שיטת אינטרפולציה לינארית, תרגילי פתור

ה אינטרפולציה ליניארית היא שיטה שמקורה באינטרפולציה הכללית של ניוטון ומאפשרת לקבוע בקירוב ערך לא ידוע בין שני מספרים; כלומר, יש ערך ביניים. הוא מוחל גם על פונקציות משוער, שבו הערכים ו_(א) ו_(ב) הם ידועים ואתה רוצה לדעת את ביניים של F_(x).

ישנם סוגים שונים של אינטרפולציה, כגון ליניארי, ריבועי, מעוקב ציונים גבוהים, הפשוטה ביותר להיות קירוב ליניארי. המחיר שיש לשלם עם אינטרפולציה ליניארית היא כי התוצאה לא תהיה מדויקת כמו עם קירובים על ידי פונקציות של ציונים גבוהים.

אינדקס

• 1 הגדרה
• 2 שיטה
• 3 תרגילים נפתרו
  • 3.1 מימוש 1
  • 3.2 תרגיל 2
• 4 הפניות

הגדרה

אינטרפולציה לינארית היא תהליך המאפשר לך להסיק ערך בין שני ערכים מוגדרים היטב, אשר יכול להיות בטבלה או בתרשים ליניארי.

לדוגמה, אם ידוע כי 3 ליטרים של Lechen שווה 4 $ ו 5 $ ליטר שווה 7, אבל רוצה לדעת מה הערך של 4 ליטרים של חלב, הוא אינטרפולציה כדי לקבוע את ערך הביניים.

שיטה

כדי לאמוד ערך ביניים של פונקציה הפונקציה f קרובה_(x) באמצעות קו ישר_(x), כלומר, הפונקציה משתנה באופן ליניארי עם "x" למתוח "x = a" ו- "x = b"; כלומר, עבור ערך "x" במרווח (x₀, x₁) ו (ו₀, ו₁), הערך של "y" ניתן על ידי הקו בין הנקודות והוא בא לידי ביטוי על ידי היחס הבא:

(ו -₀) ÷ (x - x₀) = (ו₁ - ו₀) ÷ (x₁ - x₀)

כדי אינטרפולציה להיות ליניארי, יש צורך כי אינטרפולציה פולינום הוא של תואר אחד (n = 1), כך שהוא מתאים לערכים של x₀ ו- x_1.

אינטרפולציה לינארית מבוססת על דמיון של משולשים, כך, נובע הביטוי הנ"ל גיאומטרי, אחד יכול לקבל את הערך של "Y", אשר מייצג את השווי לא ידוע על "X".

כך אתה צריך:

א = tan Ɵ = (הצד הנגדי₁ ÷ רגל סמוכה₁) = (הצד הנגדי₂ ÷ רגל סמוכה₂)

הביטוי בדרך אחרת, הוא:

(ו -₀) ÷ (x - x₀) = (ו₁ - ו₀) ÷ (x₁ - x₀)

ניקוי "ו" של ביטויים, יש לך:

(ו -₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (ו₁ - ו₀)

(ו -₀) = (ו₁ - ו₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

לכן, אנו מקבלים את המשוואה הכללית עבור אינטרפולציה ליניארית:

y = y_{0 +} (ו₁ - ו₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

באופן כללי אינטרפולציה ליניארית נותנת שגיאה קטנה על הערך הריאלי של הפונקציה הממשית, גם אם הטעות היא מזערית לעומת אם תבחר מספר ליד אינטואיטיבי אתה רוצה למצוא.

שגיאה זו מתרחשת כאשר מנסים להשוות את הערך של עקומה עם קו ישר; עבור מקרים אלה גודל של מרווח חייב להיות מופחת כדי להפוך את קירוב מדויק יותר.

לקבלת תוצאות טובות יותר ביחס לגישה, רצוי להשתמש בפונקציות דרגה 2, 3 או אפילו גבוה יותר כדי לבצע את האינטרפולציה. עבור מקרים אלה משפט טיילור הוא כלי שימושי מאוד.

תרגילים נפתרים

תרגיל 1

מספר החיידקים ליחידת נפח קיים באינקובציה לאחר שעות x מוצג בטבלה הבאה. אתה רוצה לדעת מה הוא נפח של חיידקים למשך 3.5 שעות.

פתרון

טבלת ההתייחסות אינה קובעת ערך המצביע על כמות החיידקים למשך 3.5 שעות, אך יש להם ערכים גבוהים ונמוכים יותר, המתאימים לזמן של 3 ו -4 שעות, בהתאמה. בדרך זו:

x₀ = 3 ו₀ = 91

x = 3.5 y =?

x₁ = 4 ו₁ = 135

עכשיו, משוואה מתמטית מוחל כדי למצוא את הערך אינטרפולציה, אשר הוא כדלקמן:

y = y_{0 +} (ו₁ - ו₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

לאחר מכן מוחלפים הערכים המתאימים:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0.5

y = 113.

כך מתקבל כי במשך זמן של 3.5 שעות, כמות החיידקים היא 113, המייצגת רמה בינונית בין נפח החיידקים הקיימים בזמנים של 3 עד 4 שעות.

תרגיל 2

לואיס יש מפעל גלידה, והוא רוצה לעשות מחקר כדי לקבוע את ההכנסה היה לו מן ההוצאות שבוצעו. מנהל החברה עושה גרף המבטא את הקשר הזה, אבל לואיס רוצה לדעת:

מה ההכנסה עבור אוגוסט, אם הוצאה של 55,000 $ נעשה??

פתרון

גרף ניתן עם ערכי הכנסה והוצאות. לואיס רוצה לדעת מה ההכנסה באוגוסט היא אם המפעל היה הוצאה של 55,000 $. ערך זה אינו משתקף ישירות בגרף, אך הערכים גבוהים ונמוכים יותר.

תחילה נעשה טבלה שבה ניתן לקשר את הערכים בקלות:

עכשיו, הנוסחה אינטרפולציה משמש כדי לקבוע את הערך של y

y = y_{0 +} (ו₁ - ו₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

לאחר מכן מוחלפים הערכים המתאימים:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _* [(55,000 - 45,000) ÷ (62,000 - 45,000)]

y = 56,000 + (22,000) _* [(10,000)) (17,000)]

y = 56,000 + (22,000) _* (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

אם הוצאה של 55,000 $ נעשתה באוגוסט, ההכנסה היתה 68,936 $.

הפניות

1. ארתור גודמן, ל. ח. (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
2. Harpe, P. d. (2000). נושאים בתורת הקבוצות הגיאומטריות. הוצאת אוניברסיטת שיקגו.
3. Hazewinkel, M. (2001). אינטרפולציה ליניארית ", אנציקלופדיה למתמטיקה.
4. , י 'מ' (1998). אלמנטים של שיטות מספריות להנדסה. UASLP.
5. , (2002). כרונולוגיה של אינטרפולציה: מאסטרונומיה עתיקה ועד אותות מודרניים ועיבוד תמונה. ההליכים של IEEE.
6. מספרית, א. (2006). חאווייר Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.