מוצר קרוס נכסים, יישומים תרגילים לפתור

ה קרוס או מוצר וקטור זוהי דרך להכפיל שניים או יותר וקטורים. ישנן שלוש דרכים כדי להכפיל את וקטורים, אבל אף אחד מהם הוא כפל במובן הרגיל של המילה. אחת מהצורות האלה ידועה כמוצר וקטורי, אשר גורם לווקטור שלישי.

המוצר הווקטורי, הנקרא גם מוצר צולב או מוצר חיצוני, בעל מאפיינים אלגבריים וגיאומטריים שונים. מאפיינים אלה הם מאוד שימושי, במיוחד בחקר הפיזיקה.

אינדקס

• 1 הגדרה
• 2 מאפיינים
  • 2.1 רכוש 1
  • 2.2 רכוש 2
  • 2.3 רכוש 3
  • 2.4 נכס 4 (מוצר סקלרי משולש)
  • 2.5 נכס 5 (מוצר וקטור משולש)
  • 2.6 רכוש 6
  • 2.7 נכס 7
  • 2.8 רכוש 8
• 3 יישומים
  • 3.1 חישוב נפח של מקביל
• 4 תרגילים נפתרו
  • 4.1 מימוש 1
  • 4.2 תרגיל 2
• 5 הפניות

הגדרה

הגדרה פורמלית של מוצר הווקטור היא כדלקמן: אם A = a1, a2, a3 ו- B = (b1, b2, b3) הם וקטורים, אזי המוצר הווקטורי של A ו- B, שאותו אנו מציינים כ- AxB, הוא:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

בשל סימון ה- Axb, הוא קורא כ"צלוב B ".

דוגמה לשימוש במוצר החיצוני היא שאם A = (1, 2, 3) ו- B = (3, -2, 4) הם וקטורים, ולאחר מכן באמצעות ההגדרה של מוצר וקטור שיש לנו:

(1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

Axb = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

דרך נוספת להביע את המוצר הווקטורי ניתנת על ידי הסימון דטרמיננטים.

חישוב קביעה מסדר שני ניתן על ידי:

לכן, הנוסחה של המוצר וקטור נתון בהגדרה ניתן לשכתב את הדברים הבאים:

זה בדרך כלל פשוט יותר בקביעת הסדר השלישי כדלקמן:

איפה אני, j, k מייצגים את וקטורים המהווים את הבסיס של R³.

באמצעות דרך זו של הבעת המוצר הצולב, יש לנו את הדוגמה הקודמת ניתן לשכתב כמו:

מאפיינים

כמה מאפיינים שיש למוצר הווקטורי הם:

נכס 1

אם A הוא כל וקטור ב R³, אנחנו חייבים:

- Axa = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

מאפיינים אלה קל לבדוק באמצעות ההגדרה בלבד. אם A = (a1, a2, a3) עלינו:

אקסה = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

0 (0, 0, 0) = 0 (0, 0, 0)..

אם i, j, k מייצג את בסיס היחידה של R³, אנו יכולים לכתוב אותם כך:

i = (0, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

לאחר מכן, עלינו למלא את המאפיינים הבאים:

כמנהל זיכרון, כדי לזכור את המאפיינים האלה המעגל הבא משמש בדרך כלל:

יש לציין כי כל וקטור עם עצמו תוצאות וקטור 0, ושאר המוצרים ניתן להשיג עם הכלל הבא:

המוצר הצולב של שני וקטורים עוקבים בכיוון השעון נותן את הווקטור הבא; וכאשר בוחנים את כיוון השעון, התוצאה היא וקטור הבא עם סימן שלילי.

הודות למאפיינים אלה אנו יכולים לראות שהמוצר הווקטורי אינו חלופי; לדוגמה, זה מספיק כדי להבחין כי אני x ≠ j x x. המאפיין הבא מספר לנו איך Excel ו- BxA מתייחסים באופן כללי.

נכס 2

אם A ו- B הם R וקטורים³, אנחנו חייבים:

AxB = - (BxA).

