גיאומטריה אנליטית מה מחקרים, היסטוריה, יישומים

ה גיאומטריה אנליטית ללמוד את הקווים ואת הדמויות הגיאומטריות על ידי יישום טכניקות אלגברה בסיסית וניתוח מתמטי במערכת קואורדינטות ספציפיות.

כתוצאה מכך, הגיאומטריה האנליטית היא ענף מתמטי המנתח בפירוט את כל הנתונים של הדמויות הגיאומטריות, כלומר, הנפח, הזוויות, השטח, נקודות הצומת, המרחקים שלהם, בין היתר.

המאפיין הבסיסי של גיאומטריה אנליטית היא שהיא מאפשרת ייצוג של דמויות גיאומטריות באמצעות נוסחאות.

לדוגמה, מעגלים מיוצגים על ידי משוואות פולינום של התואר השני בעוד הקווים באים לידי ביטוי עם משוואות פולינום של התואר הראשון.

הגיאומטריה האנליטית התפתחה במאה השבע-עשרה על ידי הצורך לספק תשובות לבעיות שעד כה לא היה להן פתרון. היו לו נציגים בכירים רנה דקארט ופייר דה פרמה.

נכון לעכשיו, מחברים רבים מצביעים על זה בתור יצירה מהפכנית בהיסטוריה של המתמטיקה, שכן הוא מייצג את תחילתו של המתמטיקה המודרנית.

אינדקס

• 1 היסטוריה של גיאומטריה אנליטית
  • 1.1 נציגים ראשיים של גיאומטריה אנליטית
  • 1.2 פייר דה פרמה
  • 1.3 רנה דקארט
• יסודות יסודיים של גיאומטריה אנליטית 
  • 2.1 מערכת קואורדינטות קרטזית
  • 2.2 מערכות קואורדינטות מלבניות
  • 2.3 מערכת הקואורדינטות הקוטביות 
  • 2.4 משוואה קרטזית של הקו
  • 2.5 קו ישר
  • 2.6 חידות
  • 2.7 סיקומפרנס
  • 2.8 פרבולה
  • 2.9 אליפסה 
  • 2.10 Hyperbola
• 3 יישומים
  • 3.1 צלחת לווין
  • 3.2 גשרים תלויים
  • 3.3 ניתוח אסטרונומי
  • 3.4 טלסקופ קסגרין
• 4 הפניות

היסטוריה של גיאומטריה אנליטית

המונח גיאומטריה אנליטית עולה בצרפת במאה ה -17 על ידי הצורך לתת תשובות לבעיות שלא ניתן לפתור באמצעות אלגברה וגיאומטריה בבידוד, אבל הפתרון היה בשילוב של השימוש בשני.

נציגים ראשיים של גיאומטריה אנליטית

במהלך המאה השבע עשרה ביצעו שני צרפתים, במקרה של חיים, חקירות שבדרך זו או אחרת הסתיימו ביצירת גיאומטריה אנליטית. האנשים האלה היו פייר דה פרמה ורנה דקארט.

היום נחשב היוצר של הגיאומטריה האנליטית היה רנה דקארט. הסיבה לכך היא ספרו שפורסם לפני כן של פרמה ועומק עם דקארט פותר את הבעיה של הגיאומטריה האנליטית.

עם זאת, שניהם פרמה ו Descartes גילו כי שורות ודמויות גיאומטריות יכול לבוא לידי ביטוי על ידי משוואות ואת המשוואות יכול להתבטא כמו שורות או דמויות גיאומטריות.

על פי תגליות שנעשו על ידי שני, ניתן לומר כי שניהם היוצרים של גיאומטריה אנליטית.

פייר דה פרמה

פייר דה פרמה היה מתמטיקאי צרפתי שנולד בשנת 1601 ונפטר בשנת 1665. במהלך חייו למד את הגיאומטריה של אוקליד, אפולוניוס ופפוס, על מנת לפתור את בעיות המדידה שהיו קיימות באותה תקופה.

לאחר מכן מחקרים אלה עוררו את יצירת הגיאומטריה. בסופו של דבר הם באים לידי ביטוי בספרו "מבוא למקומות שטוחים ומוצקים"(Ad Locos Planes et Solidos Isagoge), שפורסם 14 שנים לאחר מותו בשנת 1679.

