמות פיזית שניתן לספור או למדוד באמצעות ערך מספרי, כמו במקרה של כמה תופעות פיזיות; עם זאת, לעתים קרובות יש צורך להיות מסוגל לתאר תופעות אלה עם גורמים אחרים שאינם מספריים. זו הסיבה שהגדלים מסווגים לשני סוגים:

גודל סקלרי

אלה הם כמויות המוגדרות ומיוצגות באופן מספרי; כלומר, על ידי מודול יחד עם יחידת מדידה. לדוגמה:

א) זמן: 5 שניות.

ב) מסה: 10 ק"ג.

ג) נפח: 40 מ"ל.

ד) טמפרטורה: 40ºC.

וקטור

אלה הם כמויות המוגדרות ומיוצגות על ידי מודול יחד עם יחידה, כמו גם על ידי תחושה וכיוון. לדוגמה:

א) מהירות: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

ב) האצה: 13 m / s²; S 45º E.

ג) כוח: 280 N, 120º.

ד) משקל: -40 ĵ kg-f.

וקטור magnitudes מיוצגים בצורה גרפית על ידי וקטורים.

מה הם וקטורים?

וקטורים הם ייצוגים גרפיים של גודל וקטור; כלומר, הם קטעים של קו ישר שבו סוף הסופי שלהם הוא קצה החץ.

אלה נקבעים על ידי מודול שלהם או קטע קטע, את תחושת אשר מסומן על ידי קצה החץ שלהם ואת הכיוון שלהם לפי הקו שאליו הם שייכים. מקורו של וקטור ידוע גם בשם נקודת היישום.

האלמנטים של וקטור הם כדלקמן:

מודול

זה המרחק מהמקור עד סוף וקטור, המיוצג על ידי מספר אמיתי יחד עם יחידה. לדוגמה:

| OM | | A | = = 6 ס"מ

כתובת

זהו מדד הזווית הקיימת בין ציר ה- x (מהחיובי) לבין הווקטור, כמו גם נקודות הקרדינל (צפון, דרום, מזרח ומערב).

חוש

הוא ניתן על ידי ראש החץ הממוקם בקצה של וקטור, המציין לאן זה הולך.

סיווג וקטור

בדרך כלל, וקטורים מסווגים:

קבוע וקטור

זה אחד אשר נקודת היישום (המוצא) הוא קבוע; כלומר, היא נשארת קשורה לנקודה של החלל, הסיבה מדוע זה לא יכול להיות עקורים זה.

וקטור חינם

זה יכול לנוע בחופשיות בחלל כי המקור שלה עובר לכל נקודה מבלי לשנות את המודול, חוש או כיוון.

וקטור הזזה

הוא זה שיכול להזיז את מוצאו לאורך קו הפעולה שלו מבלי לשנות את המודול, החוש או הכיוון שלו.

תכונות וקטור

בין המאפיינים העיקריים של וקטורים הם כדלקמן:

Equipolentes וקטורים

אלה הם וקטורים חופשיים בעלי אותו מודול, כיוון (או מקבילים) וחשים כי וקטור הזזה או וקטור קבוע.

ווקטורים שקולים

זה קורה כאשר שני וקטורים יש את אותה כתובת (או מקבילים), אותה תחושה, ולמרות מודולים שונים נקודות יישום, הם גורמים לאפקט זהה.

שוויון של וקטורים

יש להם אותו מודול, כיוון וחוש, למרות נקודות ההתחלה שלהם שונים, המאפשר וקטור מקביל להזיז את עצמה מבלי להשפיע על זה..

מול וקטורים

הם אלה שיש להם אותו מודול וכיוון, אבל חושם הפוך.

יחידת וקטור

זה אחד שבו מודול שווה ליחידה (1). זה מתקבל על ידי חלוקת הווקטור ידי מודול שלה משמש כדי לקבוע את הכיוון ואת תחושת וקטור, בין אם במישור או במרחב, באמצעות וקטורי הבסיס מנורמלים או יחידים, אשר הנם:

וקטור ריק

זהו אחד שהמודול שלו שווה ל -0; כלומר, נקודת המוצא שלהם וקיצוניות חופפת באותה נקודה.

רכיבי וקטור

מרכיביו של וקטור הם ערכים אלה של תחזיות הווקטור על צירים של מערכת הייחוס; בהתאם לפירוק של וקטור, אשר יכול להיות שניים או שלושה מימדי axes, שניים או שלושה רכיבים יתקבלו, בהתאמה.

המרכיבים של וקטור הם מספרים ממשיים, אשר יכול להיות חיובי, שלילי או אפילו אפס (0).

