הפצות של מאפייני הסתברות בדידים ותרגילים

ה הבדלי הסתברות בדידים הם פונקציה המקצה לכל אלמנט של X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., כאשר X הוא משתנה אקראי בדידים נתון ו- S הוא מרחב המדגם שלו, ההסתברות כי האירוע האמור יתרחש. פונקציה זו של X (S) המוגדרת כ- f (xi) = P (X = xi) נקראת לעיתים פונקציית המסת ההסתברות.

מסה זו של הסתברויות מיוצגת בדרך כלל כשולחן. מכיוון ש- X הוא משתנה אקראי בדידים, ל- X (S) יש מספר סופי של אירועים או אינסוף ספור. בין התפלגות ההסתברות הבדידות השכיחה ביותר יש לנו את ההתפלגות האחידה, את התפלגות הבינומים ואת התפלגות הפואסון.

אינדקס

• 1 מאפיינים
• 2 סוגים
  • 2.1 חלוקה אחידה על נקודות n
  • 2.2 הפצה בינומית
  • 2.3 הפצה של פואסון
  • 2.4 התפלגות היפר-גאומטרית
• 3 תרגילים נפתרו
  • 3.1 תרגיל ראשון
  • 3.2 תרגיל שני
  • 3.3 תרגיל שלישי
  • 3.4 תרגיל שלישי
• 4 הפניות

תכונות

פונקציית התפלגות ההסתברות חייבת לעמוד בתנאים הבאים:

כמו כן, אם X לוקח רק מספר מוגבל של ערכים (לדוגמה, x1, x2, xn), p (xi) = 0 אם i> i, ולכן, האינסוף סדרה של מצב b הופך סדרה סופית.

פונקציה זו גם ממלאת את המאפיינים הבאים:

תן B להיות אירוע המשויך משתנה אקראי X. משמעות הדבר היא כי B הוא הכלול X (S). באופן ספציפי, נניח ש- B = xi1, xi2, .... לכן:

במילים אחרות: ההסתברות לאירוע B שווה לסכום ההסתברויות של התוצאות האינדיבידואליות הקשורות ל- B.

מכאן ניתן להסיק כי אם < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

סוגים

חלוקה אחידה על נקודות n

נאמר כי משתנה אקראי X עוקב אחר חלוקה המאופיינת על ידי היותו אחיד בנקודות n אם לכל ערך מוקצה אותה הסתברות. ההסתברות ההמונית שלה היא:

נניח שיש לנו ניסוי שיש לו שתי תוצאות אפשריות, זה יכול להיות השלכת מטבע שהתוצאות האפשריות שלו הן פנים או חותמת, או בחירה של מספר שלם שתוצאתו יכולה להיות מספר זוגי או מספר מוזר; סוג זה של הניסוי נקרא מבחני ברנולי.

באופן כללי, שתי התוצאות האפשריות נקראות הצלחה וכישלון, כאשר p היא ההסתברות להצלחה ו- p-1 של כישלון. אנו יכולים לקבוע את ההסתברות של x הצלחות בבדיקות n Bernoulli שאינן תלויות זו בזו עם ההפצה הבאה.

הפצה בינומית

פונקציה זו מייצגת את ההסתברות להשיג הצלחות x במבחני ברנולי עצמאיים, אשר ההסתברות להצלחה היא p. ההסתברות ההמונית שלה היא:

התרשים הבא מייצג את מסת הפונקציה של ההסתברות לערכים שונים של הפרמטרים של ההתפלגות הבינומית.

ההפצה הבאה חייבת את שמה למתמטיקאי הצרפתי סימאון פויסון (1781-1840), שקיבל אותה כגבול ההתפלגות הבינומית..

חלוקת פואסון

הוא אמר כי משתנה אקראי X יש התפלגות Poisson של פרמטר λ כאשר הוא יכול לקחת את ערכי שלם חיובי 0,1,2,3, ... עם ההסתברות הבאה:

בביטוי זה λ הוא המספר הממוצע המתאים להתרחשויות האירוע עבור כל יחידת זמן, ו- x הוא מספר הפעמים שהתרחשות האירוע.

ההסתברות ההמונית שלה היא:

הבא, גרף המייצג את ההסתברות מסה ההסתברות עבור ערכים שונים של הפרמטרים של הפואסון הפצה.