פרמתי שיושם 1623 ל משפטי אפולוניוס אנליטיים על גיאומטרית לוקוסים. שגם הוא הוחל לראשונה את הגיאומטריה האנליטית במרחב התלת-ממדי.

רנה דקארט

ידוע גם בשם קרטסיוס היה מתמטיקאי, פיסיקאי ופילוסוף שנולד ב -31 במרץ 1596 בצרפת ומת בשנת 1650.

רנה דקארט פרסם את ספרו בשנת 1637. "שיח על השיטה של ​​נהיגה נכונה של סיבה וחיפוש האמת במדע"יותר טוב המכונה"השיטה"ומשם המונח גיאומטריה אנליטית הוצג לעולם. אחד מנספחיו היה "גיאומטריה".

יסודות היסוד של גיאומטריה אנליטית 

הגיאומטריה האנליטית מורכבת מהרכיבים הבאים:

מערכת קואורדינטות קרטזית

מערכת זו נקראת על שם רנה דקארט.

זה לא היה מי שקרא לו, וגם לא השלים את מערכת קואורדינטות קרטזית, אבל הוא היה זה שדיבר על קואורדינטות עם מספרים חיוביים המאפשר לחוקרים בעתיד להשלים את זה..

מערכת זו מורכבת ממערכת הקואורדינטות המלבנית ומערכת הקואורדינטות הקוטביות.

מערכות קואורדינטות מלבניות

זה נקרא מערכות קואורדינטות מלבניות אל המטוס שנוצר על ידי קו של שני קווים מספריים זה לזה, שבו נקודת חיתוך לחתוך בקנה אחד עם אפס משותף.

אז מערכת זו תהיה מורכבת של קו אופקי וקו אנכי.

הקו האופקי הוא ציר של X או ציר של abscissa. הקו האנכי יהיה ציר Y או ציר הקואורדינטות.

מערכת הקואורדינטות של פולאר 

מערכת זו אחראית על בדיקת המיקום היחסי של נקודה ביחס קו קבוע ונקודה קבועה על הקו.

משוואה קרטזית של הקו

משוואה זו מתקבלת משורה כאשר שתי נקודות ידועות באותו מקום.

קו ישר

זה אחד שאינו לסטות ולכן אין לו עקומות או זוויות.

חידות

הם הקימורים המוגדרים על ידי קווים ישרים שעוברים נקודה קבועה על ידי נקודות של עקומה.

האליפסה, ההיקף, הפרבולה וההיפרבולה הם עקומות חרוט. לאחר מכן, כל אחד מהם מתואר.

סרקומפרנס

הוא נקרא היקף לעקומה השטוחה הסגורה שנוצרת על ידי כל נקודות המטוס, כי equidista של נקודת פנים, כלומר, של מרכז היקף.

פרבולה

זהו מוקד הנקודות של המטוס הנמצא במרחק שווה מנקודה קבועה (מיקוד) וקו קבוע (directrix). אז, את ההנחיה ואת המיקוד הם מה להגדיר את parabola.

את הפרבולה ניתן לקבל כקטע של משטח חרוטי של מהפכה על ידי מטוס מקביל genatrix.

אליפסה 

היא נקראת אליפסה לעקומה הסגורה המתארת ​​נקודה בהנעה במישור בצורה כזו שסכום המרחקים שלה לשני (2) נקודות קבועות (הנקראות foci), הוא קבוע.

היפרבולה

זה נקרא עקומת היפרבולה המוגדרים מוקד נקודות במישור, עבורו את ההבדל בין המרחקים משתי נקודות קבועות (מוקדים) הוא קבוע.

היפרבולה יש ציר של סימטריה שעובר דרך המוקדים, הנקראים ציר הציר. כמו כן יש עוד כי הוא הניצב של קטע זה יש נקודות קבועות על ידי קיצוניים.

