שיטה אקסיומטית תכונות, צעדים, דוגמאות

ה שיטה אקסיומטית או המכונה גם אקסיומה היא הליך פורמלי שמוצג המדע לפיה גיבש הצהרות או הצעות שנקרא האקסיומות, המחוברים על ידי יחס של derivability הם הבסיס של הנחות או תנאים של מערכת מסוימת.

הגדרה כללית זו חייבת להיות ממוסגרת בתוך האבולוציה של המתודולוגיה הזאת לאורך ההיסטוריה. ראשית, ישנה שיטה עתיקה או תוכן, שנולדו ביוון העתיקה מאוקליד ומאוחר יותר פיתחו אריסטו.

שנית, כבר במאה התשע-עשרה, הופעתו של גיאומטריה עם אקסיומות שונות מאלה של אוקלידס. ולבסוף, השיטה האקסיומטית הפורמלית או המודרנית, שעוזרו המרבי היה דוד הילברט.

מעבר להתפתחותה לאורך זמן, הליך זה היה הבסיס לשיטה הדדוקטיבית שבה נעשה שימוש בגיאומטריה ובהיגיון שבו מקורו. הוא שימש גם בפיסיקה, כימיה וביולוגיה.

והיא אף יושמה על מדע משפטי, סוציולוגיה וכלכלה פוליטית. עם זאת, כיום תחום היישומים החשוב ביותר שלה הוא מתמטיקה לוגיקה סימבולית וכמה ענפים של פיזיקה כגון תרמודינמיקה, מכניקה, בין דיסציפלינות אחרות.

אינדקס

• 1 מאפיינים 
  • 1.1 שיטה או תוכן אקסיומטי ישן 
  • 1.2 שיטה אקסיומטית לא אוקלידית
  • 1.3 שיטה אקסיומטית מודרנית או פורמלית
• 2 שלבים 
• 3 דוגמאות
• 4 הפניות

תכונות

למרות המאפיין הבסיסי של שיטה זו היא ניסוח של אקסיומות, אלה לא תמיד נחשב באותו אופן.

יש כמה שניתן להגדיר ולהקים באופן שרירותי. ואחרים, על פי מודל שבו האמת מובטחת אינטואיטיבית שלה נחשב.

כדי להבין באופן ספציפי מה ההבדל הזה מורכב ותוצאותיו, יש צורך לבחון את האבולוציה של שיטה זו.

שיטה או תוכן אקסיומטי ישן 

זהו אחד שהוקם ביוון העתיקה סביב המאה ה -5 לפנה"ס. תחום היישום שלה הוא גיאומטריה. העבודה הבסיסית של שלב זה היא אלמנטים של אוקלידס, אם כי זה נחשב כי לפניו, פיתגורס, כבר ילדה את השיטה האקסיומטית.

לכן היוונים לוקחים עובדות מסוימות כאקסיומות, ללא צורך בהוכחה הגיונית, כלומר, ללא צורך בהפגנה, שכן עבורם הן אמת מובנת מאליהן.

מצדו אוקלידס מציג חמש אקסיומות לגיאומטריה:

1 - בהתחשב בשתי נקודות יש שורה שמכילה או מקשרת אותם.

2 - כל קטע ניתן להמשיך ברציפות על קו בלתי מוגבל משני הצדדים.

3 - ניתן לצייר מעגל שיש לו מרכז בכל נקודה ובכל רדיוס.

4-Right זוויות זהים.

5-לוקחים כל קו ישר וכל נקודה שאינה נמצאת בו, יש קו ישר מקביל לזה המכיל את הנקודה. אקסיומה זו ידועה, מאוחר יותר, כאקסיומה של הקבלות והוצהרה גם: בנקודה שמחוץ לקו ניתן לצרף מקביל אחד.

עם זאת, הוא אוקלידס ואת המתמטיקאים מאוחר מסכימים כי האקסיומה החמישית אינה ברורה באופן אינטואיטיבי כמו אחרים 4. גם בתקופת הרנסנס מנסה להסיק את החמישי של אחרים 4, אבל זה לא אפשרי.

זה עשה כי כבר במאה התשע עשרה, אלה אשר שמרו על חמש היו תומכי גיאומטריה אוקלידית ומי הכחיש את החמישי, היו אלה שיצרו את הגיאומטריות הלא אוקלידית.

שיטה אקסיומטית לא אוקלידית

דווקא ניקולאי איוונוביץ לובצ'בסקי, Bolyai יאנוש ו יוהן קרל פרידריך גאוס הרואים את האפשרות של הבניין, ללא סתירה, גיאומטריה שמגיע ממערכות שאינן האקסיומות הללו של אוקלידס. זה הורס את האמונה באמת המוחלטת או האבסורית של האקסיומות ושל התיאוריות הנובעות מהן.

לכן, האקסיומות מתחילות להיחשב לנקודות ההתחלה של תיאוריה נתונה. גם בחירתם וגם בעיית תוקפם בדרך זו או אחרת, מתחילים להתייחס לעובדות מחוץ לתיאוריה האקסיומטית.

בדרך זו מופיעות תיאוריות גיאומטריות, אלגבריות ואריתמטיות, המבוצעות באמצעות השיטה האקסיומטית.