הפגנה

אם A = (a1, a2, a3) ו- B = (b1, b2, b3), בהגדרת המוצר החיצוני יש לנו:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (A3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

אנו יכולים גם לראות כי מוצר זה אינו אסוציאטיבי עם הדוגמה הבאה:

ix (ixj) = ixk = - j אבל (ixi) xj = 0xj = 0

מכאן אנו יכולים להבחין כי:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

נכס 3

אם A, B, C הם R וקטורים³ ו r הוא מספר אמיתי, את הדברים הבאים נכון:

- גרזן (B + C) = Axb + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Axe (rB)

בזכות מאפיינים אלה אנו יכולים לחשב את המוצר וקטור באמצעות חוקי אלגברה, ובלבד הסדר מכובד. לדוגמה:

אם A = (1, 2, 3) ו- B = (3, -2, 4), אנו יכולים לשכתב אותם בהתבסס על הבסיס הקנוני של R³.

לכן, A = i + 2 + 3k ו- B = 3i - 2 + 4k. לאחר מכן, החלת המאפיינים הקודמים:

Axb = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (IXI) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (JXK) + 9 (kxi) - 6 (kxj) 12 (kxk)

0 (+) (+) (+) + 6 (+) (+) (+)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

נכס 4 (מוצר סקלרי משולש)

כפי שהזכרנו בהתחלה, ישנן דרכים אחרות כדי להכפיל וקטורים מלבד המוצר וקטור. אחת הדרכים האלה היא המוצר הסקלרי או המוצר הפנימי, הנקרא A ∙ B ואשר הגדרתו היא:

אם A = a1, a2, a3 ו- B = (b1, b2, b3), אז A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

הנכס שמתייחס לשני המוצרים ידוע כמוצר סקלר משולש.

אם A, B ו- C הם R וקטורים³, ואז A ∙ BxC = AxB ∙ C

לדוגמה, נניח זאת, בהתחשב ב- A = (1, 1, - 2), B = (3, 4, 2) ו- C = (- 5, 1, - 4), נכס זה מתקיים.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = 18i - 22j + 17k

B (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

מאידך גיסא:

אקסב = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

0 (+) 5 (+) (4) (4) (4) (4) (1)

מוצר משולש נוסף הוא Axe (BxC), הידוע בשם מוצר וקטור משולש.

נכס 5 (מוצר וקטור משולש)

אם A, B ו- C הם R וקטורים³,  אז:

Axe (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

לדוגמה, נניח זאת, בהתחשב ב- A = (1, 1, - 2), B = (3, 4, 2) ו- C = (- 5, 1, - 4), נכס זה מתקיים.

מן הדוגמה הקודמת אנו יודעים כי BxC = (- 18, - 22, 17). בואו לחשב את Axe (BxC):

Axe (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

מצד שני, עלינו:

A (+, 1, - 2) ∙) 5 (, 1, - 4) =) 1 (- +) 1 () 1 (+) - 2 () - 4 1 + 8 = 4

A) 1 (, 1, - 2 (∙) 3 (, 4, 2) 1 (-) 3 (+) 1 () 4 (+) 2 () 2 4 = - 3

אז, אנחנו צריכים:

(- A, B, A) C (4 - 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (12, 16, 8) + (- - 12) = (- 27,19, -4)

נכס 6

זהו אחד המאפיינים הגיאומטריים של וקטורים. אם A ו- B הם שני וקטורים ב R³ ו Θ היא זווית שנוצר בין אלה, ולאחר מכן:

|| AxB || | | ||| | ||| ב | חטא (Θ), כאשר || ∙ || מציין את המודול או את גודל הווקטור.

הפרשנות הגיאומטרית של נכס זה היא כדלקמן:

תן A = PR ו- B = PQ. ואז, הזווית שנוצרה על ידי וקטורים A ו- B היא זווית P של המשולש RQP, כפי שמוצג באיור הבא.

לכן, השטח של מקבילית עם הצדדים הסמוכים PR ו- PQ הוא || A |||| B || חטא (Θ), שכן אנחנו יכולים לקחת כבסיס || ואת גובהו ניתן על ידי || B | חטא (Θ).

בגלל זה, אנו יכולים להסיק כי || AxB || הוא השטח של המקבילה המקבילה.

דוגמה

בהינתן הקודקודים הבאים של P מרובע (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) ו- S (5,7, -3), מראים כי רביעית הוא מקבילית ולמצוא את השטח שלה.