יישומים

ישנם יישומים שונים של הגיאומטריה האנליטית באזורים שונים של חיי היומיום. לדוגמה, אנחנו יכולים למצוא את המשל, אחד המרכיבים הבסיסיים של הגיאומטריה האנליטית, רבים מהכלים המשמשים שגרתי היום. חלק מהכלים הללו הם:

צלחת לווין

אנטנות פרבוליות יש רפלקטור שנוצר כתוצאה של פרבולה מסתובבת על ציר של האנטנה אמר. המשטח שנוצר כתוצאה של פעולה זו נקרא paraboloid.

קיבולת זו של הפרבולואיד נקראת רכוש אופטי או תכונות השתקפות של פרבולה, ובזכות זה יתכן שהפרבולואיד משקף את הגלים האלקטרומגנטיים שהוא מקבל ממנגנון האכלה שמרכיב את האנטנה.

גשרים תלויים

כאשר חבל תומך במשקל כי הוא הומוגני אבל באותו הזמן, הוא הרבה יותר מאשר המשקל של החבל עצמו, והתוצאה היא משל.

עיקרון זה הוא חיוני לבניית גשרים ההשעיה, אשר נתמכים בדרך כלל על ידי מבנים נרחבים של כבלי פלדה.

העיקרון של הפרבולה בגשרים תלויים שימש במבנים כגון גשר שער הזהב, הממוקם בעיר סן פרנסיסקו, בארצות הברית או בגשר הגדול של מיצרי אקאשי, הממוקם ביפן וקושר את האי Awaji עם Honshū, האי הראשי של המדינה.

ניתוח אסטרונומי

לגיאומטריה אנליטית יש גם שימושים ספציפיים וקובעים מאוד בתחום האסטרונומיה. במקרה זה, אלמנט הגיאומטריה האנליטית שלוקח את מרכז הבמה הוא האליפסה; חוק התנועה של כוכבי הלכת של יוהנס קפלר הוא השתקפות של זה.

קפלר, מתמטיקאי ואסטרונום גרמני, קבעו כי האליפסה היא העקומה שהתאימה יותר את תנועת מאדים; קודם לכן הוא ניסה את המודל המעגלי שהציע קופרניקוס, אבל באמצע הניסויים שלו, הוא הסיק כי האליפסה שימשה כדי לצייר מסלול דומה לחלוטין לזה של כדור הארץ הוא למד..

בזכות האליפסה, קפלר יכול היה לאשר כי כוכבי הלכת נעו במסלולים אליפטיים; שיקול זה היה ההיגוי של מה שנקרא החוק השני של קפלר.

מגילוי זה, שהועשר מאוחר יותר על ידי הפיזיקאי האנגלי והמתמטיקאי ניוטון, ניתן היה ללמוד את התנועות המסלוליות של כוכבי הלכת, ולהגביר את הידע שהיה לנו על היקום שבו אנו חלק.

טלסקופ Cassegrain

הטלסקופ של קסגרין נקרא על שמו של הממציא שלו, הפיזיקאי יליד צרפת, לורן קאסגרין. בטלסקופ זה נעשה שימוש בעקרונות הגיאומטריה האנליטית משום שהוא מורכב בעיקר משני מראות: הראשון הוא קעור ו פרבוליות, והשני מאופיין על ידי קמור ו hyperbolic.

מיקומם ואופיים של מראות אלה מאפשרים כי הפגם המכונה "סטייה כדורית" אינו מתרחש; פגם זה מונע את קרני האור מלהשתקף במוקד של עדשה נתונה.

טלסקופ Cassegrain הוא מאוד שימושי עבור תצפית פלנטרית, מלבד היותו צדדי למדי וקל לטפל.

הפניות

1. גיאומטריה אנליטית. אוחזר ב -20 באוקטובר 2017, מ britannica.com
2. גיאומטריה אנליטית. ב -20 באוקטובר 2017, מתוך encyclopfmath.org
3. גיאומטריה אנליטית. ב -20 באוקטובר 2017, מתוך khancademy.org
4. גיאומטריה אנליטית. ב -20 באוקטובר 2017, מתוך wikipedia.org
5. גיאומטריה אנליטית. אוחזר ב -20 באוקטובר 2017, מ whitman.edu
6. גיאומטריה אנליטית. אחזר ב -20 באוקטובר 2017, מ stewartcalculus.com
7. מטוס גיאומטריה אנליטית. פורסם ב -20 באוקטובר 2017