שלב זה מסתיים ביצירת מערכות אקסיומטיות לאריתמטיות כמו זו של ג'וזפה פאנו ב -1891; הגיאומטריה של דוד הוברט בשנת 1899; את ההתבטאויות ואת החישובים המקוריים של אלפרד נורת וייטהד וברטרנד ראסל, באנגליה ב- 1910; התיאוריה האקסיומטית של הסטים של ארנסט פרידריך פרדיננד זרמלו ב- 1908.

שיטה מודרנית או רשמית אקסיומטית

זה דוד הוברט מי יוזם את התפיסה של שיטה אקסיומטית רשמית המוביל לשיאה, דוד הילברט.

זה בדיוק Hilbert אשר פורמל שפה מדעית, בהתחשב בהצהרות שלה כמו נוסחאות או רצפים של סימנים שאין להם שום משמעות עצמם. הם רק רוכשים משמעות בפרשנות מסוימת.

Inיסודות הגיאומטריה"מסביר את הדוגמה הראשונה של מתודולוגיה זו. מכאן, הגיאומטריה הופכת למדע של תוצאות לוגיות טהורות, המופקות ממערכת של השערות או אקסיומות, מתבטאות טוב יותר מהמערכת האוקלידית.

זאת משום שבמערכת הישנה התיאוריה האקסיומטית מבוססת על עדויות האקסיומות. בעוד הבסיס של התיאוריה הפורמלית ניתנת על ידי הפגנה של אי-סתירה של האקסיומות שלה.

צעדים

ההליך המבצעת מבנה אקסיומטי בתוך התיאוריות המדעיות מכיר:

בחירה של מספר מסוים של אקסיומות, כלומר מספר הצעות של תיאוריה מסוימת המתקבלות ללא צורך להפגין.

המושגים המהווים חלק מהצעות אלה אינם נקבעים במסגרת התיאוריה הנתונה.

c- כללי ההגדרה וניכוי של התיאוריה נתון קבועים ומאפשרים להציג מושגים חדשים בתוך התיאוריה ולהסיק באופן הגיוני כמה הצעות אחרות.

d- את שאר ההנחות של התיאוריה, כלומר, את המשפט, הם להסיק מ על בסיס של ג.

דוגמאות

שיטה זו ניתן לאמת באמצעות הדגמה של שני ידועים ביותר Euclid משפטי: משפט הרגל ואת משפט גובה..

שניהם נובעים מהתצפית של הגיאומטר היוונית שכאשר גובה הוא זמם ביחס hypotenuse בתוך משולש ימין שני משולשים מופיעים יותר מאשר המקורי. משולשים אלה דומים זה לזה ובאותו זמן דומים למשולש המוצא. זה מניח שהצדדים ההומולוגיים שלהם הם פרופורציונליים.

ניתן לראות כי הזוויות ההולמות במשולשים בדרך זו מאמתות את הדמיון הקיים בין שלושת המשולשים המעורבים על פי קריטריון הדמיון של AAA. קריטריון זה קובע כי כאשר שני משולשים יש את כל זוויות שווה שלהם הם דומים.

ברגע המשולשים מוצגים דומים, הפרופורציות המפורטות במשפט הראשון ניתן לקבוע. היא קובעת שבמשולש הימני, המדידה של כל קאטוס היא משמעות פרופורציונלית גיאומטרית בין ההיפוטנוס לבין היטל הקתטוס שבתוכו..

המשפט השני הוא זה של גובה. הוא מציין כי כל המשולש הנכון גובה כי הוא נמשך על פי hypotenuse הוא ממוצע פרופורציונלי גיאומטרי בין המגזרים שנקבעו על ידי הממוצע הגיאומטרי אמר על hypotenuse.

כמובן שני משפטי יש יישומים רבים ברחבי העולם לא רק בתחום החינוך, אלא גם בהנדסה, פיסיקה, כימיה ואסטרונומיה.

הפניות

1. ג'ובניני, אדוארדו נ '(2014) גיאומטריה, פורמליזם ואינטואיציה: דוד הילברט ושיטה אקסיומטית רשמית (1895-1905). מגזין פילוסופיה, כרך 39 Núm. 2, pp.121-146. לקוח מתוך revistas.ucm.es.
2. הילברט, דוד. (1918) מחשבה אקסיומה. ב W.Ewald, עורך, מ קאנט כדי Hilbert: ספר המקור ביסוד המתמטיקה. כרך ב, עמ '1105-1114. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. 2005 א.
3. Hintikka, Jaako. (2009). מהי השיטה האקסיומטית? Synthese, November 2011, Volume 189, pp.69-85. נלקח מתוך link.springer.com.
4. לופז הרננדז, חוזה. (2005). מבוא לפילוסופיה של המשפט העכשווי. (עמ '48-48). נלקח מתוך books.google.com.ar.
5. נירנברג, ריקרדו. (1996) השיטה האקסיומה, על ידי קריאה של ריקרדו נירנברג, סתיו 1996, האוניברסיטה באולבני, פרויקט רנסנס. נלקח מ Albany.edu.
6. ונטורי, ג'ורג'יו. (2015) Hilbert בין הפורמלי לבין הצד הלא פורמלי של המתמטיקה. כתב יד כרך א. Adsylon 2, Campinas יולי / אוגוסט 2015. נלקח מ scielo.br.