המרה הגדרה Laplace, היסטוריה, מה זה, תכונות

ה הופק מ Laplace יש בשנים האחרונות חשיבות רבה במחקרי ההנדסה, המתמטיקה, הפיסיקה, בין תחומים מדעיים אחרים, כמו גם עניין רב בתיאוריה, מספק דרך פשוטה לפתרון בעיות שמקורן במדע ובהנדסה.

במקור התמורה Laplace הוצג על ידי פייר סיימון Laplace במחקר שלו על התיאוריה של הסתברות ו טופל בתחילה כמו אובייקט מתמטי של עניין תיאורטי בלבד.

היישומים הנוכחיים מתעוררים כאשר מתמטיקאים שונים ניסו לתת הצדקה רשמית ל"כללים התפעוליים "המשמשים את היביסייד בחקר משוואות התיאוריה האלקטרומגנטית.

אינדקס

• 1 הגדרה
  • 1.1 דוגמאות
  • 1.2 משפט (תנאים מספיקים לקיום)
  • 1.3 המרה Laplace של כמה פונקציות בסיסיות
• 2 היסטוריה
  • 2.1 1782, לאפליס
  • 2.2 אוליבר היביסייד
• 3 מאפיינים
  • 3.1 לינאריות
  • 3.2 תורת התרגום הראשונה
  • 3.3 משפט משנה שני
  • 3.4 שינוי סולם
  • 3.5 רנספורמציה של Laplace של נגזרים
  • 3.6 שינוי Laplace של אינטגרלים
  • 3.7 כפל על ידי t
  • 3.8 חטיבה לפי t
  • 3.9 פונקציות תקופתיות
  • 3.10 התנהגות של F (ים) כאשר s נוטה אינסוף
• 4 טרנספורמציות הפוכות
  • 4.1 מימוש
• 5 יישומים של המרה Laplace
  • 5.1 משוואות דיפרנציאליות
  • 5.2 מערכות משוואות דיפרנציאליות
  • 5.3 מכניקה ומעגלים חשמליים
• 6 הפניות

הגדרה

תנו f להיות פונקציה מוגדרת עבור t ≥ 0. המרה Laplace מוגדר כדלקמן:

הוא אמר כי Laplace טרנספורמציה קיימת אם אינטגרל הקודם מתכנס, אחרת הוא אמר כי לאפליס המרה אינו קיים.

באופן כללי, כדי לציין את הפונקציה שאדם רוצה לשנות, אותיות קטנות משמשות והמכתב באותיות רישיות מתאים לשינוי שלה. בדרך זו יהיו לנו:

דוגמאות

שקול את הפונקציה קבועה (t) = 1. יש לנו את השינוי שלה הוא:

בכל פעם שהאינטגרל מתכנס, זה תמיד מסופק כי s> 0. אחרת, s < 0, la integral diverge.

תן g (t) = t. המרה Laplace שלך ​​ניתנת על ידי

על ידי שילוב על ידי חלקים בידיעה שאתה^-רחוב היא נוטה 0 כאשר t נוטה לאין סוף ול- s 0, יחד עם הדוגמה הקודמת שיש לנו:

ההמרה עשויה או לא יכולה להתקיים, למשל עבור הפונקציה f (t) = 1 / t האינטגרל המגדיר את התמרת Laplace אינו מתכנס, ולכן השינוי שלו אינו קיים.

תנאים מספיקים כדי להבטיח את ההמרה Laplace של פונקציה f קיים, הוא f הוא רציף בחלקים עבור t ≥ 0 ו הוא של סדר מעריכי.

הוא אמר כי פונקציה היא רציפה בחלקים t ≥ 0, כאשר עבור כל מרווח [a, b] עם 0, יש מספר סופי של נקודות t_k, כאשר f יש discontinuities והוא רציף בכל subtrval [t_k-1,t_k].

מצד שני, הוא אמר כי פונקציה היא של סדר מעריכי C אם ישנם קבועים M> 0, c ו- T> 0 כך:

כדוגמאות יש לנו כי f (t) = t² הוא סדר אקספוננציאלי, מאז²| < e^3t עבור כל t> 0.

