מאפיינים של שוויון

ה מאפייני השוויון הם מתייחסים לקשר בין שני אובייקטים מתמטיים, או מספרים או משתנים. זה מסומן על ידי סמל "=", אשר תמיד נכנס בין שני אובייקטים אלה. ביטוי זה משמש כדי לקבוע כי שני אובייקטים מתמטיים מייצגים את אותו אובייקט; במילה אחרת, כי שני אובייקטים הם אותו דבר.

ישנם מקרים שבהם זה טריוויאלי להשתמש בשוויון. לדוגמה, ברור כי 2 = 2. עם זאת, כשמדובר משתנים זה כבר לא טריוויאלי ויש לו שימושים ספציפיים. לדוגמה, אם יש לך y = x ומצד שני x = 7, ניתן להסיק כי y = 7 גם.

הדוגמה הקודמת מבוססת על אחד המאפיינים של השוויון, כפי שנראה בקרוב. מאפיינים אלה חיוניים לפתרון משוואות (שוויון בין משתנים), המהווים חלק חשוב מאוד במתמטיקה.

אינדקס

• 1 מהם המאפיינים של השוויון?
  • 1.1 רכוש רפלקטיבי
  • 1.2 רכוש סימטרי
  • 1.3 רכוש טרנזיטיבי
  • 1.4 מדים אחידים
  • 1.5 ביטול רכוש
  • 1.6 החלפת רכוש
  • 1.7 תכונות של כוח בשוויון
  • 1.8 רכוש השורש בשוויון
• 2 הפניות

מה הם תכונות השוויון?

רכוש רפלקטיבי

רכוש רפלקטיבי, במקרה של שוויון, קובע כי כל מספר שווה לעצמו והוא בא לידי ביטוי b = b עבור כל מספר אמיתי ב.

במקרה מסוים של שוויון זה רכוש נראה ברור, אבל סוג אחר של יחסים בין מספרים זה לא. במילים אחרות, לא כל יחס של מספרים ממשיים ממלא את הרכוש הזה. לדוגמה, מקרה כזה של היחסים "פחות מ"<); ningún número es menor que sí mismo.

רכוש סימטרי

המאפיין הסימטרי לשוויון אומר שאם a = b, אז b = a. לא משנה באיזה סדר נעשה שימוש במשתנים, זה יישמר על ידי יחסי השוויון.

אנלוגיה מסוימת של נכס זה ניתן לראות עם המאפיין commutative במקרה של תוספת. לדוגמה, בגלל המאפיין הזה זה שווה לכתוב y = 4 או 4 = y.

רכוש טרנזיטיבי

המאפיין הטרנזיטיבי בשוויון קובע כי אם a = b ו- b = c, אז c = c. לדוגמה, 2 + 7 = 9 ו -9 = 6 + 3; לכן, על ידי הנכס הטרנזיטיבי יש לנו 2 + 7 = 6 + 3.

יישום פשוט הוא כדלקמן: נניח כי ג'וליאן הוא בן 14 וכי מריו הוא הגיל של רוזה. אם רוזה היא בת גילו של ג'וליאן, בן כמה הוא מריו??

מאחורי תרחיש זה נעשה שימוש במאפיין הטרנזיטיבי פעמיים. מבחינה מתמטית הוא מתפרש כך: להיות "א" עידן מריו, "b" גיל רוזה ו "ג" בעידן של חוליאן. זה ידוע כי b = c וכי c = 14.

עבור הרכוש הטרנזיטיבי יש לנו את זה b = 14; כלומר, רוזה היא בת 14. מאז a = b ו- b = 14, באמצעות שוב את הנכס הטרנזיטיבי יש לנו = 14; כלומר, כי הגיל של מריו הוא גם 14 שנים.

רכוש אחיד

הרכוש האחיד הוא, שאם שני הצדדים של שוויון מתווספים או מוכפלים באותו סכום, השוויון נשמר. לדוגמה, אם 2 = 2, אז 2 + 3 = 2 + 3, ברור, אז 5 = 5. תכונה זו יש תועלת רבה יותר כשמדובר בפתרון משוואה.

לדוגמה, נניח שאתה מתבקש לפתור את המשוואה x-2 = 1. זה נוח לזכור כי פתרון משוואה מורכב במפורש לקבוע את המשתנה (או משתנים) מעורב, בהתבסס על מספר מסוים או משתנה שצוין בעבר.

בחזרה למשוואה x-2 = 1, מה שצריך לעשות הוא למצוא במפורש כמה x שווה. לשם כך, יש לנקות את המשתנה.

יש ללמד בטעות כי במקרה זה, כאשר מספר 2 הוא שלילי, הוא עובר לצד השני של השוויון עם סימן חיובי. אבל זה לא נכון להגיד את זה ככה.

בעיקרון, מה נעשה הוא להחיל את האחיד רכוש, כפי שנראה בהמשך. הרעיון הוא לנקות "x"; כלומר, להשאיר אותו לבד בצד אחד של המשוואה. לפי האמנה זה בדרך כלל שמאל משמאל.

לשם כך, המספר שאתה רוצה "לחסל" הוא -2. הדרך לעשות את זה יהיה הוספת 2, מאז -2 + 2 = 0 ו x + 0 = 0. כדי להיות מסוגל לעשות זאת מבלי לשנות את השוויון, אותה פעולה צריכה להיות מיושמת בצד השני.

זה מאפשר את הנכס אחיד להתממש: כמו x-2 = 1, אם מספר 2 מתווסף משני צידי השוויון, האחיד אומר כי נכס לא השתנה. אז יש לנו את זה x-2 + 2 = 1 + 2, וזה שווה לומר כי x = 3. עם זאת המשוואה תיפתר.

