היסטוריה גיאומטריה אוקלידית, מושגים בסיסיים ודוגמאות

ה גיאומטריה אוקלידית תואמת את המחקר של המאפיינים של מרחבים גיאומטריים שבהם האקסיומות של אוקלידס מרוצים. בעוד מונח זה משמש לעתים כדי להקיף גיאומטריות כי יש ממדים מעולה עם מאפיינים דומים, זה בדרך כלל שם נרדף גיאומטריה קלאסית או גיאומטריה שטוחה..

במאה השלישית א. ג. אוקלידס ותלמידיו כתבו אלמנטים, יצירה שהקיפה את הידע המתמטי של הזמן שהוקצה למבנה לוגי-דדוקטיבי. מאז, הגיאומטריה הפכה למדע, בתחילה לפתור בעיות קלאסיות והתפתחה למדע מכונן שעוזר להיגיון.

אינדקס

• 1 היסטוריה
• מושגים בסיסיים
  • 2.1 מושגים נפוצים
  • 2.2 פוסטולטים או אקסיומות
• 3 דוגמאות
  • 3.1 דוגמה ראשונה
  • 3.2 דוגמה שנייה
  • 3.3 דוגמה שלישית
• 4 הפניות

היסטוריה

כדי לדבר על ההיסטוריה של גיאומטריה אוקלידית, זה חיוני כדי להתחיל עם Euclid של אלכסנדריה ואת אלמנטים.

כאשר מצרים היתה בידי תלמי הראשון, לאחר מותו של אלכסנדר הגדול, הוא החל את עבודתו בבית ספר באלכסנדריה.

בין החכמים שלימדו בבית הספר היה אוקלידס. ההערכה היא כי הלידה שלו מתאריך כ 325 א. ג. ג. אנחנו יכולים לדעת בוודאות שהוא הלך לבית הספר של אפלטון.

במשך יותר משלושים שנה לימד אוקלידס באלכסנדריה, בונה את מרכיביו המפורסמים: הוא החל לכתוב תיאור ממצה של המתמטיקה של זמנו. תורתו של אוקלידס הפיקה תלמידים מצויינים, כגון ארכימדס ואפולוניוס מפרגה.

אוקלידס היה אחראי על בניית התגליות השונות של היוונים הקלאסיים אלמנטים, אבל שלא כמו קודמיו זה לא להגביל את עצמו כדי לאשר כי משפט נכון; אוקלידס מציעה הדגמה.

ה אלמנטים הם אוסף של שלושה-עשר ספרים. אחרי התנ"ך, הוא הספר המפורסם ביותר, עם יותר מאלף מהדורות.

ה אלמנטים הוא יצירת מופת של Euclid בתחום הגיאומטריה, ומציע טיפול סופי של הגיאומטריה של שני ממדים (המטוס) ושלושה ממדים (שטח), זה להיות המקור של מה שאנו מכירים כיום כמו גיאומטריה אוקלידית.

מושגים בסיסיים

האלמנטים מורכבים מהגדרות, מושגים נפוצים ופוסטולאטיות (או אקסיומות) ואחריו משפטים, קונסטרוקציות והפגנות.

- נקודה היא שאין לה חלקים.

- שורה היא אורך שאין לו רוחב.

- קו ישר הוא זה השוכב באותה מידה ביחס לנקודות שנמצאות בו.

- אם שני קווים נחתכים כך זוויות צמודות שוות, הזוויות נקראים ישר הקווים נקראים perpendiculars..

- קווים מקבילים הם אלה, כי להיות באותו המטוס, אף פעם לא לחתוך.

אחרי הגדרות אלו ואחרות, אוקלידס מציג רשימה של חמש הנחות וחמישה מושגים.

מושגים נפוצים

- שני דברים שווים לשליש, שווים זה לזה.

- אם דברים שווים מתווספים לאותם דברים, התוצאות זהות.

- אם דברים שווים מופחתים מאותם דברים, התוצאות זהות.

- הדברים שמתאימים זה לזה שווים זה לזה.

- סך הכל גדול יותר מאשר חלק.

