מה הם בני דודים יחסיים? מאפיינים ודוגמאות

זה נקרא קרובי משפחה יחסית (coprimos או בני דודים יחסית זה לזה) לכל זוג של מספרים שלמים שאין להם כל מחלק במשותף, למעט 1.

במילים אחרות, שני מספרים שלמים הם בני דודים יחסיים, אם בפירוק שלהם במספרים ראשוניים, אין להם גורם משותף.

לדוגמה, אם נבחרו 4 ו -25, פירוק גורם ראשוני של כל אחד מהם הוא 2 ו -5 מ"ר בהתאמה. כפי שהוא מוערך, אלה אין שום גורם משותף, ולכן 4 ו 25 הם בני דודים יחסית.

מצד שני, אם 6 ו 24 נבחרים, בעת ביצוע הפירוק שלהם גורמים ראשוניים, אנו מקבלים כי 6 = 2 * 3 ו 24 = 2³ * 3.

כפי שניתן לראות, לשני הביטויים האחרונים יש לפחות גורם אחד משותף, ולכן הם אינם יחסי ראשוניים.

קרובי משפחה קרובים

דבר אחד להיות זהיר לגבי זה אומר כי זוג מספרים שלמים הם primes יחסי היא שזה לא אומר כי כל אחד מהם הוא מספר ראשוני.

מאידך גיסא, ניתן לסכם את ההגדרה שלמעלה כדלקמן: שני מספרים שלמים "a" ו- "b" הם יחסי ראשוניים, אם ורק אם המחלק הנפוץ ביותר הוא 1, כלומר, mcd ( a, b = 1 =.

שתי מסקנות מיידיות של הגדרה זו הן:

-אם "a" (או "b") הוא מספר ראשוני, ולאחר מכן mcd (a, b) = 1.

-אם "a" ו- "b" הם מספרים ראשוניים, ולאחר מכן mcd (a, b) = 1.

כלומר, אם לפחות אחד המספרים שנבחרו הוא מספר ראשוני, אז ישירות זוג מספרים הם יחסי ראשוניים.

תכונות אחרות

תוצאות אחרות המשמשות כדי לקבוע אם שני מספרים הם פריים יחסיים הם:

-אם שני מספרים שלמים הם רצופים אז אלה הם בני דודים יחסית.

-שני מספרים טבעיים "a" ו- "b" הם מספרים ראשוניים אם ורק אם המספרים "(2 ^ a) -1" ו- "(2 ^ b) -1".

-שני מספרים שלמים "a" ו- "b" הם יחסי ראשוניים יחסית, אם ורק אם, על ידי זוממים את הנקודה (a, b) במישור הקרטזי, ולבנות את הקו העובר דרך המקור (0,0) ו (a , b), זה אינו מכיל נקודות עם קואורדינטות שלמות.

דוגמאות

1.- שקול את מספרים שלמים 5 ו - 12. גורם ראש decompositions גורם של שני מספרים הם: 5 ו 2 * 3 בהתאמה. לסיכום, gcd (5,12) = 1, ולכן, 5 ו -12 הם יחסי ראשוניים.

2.- הניחו את המספרים 4 ו- 6. לאחר מכן -4 = -2² ו- 6 = 2 * 3, כך שה- LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. לסיכום 4 ו 6 הם לא בני דודים יחסי.

אם נמשיך לגרף את הקו העובר דרך זוגות הורה (-4.6) ו (0.0), ולקבוע את המשוואה של הקו הזה, אנחנו יכולים לוודא כי הוא עובר את הנקודה (-2.3).

שוב מסיק כי 4 ו - 6 הם לא בני דודים יחסי.

3.- המספרים 7 ו - 44 הם יחסית primes וניתן להסיק במהירות הודות לעיל, שכן 7 הוא מספר ראשוני.

4.- שקול את המספרים 345 ו 346. להיות שני מספרים רצופים זה מאומת כי mcd (345,346) = 1, ולכן 345 ו 346 הם יחסית primes.

5.- אם מספרים 147 ו 74 נחשבים, אז אלה הם בני דודים יחסית, מאז 147 = 3 * 7 ² ו 74 = 2 * 37, ולכן gcd (147.74) = 1.

6.- המספרים 4 ו - 9 הם יחסיים יחסית. כדי להדגים זאת, ניתן להשתמש באפיון השני שהוזכר לעיל. למעשה, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 ו -2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

המספרים המתקבלים הם 15 ו 511. הפירוק גורם ראשוני של מספרים אלה הם 3 * 5 ו 7 * 73 בהתאמה, כך mcd (15,511) = 1.

כפי שניתן לראות, שימוש באפיון השני הוא משימה ארוכה ומייגעת יותר מאשר לאמת אותה ישירות.

7.- חשבו על המספרים -22 ו- -27. אז מספרים אלה ניתן לשכתב כדלקמן: -22 = -2 * 11 ו -27 = -3³. לכן, ה- gcd (-22, -27) = 1, כך -22 ו- -27 הם ​​יחסי ראשוניים.

הפניות

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). מבוא לתורת המספרים. EUNED.
2. בורדון, פ 'ל' (1843). אלמנטים אריתמטיים. חנות ספרים של האדונים והילדים בני קליה.
3. Castañeda, S. (2016). קורס בסיסי בתורת המספרים. אוניברסיטת צפון.
4. Guevara, M. H. (s.f.). סט המספרים השלמים. EUNED.
5. המכון הגבוה להכשרת מורים (ספרד), י 'ל' (2004). מספרים, טפסים וכרכים בסביבת הילד. משרד החינוך.
6. פאלמר, א ', ביב, ס' פ '(1979). מתמטיקה מעשית: אריתמטיקה, אלגברה, גיאומטריה, טריגונומטריה ושקופית (הדפס מחדש). רוברט.
7. Rock, N. M. (2006). אלגברה אני קל! כל כך קל. צוות רוק לחץ.
8. Smith, S.A. (2000). אלגברה. חינוך פירסון.
9. Szecsei, D. (2006). מתמטיקה בסיסית וטרום אלגברה (מאויר). קריירה הקש.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). קורס 2 במתמטיקה. עריכה Progreso.
11. וגנר, ג ', Caicedo, A., & קולורדו, ח (2010). עקרונות בסיסיים של אריתמטיקה. אליזקום.