באופן רשמי יש לנו את המשפט הבא

משפט (תנאים מספיקים לקיום)

אם f הוא פונקציה רציפה לכל חלק עבור t> 0 ו של סדר אקספוננציאלי c, אז יש את התמורה Laplace עבור s> c.

חשוב להדגיש כי זהו מצב של תלות, כלומר, ייתכן שיש פונקציה שאינה עונה על התנאים הללו, וגם אז הופכת לופליס.

דוגמה לכך היא הפונקציה f (t) = t^-1/2 זה לא רציף בחלקים עבור t ≥ 0 אבל ההמרה Laplace שלה קיים.

Laplace המרה של כמה פונקציות בסיסיות

הטבלה הבאה מציגה את התמורות של Laplace של הפונקציות הנפוצות ביותר.

היסטוריה

התמרת Laplace חייבת את שמה לפייר-סיימון לאפליס, מתמטיקאי ואסטרונום תאורטיקאי צרפתי שנולד ב -1749 ונפטר ב -1827. תהילתו הייתה כה ידועה כ"ניוטון של צרפת ".

בשנת 1744 הקדיש ליאונרד אוילר את לימודיו לשילוב עם הצורה

כפתרונות של משוואות דיפרנציאליות רגילות, אך נטש במהירות את החקירה. מאוחר יותר, יוסף לואי לגראנז ', אשר מאוד העריץ אוילר, גם חקרו סוג זה של אינטגרלים וקשר אותם לתיאוריה של הסתברות.

1782, לאפליס

בשנת 1782 החל Laplace ללמוד אינטגרלים אלה כפתרונות משוואות דיפרנציאליות ועל פי ההיסטוריונים, בשנת 1785 הוא החליט לנסח מחדש את הבעיה, אשר מאוחר יותר ילדה את Laplace טרנספורמציה כפי שהם הבינו היום.

לאחר שהוכנסו לתחום תיאוריית ההסתברות, לא היה עניין רב במדענים של אותה תקופה, ונראה רק כאובייקט מתמטי של עניין תיאורטי בלבד.

אוליבר היביסייד

זה היה באמצע המאה התשע עשרה, כאשר מהנדס אנגלית אוליבר Heaviside גילו כי מפעילי דיפרנציאלי ניתן לטפל כמשתנים אלגבריים, ובכך מתן היישום המודרני שלהם Laplace טרנספורמציות.

אוליבר Heaviside היה פיזיקאי, מהנדס חשמל ומתמטיקאי אנגלי יליד 1850 ומת בלונדון בשנת 1925. בעוד מנסה לפתור משוואות דיפרנציאליות להחיל את התאוריה והמחקרים רטט באמצעות Laplace, נכתב בעיצוב יישומים מודרניים של Laplace טרנספורמציות.

התוצאות שהוצגו על ידי Heaviside התפשט במהירות ברחבי הקהילה המדעית של הזמן, אבל כמו עבודתה לא היה קפדני זה היה מבוקר במהירות על ידי מתמטיקאים מסורתיים יותר.

עם זאת, התועלת של עבודה של Heaviside בפתרון משוואות פיזיקה עשה שיטות שלו פופולרי עם פיסיקאים ומהנדסים.

למרות מכשולים אלה, ולאחר כמה עשורים של ניסיונות כושלים, בתחילת המאה העשרים ניתן היה להצדיק הצדקה קפדנית לכללי התפעול של היביסייד..

ניסיונות אלה השתלם בזכות המאמצים של מתמטיקאים מגוונים כגון ברומיץ ', קרסון, ואן דר פול, בין היתר..

מאפיינים

בין המאפיינים של התמרת Laplace, בולטים הבאים:

ליניאריות

תנו c1 ו- c2 להיות קבועים ו- f (t) ו- g (t) פונקציות אשר Laplace טרנספורמציות הם F (ים) ו G (ים) בהתאמה, אז אנחנו צריכים:

בשל נכס זה נאמר כי המרה Laplace הוא מפעיל ליניארי.

