בייס הסבר משפטי, יישומים, תרגילים

ה משפט בייס הוא נוהל המאפשר לנו לבטא את ההסתברות המותנית של אירוע אקראי A נתון ב, במונחים של התפלגות ההסתברות של אירוע B נתון A והחלוקה ההסתברותית של A בלבד.

משפט זה הוא מאוד שימושי, כי בזכות זה אנו יכולים להתייחס ההסתברות כי אירוע A מתרחשת בידיעה כי B התרחשה, עם ההסתברות כי ההפך מתרחשת, כלומר, כי B מתרחשת נתון.

בייז 'היה משפט כסף על ידי הכומר תומאס בייז, תיאולוג אנגלי מהמאה השמונה עשרה שהיה גם מתמטיקאי. הוא היה מחברם של כמה יצירות תיאולוגיה, אבל הוא ידוע כיום כמה מאמרים מתמטיים, וביניהם משפט Bayes הנ"ל בולטת כמו התוצאה העיקרית..

בייס עסק במשפט זה במאמר שכותרתו "חיבור לקראת פתרון בעיה בדוקטרינת הסיכויים", שפורסם בשנת 1763, ואשר פותחו בו עבודות גדולות לפתרון בעיה בתורת האפשרויות. עיון ביישומים בתחומי ידע שונים.

אינדקס

• 1 הסבר
• 2 יישומים של משפט Bayes
  • 2.1 תרגילים מוסכמים
• 3 הפניות

הסבר

ראשית, להבנה נוספת של משפט זה, יש צורך בכמה מושגים בסיסיים של תיאוריית ההסתברות, ובמיוחד במשפט הכפל להסתברות מותנית, הקובע כי

עבור E ו- A אירועים שרירותיים של שטח מדגם S.

ואת ההגדרה של מחיצות, אשר אומר לנו שאם יש לנו₁ ,א₂,..., א_n אירועים של שטח מדגם S, אלה יהוו מחיצה של S, אם A_i הם בלעדיים הדדית ואת האיחוד שלהם הוא S.

לאחר מכן, תן B להיות עוד אירוע. ואז נוכל לראות את B

איפה א_i מצטלבים עם B הם אירועים הדדית.

וכתוצאה מכך,

לאחר מכן, החלת משפט הכפל

מאידך גיסא, ההסתברות המותנית של Ai ניתנה על ידי

החלפת נאותה אנחנו צריכים לכל i

יישומים של משפט בייז

הודות לתוצאות אלו, קבוצות מחקר ותאגידים מגוונים הצליחו לשפר את המערכות המבוססות על ידע.

לדוגמה, במחקר של מחלות, משפט Bayes יכול לעזור להבין את ההסתברות כי מחלה יימצא בקבוצת אנשים עם מאפיין נתון, לוקח כמו נתונים שיעורי העולמי של המחלה ואת הדומיננטיות של המאפיינים כאמור ב אנשים בריאים וחולים כאחד.

מאידך גיסא, בעולם הטכנולוגיות הגבוהות, השפיעה על חברות גדולות שפיתחו, הודות לתוצאה זו, תוכנה "המבוססת על ידע".

כדוגמה יומיומית יש לנו את העוזר של Microsoft Office. משפט Bayes מסייע התוכנה להעריך את הבעיות שהמשתמש מציג ולקבוע מה ייעוץ לספק ובכך יוכלו להציע שירות טוב יותר על פי הרגלי המשתמש.

יש לציין כי נוסחה זו לא זכתה להתייחסות עד לא מזמן, וזאת בעיקר בשל העובדה שכאשר התוצאה הזאת פותחה לפני 200 שנה, לא היה בהם שימוש מעשי. עם זאת, בזמננו, בזכות ההתקדמות הטכנולוגית הגדולה, מדענים השיגו דרכים לשים את התוצאה בפועל.

