הלכות מורגן

העיניו של מורגן הם כללי הסתה המשמשים לוגיקה הצעה, אשר לקבוע מה היא תוצאה של שלילת disjunction ואת שילוב של הנחות או משתנים הצעה. חוקים אלה הוגדרו על ידי המתמטיקאי אוגוסטוס דה מורגן.

החוקים של מורגן מייצגים כלי שימושי מאוד כדי להדגים את תוקפו של חשיבה מתמטית. מאוחר יותר הם היו הכללה בתוך הרעיון של סטים על ידי מתמטיקאי ג 'ורג' בול.

הכללה זו שנעשתה על ידי בול שווה לחלוטין לחוקי הראשוני של מורגן, אבל הוא פותח במיוחד עבור קבוצות ולא עבור טענות. הכללה זו ידועה גם כחוקי מורגן.

אינדקס

• 1 סקירה של ההיגיון המוצע
  • 1.1 טעויות
  • 1.2 הצעות
• 2 חוקי מורגן
  • 2.1 הפגנה
• 3 סטים
  • 3.1 איחוד, צומת ומשלים של סטים
• 4 חוקי מורגן למערכות
• 5 הפניות

סקירה של ההיגיון המוצע

לפני שנבדוק מה החוקים של מורגן הם ספציפיים וכיצד הם משמשים, זה נוח לזכור כמה מושגים בסיסיים של ההיגיון המוצע. (לפרטים נוספים ראה מאמר ההיגיון המוצע).

בתחום ההיגיון המתמטי (או ההיגיון), מסקנה היא מסקנה הנפלטת ממערכת הנחות או השערות. מסקנה זו, יחד עם הנחות הנ"ל, מעורר את מה שמכונה חשיבה מתמטית.

נימוק זה חייב להיות ניתן להדגמה או להכחיש; כלומר, לא כל ההסקות או המסקנות בהנמקה מתמטית תקפות.

כישלון

מסקנה שקרית הנגרמת מהנחות מסוימות, שמניחות אמת, ידועה ככזב. למגרעות יש את הייחודיות של הוויכוחים שנראים נכונים, אבל מבחינה מתמטית הם לא.

לוגיקת ההנחיה אחראית על פיתוח ומספקת שיטות שבאמצעותן ניתן, ללא כל עמימות, לאמת או להפריך נימוקים מתמטיים; כלומר, להסיק מסקנה תקפה מן הנחות. שיטות אלה נקראות כללי הסקה, אשר החוקים של מורגן הם חלק.

הצעות

המרכיבים העיקריים של ההיגיון המוצע הם הצעות. הצעות הן הצהרות על אשר ניתן לומר אם הם תקפים או לא, אבל זה לא יכול להיות אמיתי או שקר בעת ובעונה אחת. לא תהיה שום עמימות בעניין זה.

בדיוק כמו מספרים ניתן לשלב באמצעות פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק, את ההנחות ניתן להפעיל באמצעות חיבורים (או מחברים) ידוע לוגי: שלילה (¬, "לא"), disjunction (V , "O"), יחד (Ʌ, "ו"), מותנה (→, "אם ..., ואז ...") ו biconditional (↔, "כן, ורק אם").

כדי לעבוד באופן כללי יותר, במקום לשקול הצעות ספציפיות, אנו רואים משתנים הצעה המייצגים כל הצעה, והם מסומנים בדרך כלל באותיות קטנות p, q, r, s, וכו '..

נוסחה הצעה היא שילוב של משתנים הצעה דרך חלק מן החיבור ההגיוני. במילים אחרות, זהו הרכב של משתנים הצעה. הם מסומנים בדרך כלל באותיות יווניות.

נאמר כי נוסחה מוצעת מבחינה לוגית מרמזת אחרת כאשר היא נכונה בכל פעם הראשונה נכונה. זה מסומן על ידי:

כאשר ההשלמה ההגיונית בין שתי נוסחאות הצעה היא הדדית - כלומר, כאשר המשמעות הקודמת תקפה גם בכיוון ההפוך - הנוסחאות הן שוות ערך מבחינה לוגית, והיא נקבעת על ידי

ההשוואה הלוגית היא סוג של שוויון בין נוסחאות הצעה ומאפשרת להחליף אחד לשני בעת הצורך.

הלכות מורגן

החוקים של מורגן מורכבים משתי שקילות לוגיות בין שתי צורות הצעה, דהיינו:

חוקים אלה מאפשרים להפריד בין שלילה של הפרעה או שילוב, כמו שלילת המשתנים המעורבים.

הראשון ניתן לקרוא כדלקמן: שלילה של הפרדה שווה בשילוב של שלילות. והשני קורא כך: שלילתה של התנגשות היא ההפרדה בין השלילה.