שים לב, כל עוד מספר ההצלחות נמוך ומספר n של הבדיקות המבוצעות בחלוקה בינומית הוא גבוה, אנחנו תמיד יכולים להתקרב לחלוקה זו, מכיוון שההפצה של פואסון היא הגבול של ההתפלגות הבינומית..

ההבדל העיקרי בין שתי התפלגויות אלה הוא, שהבינומי תלוי בשני פרמטרים - כלומר, n ו- p -, הפואסון תלוי רק ב- λ, הנקרא לעתים את עוצמת ההתפלגות.

עד כה דיברנו רק על חלוקות הסתברות למקרים שבהם הניסויים השונים אינם תלויים זה בזה; כלומר, כאשר התוצאה של אחד אינו מושפע תוצאה כלשהי.

כאשר מקרה של ניסויים שאינם עצמאיים מתרחשת, הפצה hypergeometric הוא מאוד שימושי.

התפלגות היפרג'ומטרית

תן N להיות מספר הכולל של אובייקטים של קבוצה סופית, אשר אנו יכולים לזהות את k של אלה בדרך כלשהי, ויצירת קבוצת משנה K, אשר משלימה נוצר על ידי האלמנטים הנותרים N-k.

אם אנו בוחרים באופן אקראי אובייקטים n, המשתנה האקראי X שמייצג את מספר החפצים השייכים לקבוצת K בבחירות אלה, יש התפלגות היפרגומטרית של הפרמטרים N, n ו- k. ההסתברות ההמונית שלה היא:

התרשים הבא מייצג את מסת הפונקציה של ההסתברות לערכים שונים של הפרמטרים של התפלגות hypergeometric.

תרגילים נפתרים

תרגיל ראשון

נניח כי ההסתברות כי צינור רדיו (לשים סוג מסוים של ציוד) עובד במשך יותר מ 500 שעות הוא 0.2. אם 20 צינורות נבדקים, מה ההסתברות כי בדיוק אלה יעבדו יותר מ 500 שעות, k = 0, 1,2, ..., 20?

פתרון

אם X הוא מספר הצינורות שעובדים יותר מ -500 שעות, נניח של X יש חלוקה בינומית. ואז

וכך:

עבור k≥11, ההסתברויות הם פחות מ 0.001

אז אנחנו יכולים לראות איך ההסתברות כי K אלה עובדים יותר מ 500 שעות עולה, עד שזה מגיע הערך המקסימלי שלה (עם k = 4) ולאחר מכן מתחיל לרדת.

תרגיל שני

מטבע נזרק 6 פעמים. כאשר התוצאה היא יקרה, נגיד שזה הצלחה. מה ההסתברות של שני פרצופים יוצא בדיוק?

פתרון

במקרה זה יש לנו את n = 6 ואת ההסתברות להצלחה וכישלון הן p = q = 1/2

לכן, ההסתברות של שני פרצופים ניתנת (כלומר k = 2) הוא של

תרגיל שלישי

מהי ההסתברות למצוא לפחות ארבעה פרצופים?

פתרון

במקרה זה יש לנו את זה k = 4, 5 או 6

תרגיל שלישי

נניח כי 2% מהמאמרים המיוצרים במפעל הם פגומים. מצא את ההסתברות P כי ישנם שלושה פריטים פגומים במדגם של 100 פריטים.

פתרון

במקרה זה נוכל ליישם את התפלגות הבינומית ל- n = 100 ו- p = 0.02, כתוצאה מכך:

עם זאת, מאז p הוא קטן, אנו משתמשים קירוב Poisson עם λ = np = 2. אז,

הפניות

1. קאי לאי צ'אנג תורת ההסתברות הראשונית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו-יורק
2. קנת'. מתמטיקה בדידה ויישומיה. ס. א.מ.ג.ג.- היל / אינטרמריקנה ד.
3. פול ל. מאייר. הסתברות ויישומים סטטיסטיים. S.A. מקסיקני אלהמברה.
4. סימור ליפשיץ Ph.D. 2000 מתמטיקה בדידה לפתור בעיות. מקגראו-היל.
5. סימור ליפשיץ Ph.D. תיאוריה ובעיות הסתברות. מקגראו-היל.