פוסטולטים או אקסיומות

- עבור שתי נקודות שונות אחת ורק שורה אחת עוברת.

- קווים ישרים יכולים להאריך עד אינסוף.

- ניתן לצייר מעגל עם כל מרכז וכל רדיוס.

- כל זוויות ישרות זהים.

- אם קו ישר חוצה שני קווים ישרים, כך שהזוויות הפנימיות של אותו צד יתווספו ליותר משתי זוויות ישרות, אזי שתי הקווים יצלבו בצד זה.

תפיסה אחרונה זו ידועה בשם ההנחה של הקבלות ופורסמה מחדש כדלקמן: "עבור נקודה מחוץ לקו, אתה יכול לצייר מקביל אחד לקו נתון".

דוגמאות

לאחר מכן, כמה משפטים של אלמנטים הם ישמשו להצגת תכונות של מרחבים גיאומטריים שבהם חמשת המאפיינים של Euclid מתקיימים; בנוסף, הם ימחישו את ההיגיון ההגיוני-דדוקטיבי המשמש את המתמטיקאי הזה.

דוגמה ראשונה

הצעה 1.4. (LAL)

אם שני משולשים יש שני צדדים ואת הזווית ביניהם שווה, אז הצדדים האחרים ואת זוויות אחרות שווים.

הפגנה

תן ABC ו A'B'C 'להיות שני משולשים עם AB = A'B', AC = A'C 'ואת זוויות BAC ו B'A'C' שווה. מעבר משולש A'B'C 'כך A'B' עולה בקנה אחד עם AB ו כי זווית B'A'C "בקנה אחד עם זווית BAC.

לאחר מכן, קו A'C "עולה בקנה אחד עם קו AC, כך C" עולה בקנה אחד עם C. אז, על ידי postulate 1, קו BC חייב להיות בקנה אחד עם קו B'C ". לכן שני המשולשים חופפים, וכתוצאה מכך זוויותיהם וצדדיהם שווים.

דוגמה שנייה

הצעה 1.5. (פונס אסינורום)

אם למשולש יש שני צדדים שווים, אז הזוויות מול אלה שוות.

הפגנה

נניח כי משולש ABC יש שווה הצדדים AB ו AC.

ואז, משולשים ABD ו- ACD יש שני צדדים שווים ואת הזוויות ביניהם שווים. לכן, על ידי הצעה 1.4, זוויות ABD ו- ACD שווים.

דוגמה שלישית

הצעה 1.31

אתה יכול לבנות קו מקביל לקו נתון על ידי נקודה נתונה.

בנייה

בהינתן קו L ונקודה P, קו ישר M נמשך זה עובר דרך P ו חותך לתוך L. ואז קו ישר N הוא נמשך על ידי P כי חותך ל L. עכשיו, אנו עקבות על ידי P ישר N כי חותך M, ויוצרים זווית שוות לזו של L עם M.

אישור

N מקביל ל- L.

הפגנה

נניח ש- L ו- N אינם מקבילים ומצטלבים בנקודה A. תנו ל- B להיות נקודה ב- L מעבר ל- A. שקול את הקו O עובר דרך B ו- P. לאחר מכן, O חתוך ל- M בזוויות המוסיפות פחות שני ישר.

לאחר מכן, על ידי 1.5 קו O חייב לחתוך לקו L בצד השני של M, כך L ו- O מצטלבים בשתי נקודות, אשר סותר את הפוסט 1. לכן, L ו- N חייב להיות מקביל.

הפניות

1. אלמנטים של גיאומטריה. האוניברסיטה האוטונומית הלאומית של מקסיקו
2. אוקלידס ששת הספרים הראשונים ואת האלמנטים ה -11 וה -12 של Euclid
3. יוג'ין פילוי. דידקטיקה והיסטוריה של גיאומטריה אוקלידית
4. ק 'ריבניקוב. היסטוריה של המתמטיקה מיר העריכה
5. וילוריה, נ ', & Leal, ג' יי (2005) גיאומטריה אנליטית שטוח. וונצואלה C.A עריכה.