דוגמה

משפט התרגום הראשון

אם זה קורה כי:

ו 'א' הוא כל מספר אמיתי, ולאחר מכן:

דוגמה

כמו התמרת Laplace של cos (2t) = s / (s + 2 + 4) אז:

משפט התרגום השני

כן

ואז

דוגמה

אם f (t) = t ^ 3, לאחר מכן F (s) = 6 / s ^ 4. ולכן, השינוי של

הוא G (ים) = 6e^-2s/ s ^ 4

שינוי סולם

כן

ו 'א' הוא אמיתי אפס אמיתי, אנחנו צריכים

דוגמה

כיוון שההמרה של F (t) = sin (t) היא F (s) = 1 (s ^ 2 + 1) היא חייבת להיות

רספורמציה של Laplace של נגזרים

אם f, f, f, f, ..., f⁽ⁿ⁾ הם רציפים עבור t ≥ 0 והם בסדר אקספוננציאלי ו- f⁽ⁿ⁾(t) הוא רציף בחלקים עבור t ≥ 0, לאחר מכן

Laplace המרה של אינטגרלים

כן

ואז

כפל על ידי tⁿ

אם אנחנו צריכים

ואז

43.7

אם אנחנו צריכים

ואז

פונקציות תקופתיות

תנו f להיות פונקציה תקופתיים עם נקודה T> 0, כלומר, f (t + T) = f (t), לאחר מכן

התנהגות של F (ים) כאשר s נוטה אינסוף

אם f הוא רציף בחלקים של סדר מעריכי ו

ואז

טרנספורמציות הפוכות

כאשר אנו מיישמים את התמרת Laplace לפונקציה f (t) נקבל F (s), המייצג את השינוי הזה. באותו אופן אנו יכולים לומר כי f (t) הוא ההמרה Laplace הפוך של F (ים) והוא כתוב כמו

אנו יודעים כי התמורות של Laplace של f (t) = 1 ו- g (t) = t הן F (s) = 1 / s ו- G (s) = 1 / s² בהתאמה, ולכן אנחנו צריכים

להלן כמה מהפכים נפוצים של Laplace:

בנוסף, ההמרה Laplace ההופכי הוא ליניארי, כלומר, הוא מילא את זה

תרגיל

מצא

כדי לפתור את התרגיל הזה עלינו להתאים את הפונקציה F (F) עם אחד הטבלאות הקודמות. במקרה זה, אם ניקח n = 1 = 5 ונשתמש בנכס הליניאריות של ההופך ההפוך, נכפיל ונחלק ב 4! מקבל

עבור השינוי ההופכי השני אנו מיישמים שברים חלקיים כדי לשכתב את הפונקציה F (s) ולאחר מכן את המאפיין של הליניאריות, השגת

כפי שניתן לראות מהדוגמאות הללו, מקובל שהפונקציה F (F) המוערכת אינה מסכימה בדיוק לאף אחד מהפונקציות המופיעות בטבלה. עבור מקרים אלה, כפי שהוא נצפה, זה מספיק כדי לשכתב את הפונקציה עד להגיע לצורה המתאימה.

יישומים של התמרת Laplace

משוואות דיפרנציאליות

היישום העיקרי של טרנספורמציה של Laplace הוא לפתור משוואות דיפרנציאליות.

באמצעות המאפיין של המרה של נגזרת ברור כי

וכן של נגזרות n-1 מוערך ב t = 0.

נכס זה הופך את ההמרה שימושי מאוד לפתרון בעיות ערך ראשוני שבו משוואות דיפרנציאלי עם מקדמי קבוע מעורבים.

הדוגמאות הבאות מראות כיצד להשתמש בהמרה של Laplace כדי לפתור משוואות דיפרנציאליות.

דוגמה 1

בהתחשב בבעיית הערך ההתחלתי הבאה

השתמש המרה Laplace למצוא את הפתרון.

אנו מיישמים את התמורה של Laplace לכל חבר במשוואה הדיפרנציאלית

עבור המאפיין של טרנספורמציה של נגזרת שיש לנו

על ידי פיתוח כל הביטוי ואת ניקוי ו (ים) אנחנו נשארים

באמצעות שברים חלקי לשכתב את הצד הימני של המשוואה נקבל

לבסוף, המטרה שלנו היא למצוא פונקציה y (t) אשר עונה על משוואה דיפרנציאלית. באמצעות המרה הפוכה Laplace נותן לנו את התוצאה

דוגמה 2

לפתור

כמו במקרה הקודם, אנו מיישמים את השינוי בשני צידי המשוואה ומונח נפרד לפי מונח.