במילים אחרות, להכחיש את הפרדתם של שני משתנים מוצעיים שווה ערך לשילוב של שלילת שני המשתנים. כמו כן, להכחיש שילוב של שני משתנים הצעה שווה את ההפרדה של שליליות של שני משתנים.

כפי שהוזכר קודם לכן, החלפת המשוואה הלוגית הזו מסייעת להפגין תוצאות חשובות, יחד עם כללי ההסתרה הקיימים. עם אלה אתה יכול לפשט נוסחאות הצעה רבים, כך שהם יעילים יותר לעבוד.

להלן דוגמה להוכחה מתמטית תוך שימוש בכללי הסקה, בין החוקים של מורגן. באופן ספציפי, הוא הראה כי הנוסחה:

שווה ל:

זה האחרון הוא פשוט יותר להבין ולפתח.

הפגנה

ראוי להזכיר כי תוקפו של חוקי מורגן ניתן להדגים מתמטית. דרך אחת היא על ידי השוואת טבלאות האמת שלך.

סטים

אותם הכללים של היסק ואת המושגים של ההיגיון ליישם את ההנחות, ניתן גם לפתח בהתחשב סטים. זה מה שמכונה אלגברה בוליאנית, אחרי המתמטיקאי ג'ורג 'בול.

כדי להבדיל בין המקרים, יש צורך לשנות את הסימון ולהעביר ערכות, כל המושגים כבר לראות את ההיגיון הצעה.

סט הוא אוסף של אובייקטים. הסטים מסומנים באותיות גדולות A, B, C, X, ... ואלמנטים של קבוצה מסומנים באותיות קטנות a, b, c, x, etc. כאשר אלמנט שייך לקבוצה X, הוא מסומן על ידי:

כאשר היא אינה שייכת ל- X, הרישומה היא:

הדרך לייצג את הקבוצות היא הצבת אלמנטים שלהם בתוך המפתחות. לדוגמה, קבוצה של מספרים טבעיים מיוצג על ידי:

ניתן גם לייצג סטים מבלי לכתוב רשימה מפורשת של האלמנטים שלהם. הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה :. שתי הנקודות נקראות "כך". בצד שמאל של שתי הנקודות נמצא משתנה המייצג את מרכיבי הציוד, והרכוש או התנאי המספק אותו ממוקם בצד ימין. זהו:

לדוגמה, קבוצה של מספרים שלמים יותר מ -4 ניתן לבטא כך:

או באופן שווה, וקיצור יותר, כמו:

באופן דומה, הביטויים הבאים מייצגים את הקבוצות של מספרים אפילו ומשונים, בהתאמה:

איחוד, צומת ומשלים של סטים

הבא נראה את האנלוגים של החיבור הלוגי במקרה של ערכות, המהווים חלק של פעולות בסיסיות בין קבוצות.

האיחוד והצטלבות

האיחוד והצומת של הסטים מוגדרים, בהתאמה, באופן הבא:

לדוגמה, שקול את הקבוצות:

לאחר מכן, עליך:

השלמה

ההשלמה של קבוצה נוצרת על ידי האלמנטים שאינם שייכים לאותה קבוצה (מאותו סוג שהמקור מייצג). השלמה של קבוצה A, מסומנת על ידי:

לדוגמה, בתוך המספרים הטבעיים, השלמה של קבוצת המספרים אפילו היא של מספרים מוזרים, ולהיפך.

כדי לקבוע את ההשלמה של קבוצה זה חייב להיות ברור מההתחלה את אוניברסלי או הראשי קבוצה של אלמנטים אשר נשקלים. לדוגמה, זה לא שווה לשקול את המשלים של קבוצה על המספרים הטבעיים כי על רציונלי.

הטבלה הבאה מציגה את היחס או האנלוגיה הקיימת בין הפעילויות על קבוצות שהוגדרו בעבר, לבין הקשרים המחברים של ההיגיון המוצע:

הלכות מורגן עבור סטים

לבסוף, החוקים של מורגן על קבוצות הם:

במילים: השלמה של איחוד הוא הצומת של השלמות, ואת השלמה של צומת הוא האיחוד של השלמות.

הוכחה מתמטית לשוויון הראשון תהיה כדלקמן:

ההפגנה השנייה היא מקבילה.

הפניות

1. אלמגר, ג '(2002). מתמטיקה 1. עריכה לימוזה.
2. Aylwin, C. U. (2011). לוגיקה, סטים ומספרים. מרידה - ונצואלה: מועצת הפרסומים, אוניברסיטת לוס אנדס.
3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). מבוא לתורת המספרים. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). קורס בסיסי בתורת המספרים. אוניברסיטת צפון.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). כיצד לפתח היגיון לוגי מתמטי. מערכת האוניברסיטה.
6. Guevara, M. H. (s.f.). תורת המספרים. EUNED.
7. סרגוסה, א.ג. (s.f.). תורת המספרים. ספרים העריכה חזון.