שיטת החטיבה הסינתטית ותרגילי פתור

ה חלוקה סינתטית זוהי דרך פשוטה של ​​חלוקת פולינום P (x) על ידי כל אחד בצורת d (x) = x - c. זהו כלי מאוד שימושי בגלל, מלבד המאפשר לנו לחלק פולינומים, גם מאפשר להעריך פולינום P (x) בכל ג מספר, אשר בתורו אומר לנו בדיוק אם המספר הוא אפס או לא הפולינום.

הודות לאלגוריתם החלוקה, אנו יודעים שאם יש לנו שני פולינומים P (x) ו d (x) לא קבוע, יש פולינומים q (x) ו r (x) ייחודית כך ש - P (x) x (x) x (x) r (x), כאשר r (x) הוא אפס או פחות מ q (x). פולינומים אלה ידועים כמו מנה שאריות או מנוחה בהתאמה.

במקרים בהם ד פולינום (x) היא של X- ג טופס, חטיבת סינתטי נותן דרך קצרה כדי למצוא מי הם q (x) ו- R (x).

אינדקס

• שיטת חלוקה סינתטית
• 2 תרגילים נפתרו
  • 2.1 דוגמה 1
  • 2.2 דוגמה 2
  • 2.3 דוגמה 3
  • 2.4 דוגמה 4
• 3 הפניות

שיטת חלוקה סינתטית

תן P (x) = א_nxⁿ+א_n-1x^n-1+... + א₁x + a₀ את פולינום אנחנו רוצים לחלק ו- D (x) = x-c מחלק. לחלוקה לפי שיטת החלוקה הסינתטית אנו ממשיכים כדלקמן:

1 - אנו כותבים את המקדמים של P (x) בשורה הראשונה. אם כל כוח של X אינו מופיע, אנחנו מכניסים אפס כמקדם שלה.

2. בשורה השנייה, משמאל_n מקום c, וצייר קווי החלוקה כפי שמוצג באיור הבא:

3. אנו מורידים את המקדם המוביל לשורה השלישית.

בביטוי זה ב_n-1= a_n

4 אנו מכפילים c על ידי מקדם מוביל ב_n-1 והתוצאה נכתבה בשורה השנייה, אך בעמודה מימין.

5. אנו מוסיפים את העמודה שבה כתבנו את התוצאה הקודמת ואת התוצאה שמנו את זה תחת סכום זה; כלומר, באותו טור, שורה שלישית.

על ידי הוספת, יש לנו כתוצאה מכך_n-1+c * b_n-1, אשר לנוחיותנו נקרא ב_n-2

6. אנו מכפילים c על ידי התוצאה הקודמת ולכתוב את התוצאה מימין שלה בשורה השנייה.

7. אנחנו חוזרים על צעדים 5 ו -6 עד שאנחנו מגיעים למקדם א₀.

8 כתוב את התשובה; כלומר, את המנה ואת שאריות. כפי שאנו משפיעים על חלוקת פולינום של תואר n בין פולינום של תואר 1, יש לנו את המנה רציני של תואר n-1.

המקדמים של פולינום המנות יהיו מספרי השורה השלישית למעט האחרון, אשר יהיה פולינום שיורית או הנותרים של החלוקה.

תרגילים נפתרים

דוגמה 1

ביצוע החלוקה הבאה בשיטת החלוקה הסינתטית:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

פתרון

תחילה נכתוב את מקדמי הדיבידנד כדלקמן:

אחר כך אנחנו כותבים בצד שמאל, בשורה השנייה, יחד עם קווי החלוקה. בדוגמה זו c = -1.

אנו מורידים את המקדם המוביל (במקרה זה ב_n-1 = 1) ולהכפיל אותו -1:

אנו כותבים את התוצאה מימין בשורה השנייה, כפי שמוצג להלן:

אנו מוסיפים את המספרים בעמודה השנייה:

אנחנו מכפילים 2 ב -1 וכותבים את התוצאה בעמודה השלישית, בשורה השנייה:

אנו מוסיפים בטור השלישי:

אנו ממשיכים באופן דומה עד שנגיע לטור האחרון:

לכן, יש לנו את המספר האחרון שהושג הוא שאר החלוקה, ואת המספרים הנותרים הם המקדמים של פולינום מנה. כך נכתב:

אם ברצוננו לוודא שהתוצאה נכונה, זה מספיק כדי לוודא כי המשוואה הבאה מתקיימת:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

אז אנחנו יכולים לוודא כי התוצאה המתקבלת נכונה.