בדרך זו יש לנו כתוצאה מכך

החלפה עם הערכים ההתחלתיים הנתמכים וסליקה Y (ים)

באמצעות שברים פשוטים אנו יכולים לשכתב את המשוואה כדלקמן

וליישם את ההפך ההפוך של Laplace נותן לנו כתוצאה מכך

דוגמאות אלה עשויות להגיע למסקנה הלא הנכונה, כי שיטה זו אינה טובה בהרבה שיטות מסורתיות בפתרון משוואות דיפרנציאליות.

היתרונות של ההתמרה לפלס הוא שזה לא הכרחי להשתמש וריאציה של פרמטרים או לדאוג מקרים שונים של שיטת מקדם נקבע.

בנוסף לפתרון בעיות ערך ראשוניים על ידי שיטה זו מההתחלה שאנחנו משתמשים תנאי ההתחלה, אז אין צורך לבצע חישובים אחרים כדי למצוא את הפתרון המסוים.

משוואות דיפרנציאליות

ההמרה Laplace יכול לשמש גם כדי למצוא פתרונות משוואות דיפרנציאלי רגיל סימולטני, כמו בדוגמה הבאה מראה.

דוגמה

לפתור

עם התנאים ההתחלתיים x (0) = 8 e ו- (0) = 3.

אם אנחנו צריכים

ואז

פתרון תוצאות אצלנו

וכאשר מיישמים את ההמרה ההופכית של Laplace יש לנו

מכניקה ומעגלים חשמליים

התמרת Laplace היא בעלת חשיבות רבה בפיסיקה, ובעיקר יש לה יישומים למעגלים מכניים וחשמליים.

מעגל חשמלי פשוט מורכב מהרכיבים הבאים

מתג, סוללה או מקור, משרן, נגד וקבל. כאשר המתג סגור, נוצר זרם חשמלי המסומן ב- i (t). מטען הקבל מסומן על ידי q (t).

הפיק מתח KVL ידי מקור E כדי במעגל סגור חייב להיות שווה לסכום של כל אחד brownouts.

הזרם החשמלי i (t) קשור המטען q (t) על הקבל על ידי i = DQ / dt. מצד השני, המתח ושחרר לרוחב כל המרכיבים המוגדרים כדלקמן:

מתח המתח בנגד הוא iR = R (dq / dt)

מתח המתח במשרן הוא L (di / dt) = L (d²q / dt²)

מתח המתח בקבל הוא Q / C

עם נתונים אלה וליישם את החוק Kirchhoff השני למעגל פשוט סגור, משוואה דיפרנציאלית הסדר השני מתקבל המתאר את המערכת ומאפשר לנו לקבוע את הערך של q (t).

דוגמה

המשרן, הקבל ונגד הנגן מחוברים לסוללה E, כפי שמוצג באיור. המשרן הוא של 2 הנרי, הקבל של 0.02 parads ואת ההתנגדות של 16 onhm. בזמן t = 0 המעגל סגור. מצא את העומס הנוכחי בכל עת t> 0 אם E = 300 וולט.

יש לנו כי משוואה דיפרנציאלי המתאר מעגל זה הוא הבא

כאשר התנאים הראשוניים הם q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

החלת Laplace להפוך את זה אנחנו מקבלים

ו ניקוי Q (t)

לאחר מכן, החלת ההמרה Laplace הפוכה שיש לנו

הפניות

1. G. Holbrook, J. (1987). התמרת Laplace עבור מהנדסי אלקטרוניקה. סיד.
2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). משוואות דיפרנציאליות ו Laplace להפוך עם יישומים. עריכה UPV.
3. סימונס, ג 'פ' (1993). משוואות דיפרנציאליות עם יישומים והערות היסטוריות. מקגרו היל.
4. שפיגל, מ 'ר' (1991). Laplace טרנספורמציות. מקגרו היל.
5. Zill, D. G., & Cullen, M. (2008). משוואות דיפרנציאליות עם בעיות של ערכים בגבול. Cengage למידה עורכים, S.A..