לפיכך, אם מדובר וקטור A, שמקורם מלבני מערכת הקואורדינטות של XY (דו מימדי) מטוס, היטל על ציר x הוא x היטל על ציר y הוא AY. לפיכך, הווקטור יתבטא כסכום של וקטורים המרכיבים שלה.

דוגמאות

דוגמה ראשונה

יש לנו וקטור זה מתחיל מן המקור ואת הקואורדינטות של הקצוות שלה ניתנים. לפיכך, הווקטור α = (_x; א_ו) = (4; 5) ס"מ.

אם וקטור פועל על המקור של מערכת קואורדינטות של משולש תלת ממדים (בחלל) x, y, z, לנקודה אחרת (P), התחזיות של הצירים שלהם הן הגרזן, Ay ו עז; ולכן, הווקטור יבואו לידי ביטוי כסכום של שלושה וקטורים רכיב.

דוגמה שנייה

יש לנו וקטור זה מתחיל מן המקור ואת הקואורדינטות של הקצוות שלה ניתנים. לפיכך, הווקטור = (A_x; א_ו א_z) = (4; 6; -3) ס"מ.

את הווקטורים שיש להם את הקואורדינטות מלבני יכול לבוא לידי ביטוי במונחים של וקטורים הבסיס שלהם. לשם כך, יש להכפיל רק את כל הקואורדינטות על ידי וקטור היחידות בהתאמה, כך שבמטוס ובחלל יהיו:

עבור המטוס: A = A_xi + A_וי.

עבור החלל: A = A_xi + A_וj + A_zk.

פעולות עם וקטורים

ישנם גדלים רבים שיש להם מודול, חוש וכיוון, כגון תאוצה, מהירות, עקירה, כוח, בין היתר..

אלה מיושמים בתחומים שונים של המדע, וליישם אותם יש צורך במקרים מסוימים לבצע פעולות כגון חיבור, חיסור, כפל וחילוק של וקטורים scalars.

חיבור וחיסור של וקטורים

חיבור וחיסור של וקטורים נחשב פעולה אלגברית אחת כי החיסור יכול להיות כתוב כסכום; לדוגמה, חיסור של וקטורים ו Ē יכול לבוא לידי ביטוי כמו:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

ישנן שיטות שונות לבצע את חיבור וחיסור של וקטורים: הם יכולים להיות גרפיים או אנליטית.

שיטות גרפיות

משמש כאשר וקטור יש מודול, חוש וכיוון. כדי לעשות זאת, שורות מצוירות כי טופס דמות כי מאוחר יותר לעזור לקבוע את התוצאה. בין המפורסמים ביותר, בולט להלן:

שיטה מקבילה

כדי ליצור חיבור או חיסור של שני וקטורים, נקודה נבחרת במשותף על ציר הקואורדינטות - אשר מייצג את נקודת המוצא של וקטורים, שמירה על המודול שלה, כיוון וכיוון..

אז השורות נמשכות במקביל לוווקטורים כדי ליצור מקבילית. הווקטור המתקבל הוא האלכסון שמשאיר את נקודת המוצא של שני הווקטורים עד לקודקוד המקבילית:

שיטת המשולש

בשיטה זו הווקטורים ממוקמים אחד ליד השני, שמירה על המודולים שלהם, כיוונים וכיוונים. וקטור שהתקבל יהיה איחוד של המקור של וקטור הראשון עם סוף וקטור השני:

שיטות אנליטיות

ניתן להוסיף או לחסר שני או יותר וקטורים באמצעות שיטה גיאומטרית או וקטורית:

שיטה גיאומטרית

כאשר שני וקטורים יוצרים משולש או מקבילית, המודולוס והכיוון של הווקטור המתקבל יכולים להיקבע על פי חוקי הסינוס והקוסינוס. לפיכך, המודול של וקטור שהתקבל, החלת החוק של הקוסינוס ועל ידי שיטת המשולש, ניתנת על ידי:

בנוסחה זו β היא זווית הפוכה לצד R, וזה שווה ל 180 מעלות - Ɵ.

לעומת זאת, בשיטת הקבלה המקבילית מודול וקטור המתקבל הוא:

הכיוון של וקטור שהתקבל ניתן על ידי זווית (α), אשר יוצר כתוצאה עם אחד הווקטורים.

לפי החוק של הסינוס, תוספת או חיסור של וקטורים יכול להיעשות גם על ידי המשולש או שיטת מקבילית, בידיעה כי בכל משולש הצדדים הם יחסית לשדיים של זוויות:

שיטת וקטור

זה יכול להיעשות בשתי דרכים: בהתאם הקואורדינטות מלבני שלהם או וקטורים הבסיס שלהם.