תרגילי החלטה

תרגיל 1

חברה סלולרית יש שתי מכונות A ו- B. 54% של טלפונים סלולריים המיוצרים מתבצעים על ידי מכונת A והשאר על ידי מכונה ב לא כל הטלפונים הניידים המיוצרים במצב טוב.

חלקם של טלפונים סלולריים פגומים שנעשו על ידי A הוא 0.2 ו- B הוא 0.5. מהי ההסתברות לכך שהטלפון הסלולרי של מפעל זה פגום? מהי ההסתברות לכך, בידיעה כי הטלפון הסלולרי פגום, מגיעים מכונת א?

פתרון

הנה, יש לך ניסוי זה נעשה בשני חלקים; בחלק הראשון מתרחשים האירועים:

ת: הטלפון הסלולרי שנעשה על ידי מכונה A.

B: טלפון סלולרי שנעשה על ידי מכונה ב.

מאז מכונה A מייצרת 54% של טלפונים סלולריים והשאר מופק על ידי מכונה ב ', מכונה B מייצרת 46% של טלפונים סלולריים. ההסתברויות של אירועים אלה ניתנות, כלומר:

P (A) = 0.54.

P (=) 0.46.

האירועים של החלק השני של הניסוי הם:

D: תא פגום.

E: תא לא פגום.

כפי שנאמר בהצהרה, ההסתברויות של אירועים אלה תלויים בתוצאה המתקבלת בחלק הראשון:

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0.5.

באמצעות ערכים אלה, ניתן גם לקבוע את ההסתברויות של השלמות של אירועים אלה, כלומר:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

0.8 0.8

ו

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

0.5 tim.

עכשיו, האירוע D יכול להיות כתוב כדלקמן:

באמצעות משפט הכפל להסתברות מותנית, התוצאה היא:

עם השאלה הראשונה היא ענתה.

עכשיו אנחנו רק צריכים לחשב P (A | D), אשר משפט בייס חל:

הודות לתיאור Bayes, ניתן לומר כי ההסתברות כי הטלפון הסלולרי נעשה על ידי מכונה A, בידיעה כי הטלפון הסלולרי פגום, הוא 0.319.

תרגיל 2

שלוש תיבות מכילות כדורים לבנים ושחורים. ההרכב של כל אחד מהם הוא כדלקמן: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

אחת הקופסאות נבחרת באקראי וכדור אקראי מופק ממנה, שמתברר לבן. איזו היא התיבה הסיכוי הטוב ביותר שנבחרו?

פתרון

באמצעות U1, U2 ו- U3, אנו מייצגים גם את התיבה שנבחרה.

אירועים אלה מהווים מחיצה של S והוא מאומת כי P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 מאז הבחירה של התיבה הוא אקראי.

אם B = הכדור שחולץ הוא לבן, יהיה לנו P (U1) = 3/4, P (B2 U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

מה שאנחנו רוצים להשיג הוא ההסתברות שהכדור נלקח מהקופסה בידיעה שהכדור היה לבן, כלומר P (Ui | B), ולראות איזה מבין שלושת הערכים היה הגבוה ביותר לדעת אילו התיבה הייתה ככל הנראה החילוץ של הכדור הלבן.

החלת משפט בייס על הראשון של תיבות:

ובשביל שני האחרים:

P (U2 | B) = 2/6 ו- P (U3 | B) = 1/6.

לאחר מכן, הראשון של תיבות הוא אחד כי יש סבירות גבוהה יותר של שנבחר להפקת הכדור הלבן.

הפניות

1. קאי לאי צ'אנג תורת ההסתברות הראשונית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו-יורק
2. קנת'. מתמטיקה בדידה ויישומיה. ס. א.מ.ג.ג.- היל / אינטרמריקנה ד.
3. פול ל. מאייר. הסתברות ויישומים סטטיסטיים. S.A. מקסיקני אלהמברה.
4. סימור ליפשיץ Ph.D. 2000 מתמטיקה בדידה לפתור בעיות. מקגראו-היל.
5. סימור ליפשיץ Ph.D. תיאוריה ובעיות הסתברות. מקגראו-היל.