דוגמה 2

בצע את החלוקה הבאה של פולינומים על ידי שיטת החלוקה הסינתטית

(7x³-x + 2): (x + 2)

פתרון

במקרה זה יש לנו את המונח x² זה לא מופיע, אז אנחנו נכתוב 0 כמקדם שלה. אז, פולינום יהיה כמו 7x³+0x²-x + 2.

אנחנו כותבים את המקדמים שלהם בשורה, זה:

אנו כותבים את הערך של C = -2 בצד שמאל בשורה השנייה ומציירים את קווי החלוקה.

אנו מורידים את המקדם המוביל ב_n-1 = 7 ואנחנו מכפילים אותו ב -2, כותב את התוצאה בשורה השנייה מימין.

אנו מוסיפים וממשיכים כפי שהוסבר עד כה, עד שנגיע למונח האחרון:

במקרה זה, השאר הוא r (x) = 52 והנתח המתקבל הוא q (x) = 7x²-14x + 27.

דוגמה 3

דרך נוספת להשתמש בחלוקה סינתטית היא: נניח שיש לנו פולינום P (x) של n n ואנחנו רוצים לדעת מהו הערך כאשר מעריכים אותו ב- x = c.

על ידי האלגוריתם של החטיבה יש לנו שאנחנו יכולים לכתוב את פולינום P (x) בדרך הבאה:

בביטוי זה q (x) ו- r (x) הם המנות והשאר, בהתאמה. עכשיו, אם d (x) = x- c, כאשר בהערכת c ב פולינום אנו מוצאים את הדברים הבאים:

בשביל זה אנחנו רק צריכים למצוא r (x), ואת זה אנחנו יכולים לעשות תודה על חלוקת סינתטי.

לדוגמה, יש לנו את פולינום P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 ואנחנו רוצים לדעת מערכו כאשר העריכו ב- x = 5. אנו לבצע את החלוקה בין P (x) ו- D (x) = x -5 בשיטת חלוקה סינטתית:

לאחר ביצוע הפעולות, אנו יודעים כי אנו יכולים לכתוב P (x) בדרך הבאה:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

לכן, כאשר מעריכים את זה אנחנו צריכים:

(5) + 5 (+) 5 (+) 5) + 5 (+ 5) +

P (5) = (5-4) 5 + 5 + 5 (5) +32 (5) + 179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

כפי שאנו יכולים לראות, ניתן להשתמש בחלוקה סינתטית כדי למצוא את הערך של פולינום כאשר מעריכים אותו ב C במקום פשוט להחליף ג עם x. 

אם ניסינו להעריך P (5) בדרך המסורתית, היינו צריכים לבצע כמה חישובים נוטים להיות מייגע.

דוגמה 4

האלגוריתם החלוק עבור פולינומים נכון גם עבור פולינומים עם מקדמים מורכבים, ולכן, יש את שיטת חלוקת הסינתטי פועלת גם עבור פולינומים אלה. הבא נראה דוגמה.

נשתמש בשיטת החלוקה הסינתטית כדי להראות ש- z = 1+ 2i הוא אפס של הפולינום P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); כלומר, שאר החלוקה P (x) בין d (x) = x - z שווה לאפס.

אנו ממשיכים כמו קודם: בשורה הראשונה אנו כותבים את המקדמים של P (x), ואז בשנייה אנחנו כותבים ומציירים את קווי החלוקה.

עשינו את החלוקה כמו קודם; זו היא:

אנו יכולים לראות כי שאריות הוא אפס; לכן, אנו מסיקים כי z = 1 + 2i הוא אפס P (x).

הפניות

1. Baldor Aurelio. אלגברה. קבוצת העריכה של פטריה.
2. דמנה, וייטס, פולי וקנדי. פרלקולוס: גרף, מספרי, אלגברי מהדורה 7 -.
3. פלמינג W & Varserg ד אלגברה טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פרנטיס הול
4. מייקל סאליבן. פרלקולוס 4 אד. חינוך פירסון.
5. אדום ארמנדו O. אלגברה 1 6 אד. האתנואי.