זה יכול להיעשות על ידי העברת וקטורים כי הם להוסיף או לחסר את מקור הקואורדינטות, ולאחר מכן את כל התחזיות על כל צירים עבור המטוס (x, y) או רווח (x, וכן, z); ולבסוף, מרכיביו מתווספים באלגברי. אז, עבור המטוס הוא:

המודול של וקטור המתקבל הוא:

בעוד בחלל זה:

המודול של וקטור המתקבל הוא:

בעת ביצוע סכומים וקטוריים מוחלים מספר מאפיינים, שהם:

- רכוש אסוציאטיבי: התוצאה אינה משתנה על ידי הוספת שני וקטורים הראשון, ולאחר מכן הוספת וקטור השלישי.

- רכוש משותף: סדר הווקטורים אינו משנה את התוצאה.

- מאפיין חלוקה וקטורית: אם סקלר מוכפל בסכום של שני וקטורים, הוא שווה לכפל הסקלר עבור כל וקטור.

- סקלרי רכוש חלוקתי: אם וקטור מוכפל בסכום של שני scalars, הוא שווה את הכפל של וקטור עבור כל scalar.

כפל של וקטורים

הכפל או תוצר של וקטורים יכול להיעשות כתוספת או חיסור, אבל בכך הוא מאבד את המשמעות הפיזית וכמעט ולא נמצא בתוך יישומים. לכן, בדרך כלל הסוגים הנפוצים ביותר של מוצרים הם מוצר סקלרי ווקטורלי.

מוצר סקלרי

זה ידוע גם בשם מוצר נקודה של שני וקטורים. כאשר המודולים של שני וקטורים מוכפלים על ידי הקוסינוס של הזווית הקטנה שנוצרת ביניהם, מתקבל סקלר. כדי למקם מוצר scalar בין שני וקטורים, נקודה ממוקמת ביניהם, וזה יכול להיות מוגדר:

ערך הזווית הקיימת בין שני הווקטורים יהיה תלוי אם הם מקבילים או בניצב; אז, אתה צריך:

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם אותה תחושה, קוסינוס 0º = 1.

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם חושים הפוכים, cosine 180º = -1.

- אם הווקטורים הם בניצב, cosine 90º = 0.

זווית זו יכולה להיות גם מחושב בידיעה כי:

למוצר הסקלרי יש את המאפיינים הבאים:

- רכוש משותף: סדר הווקטורים אינו משנה את הסקלר.

-תכונה חלוקה: אם מכפיל את הסקלר בסכום של שני וקטורים, הוא שווה לכפל הסקלר עבור כל וקטור.

מוצר וקטור

הכפל הווקטורי, או התוצר הצולב של שני וקטורים A ו- B, יביא לווקטור חדש C ויבטא באמצעות צלב בין הווקטורים:

לווקטור החדש יהיו מאפיינים משלו. בדרך זו:

- הכיוון: וקטור חדש זה יהיה מאונך למטוס, אשר נקבע על ידי הווקטורים המקוריים.

- התחושה: זה נקבע על ידי הכלל של היד הימנית, כאשר הווקטור A מסובבת לכיוון B על ידי הצבעה על כיוון הסיבוב באצבעות, ועם האגודל תחושת הווקטור מסומנת.

- המודול: נקבע על ידי הכפל של המודולים של ה- AxB, על ידי הסינוס של הזווית הקטנה ביותר שקיימת בין וקטורים אלה. היא באה לידי ביטוי:

ערך הזווית הקיימת בין שני הווקטורים יהיה תלוי אם הם מקבילים או בניצב. לאחר מכן, ניתן לאשר את הדברים הבאים:

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם אותה תחושה, חטא 0 0 = 0.

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם חושים הפוכים, הסינוס 180º = 0.

- אם הווקטורים הם בניצב, סינוס 90 מעלות = 1.

כאשר מוצר וקטור מבוטא במונחים של וקטורים הבסיס שלו, הוא חייב:

למוצר הסקלרי יש את המאפיינים הבאים:

- זה לא commutative: סדר של וקטורים משנה את סקלר.

- תכונה חלוקה: אם מכפיל את הסקלר בסכום של שני וקטורים, הוא שווה לכפל הסקלר עבור כל וקטור.

הפניות

1. אלטמן נעמי, מ. ק. (2015). "רגרסיה לינארית פשוטה." שיטות טבע .
2. אנג'ל, ר '(2007). אלגברה יסודית חינוך פירסון,.
3. ארתור גודמן, ל. ח. (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). אלגבר כדי וקטורית דוגמאות. מוסקווה: מיר.
5. Lay, D. C. (2007). אלגברה לינארית ויישומיה. חינוך פירסון.
6. Llinares, J. F. (2009). אלגברה לינארית: מרחב וקטור. שטח וקטור אוקלידי. אוניברסיטת אליקנטה.
7. Mora, J. F. (2014). אלגברה ליניארית מולדת.