באופן דומה, אם אתה רוצה לפתור את המשוואה (1/5) y-1 = 9, אתה יכול להמשיך באמצעות הנכס אחיד כדלקמן:

באופן כללי יותר, את ההצהרות הבאות ניתן לבצע:

- אם a-b = c-b, אז c = c.

- אם x-b = y, לאחר מכן x = y + b.

- אם (1 / a) z = b, אז z = a

- אם (1 / c) a = (1 / c) b, אז a = b.

רכוש ביטול

הנכס המבטל הוא מקרה מסוים של בעלות אחידה, במיוחד בהתחשב במקרה של חיסור וחלוקה (אשר, בסופו של דבר, גם להתאים תוספת וכפל). תכונה זו מתייחסת למקרה זה בנפרד.

לדוגמה, אם 7 + 2 = 9, אז 7 = 9-2. או אם 2y = 6, אז y = 3 (חלוקה לשניים בשני הצדדים).

באופן מקביל למקרה הקודם, באמצעות המאפיין הביטול ניתן לקבוע את ההצהרות הבאות:

- אם + b = c + b, אז c = c.

- אם x + b = y, אז x = y-b.

- אם az = b, אז z = b / a.

- אם ca = cb, אז a = b.

החלפת רכוש

אם אנו יודעים את הערך של אובייקט מתמטי, המאפיין החלפה קובע כי ערך זה יכול להיות מוחלף בכל משוואה או ביטוי. לדוגמה, אם b = 5 ו- a bx =, לאחר מכן מחליפים את הערך של "b" בשוויון השני, יש לנו כי = 5x.

דוגמה נוספת היא הבאה: אם "m" מחלק "n" וגם "n" מחלק "m", אז זה חייב להיות כי m = n.

למעשה, כדי לומר כי "m" מחלק "n" (או באופן שווה, כי "מ" הוא מחלק "n") אומר כי החלוקה m ÷ n הוא מדויק; כלומר, על ידי חלוקת "m" על ידי "n" אתה מקבל מספר שלם, לא מספר עשרוני. זה יכול לבוא לידי ביטוי באומרו כי קיים מספר שלם "k" כך m = k × n.

מכיוון ש "n" מחלק גם את "m", אזי קיים מספר שלם "p" כך ש- n = p × m. עבור המאפיין החלופי, יש לנו n = p × k × n, וכדי שזה יקרה יש שתי אפשרויות: n = 0, ובמקרה זה תהיה לנו זהות 0 = 0; או p = k = 1, שם הזהות צריכה להיות n = n.

נניח כי "n" הוא nonzero. אז בהכרח p = k = 1; לכן, p = 1 ו- k = 1. שימוש חוזר במאפיין החלפה, כאשר מחליפים את k = 1 בשוויון m = k × n (או שווה ערך, p = 1 ב n = p = m) הוא סוף סוף מתקבל כי m = n, אשר היה מה היה רוצה להיות הפגינו.

בעלות על כוח בשוויון

כפי שראינו בעבר, אם מבצע נעשה כסכום, כפל, חיסור או חלוקה הן מבחינת שוויון, הוא נשמר, באותה דרך שבה ניתן ליישם פעולות אחרות שאינן משנות שוויון.

המפתח הוא תמיד לעשות את זה משני צידי השוויון ולוודא מראש כי הניתוח יכול להתבצע. זהו מקרה של העצמה; כלומר, אם שני הצדדים של משוואה מועלים לאותו כוח, עדיין יש שוויון.

לדוגמה, כמו 3 = 3, ולאחר מכן 3²= 3² (9 = 9). באופן כללי, נתון מספר שלם "n", אם x = y, ולאחר מכן xⁿ= yⁿ.

רכוש השורש בשוויון

זהו מקרה מסוים של potentiation והוא מוחל כאשר הכוח הוא מספר לא רציונלי שלם, כגון ½, המייצג את השורש הריבועי. מאפיין זה קובע כי אם אותו שורש מוחל על שני הצדדים של שוויון (בכל מקום אפשרי), השוויון נשמר.

שלא כמו המקרה הקודם, כאן אתה חייב להיות זהיר עם זוגיות של השורש כי הוא הולך להיות מיושם, שכן ידוע כי שורש אפילו של מספר שלילי אינו מוגדר היטב.

במקרה שהרדיקלי הוא אפילו, אין בעיה. לדוגמה, אם x³= 8, למרות שזה שוויון, אתה לא יכול ליישם שורש ריבועי משני הצדדים, למשל. עם זאת, אם אתה יכול ליישם שורש מעוקב (וזה אפילו נוח יותר אם אתה רוצה לדעת במפורש את הערך של x), השגת כי x = -2.

הפניות

1. Aylwin, C. U. (2011). לוגיקה, סטים ומספרים. מרידה - ונצואלה: מועצת הפרסומים, אוניברסיטת לוס אנדס.
2. ג'ימנז, ג ', רופריגז, מ', & אסטרדה, ר '(2005). מתמטיקה 1 SEP. סף.
3. לירה, מ 'ל. (1994). סיימון ומתמטיקה: מתמטיקה טקסט עבור השנה הבסיסית השנייה: סטודנט של הספר. אנדרס בלו.
4. Preciado, C. T. (2005). קורס מתמטיקה 3 א. עריכה Progreso.
5. סגוביה, ב 'ר' (2012). פעילויות מתמטיות ומשחקים עם מיגל ולוסייה. Baldomero רוביו סגוביה.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). קורס 2 במתמטיקה. עריכה Progreso.