בשביל זה אנחנו הראשונים לקבוע את וקטורים הקובעים את הכיוון של הצדדים של מרובע. זהו:

A = PQ = (1, 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5, 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

כפי שאנו יכולים לצפות A ו- C יש מנהל וקטור אותו, שעבורו יש לנו כי שניהם מקבילים; באותו אופן זה קורה עם B ו- D. לכן, אנו מסיקים כי PQRS הוא מקבילית.

כדי לקבל את האזור של המקבילה מקבילית, אנו מחשבים BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

לכן, אזור הריבוע יהיה:

| | BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

ניתן להסיק כי אזור מקבילית יהיה השורש הריבועי של 89.

נכס 7

שני וקטורים A ו- B מקבילים ב- R³ כן ורק אם אקסב = 0

הפגנה

ברור כי אם A או B הם וקטור ריק, זה עוקב כי AxB = 0. מאז וקטור אפס מקביל לכל וקטור אחר, אז הנכס תקף.

אם אף אחד משני הווקטורים הוא וקטור אפס, יש לנו כי הגודל שלהם שונים מאפס; כלומר, הן | | A | ≠ 0 כמו | | ב | ≠ 0, כך נצטרך | | AxB || = 0 אם ורק אם החטא (Θ) = 0, וזה קורה אם ורק אם Θ = π או Θ = 0.

לכן, אנו יכולים להסיק AxB = 0 אם ורק אם Θ = π או Θ = 0, אשר קורה רק כאשר שני וקטורים מקבילים זה לזה.

נכס 8

אם A ו- B הם שני וקטורים ב R³, אז AxB הוא מאונך לשני A ו- B.

הפגנה

להדגמה זו, זכור כי שני וקטורים הם בניצב אם A ∙ B שווה לאפס. בנוסף, אנו יודעים כי:

A axb = Axa ∙ B, אבל Axa שווה 0. לכן, עלינו:

A Ax 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.

על ידי כך ניתן להסיק כי A ו - Axb הם בניצב זה לזה. באופן דומה, עלינו:

AxB ∙ B = A BxB ∙.

כמו BxB = 0, אנחנו צריכים:

אקסב ∙ B = A ∙ 0 = 0.

לכן, Axb ו- B הם בניצב זה לזה, ועם זה הנכס הוא הפגינו. זה מאוד שימושי, שכן הם מאפשרים לנו לקבוע את המשוואה של המטוס.

דוגמה 1

השגת משוואה של המטוס העובר בנקודות P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ו- R (2, 1, 3).

תן = = = 2 = 3 + 2, 3 - 2) ו - B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). לאחר מכן A = - i + 3 + k ו- B = i - 2j + k. כדי למצוא את המטוס שנוצר על ידי שלוש נקודות זה מספיק כדי למצוא וקטור כי הוא נורמלי למטוס, שהוא Axb.

(+ I + 2 k +) = 5 + i + 2 - k.

עם וקטור זה, ולקחת את הנקודה P (1, 3, 2), אנו יכולים לקבוע את המשוואה של המטוס כדלקמן:

(1 - 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

אז, יש לנו את המשוואה של המטוס הוא 5x + 2y - z - 9 = 0.

דוגמה 2

מצא את המשוואה של המטוס המכיל את הנקודה P (4, 0, - 2), והיא ניצבית לכל אחד מהמטוסים x - y + z = 0 ו- 2x + y - 4z - 5 = 0 .

בידיעה כי וקטור רגיל לגרזן המטוס + על ידי + cz + d = 0 הוא (a, b, c), יש לנו כי (1, -1,1) הוא וקטור רגיל של x - y + z = 0 y 2.1, - 4) הוא וקטור רגיל של 2x + y - 4z - 5 = 0.

לכן, וקטור רגיל למטוס המבוקש חייב להיות מאונך (1, -1,1) ו- (2, 1, - 4). וקטור אמר:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

לאחר מכן, יש לנו כי המטוס ביקש הוא זה המכיל את נקודת P (4,0, - 2) ויש לו את וקטור (3,6,3) כמו וקטור רגיל.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

יישומים

חישוב נפח של מקביל

יישום שיש לו את המוצר scalar משולשת היא להיות מסוגל לחשב את נפח של מקבילות אשר הקצוות ניתנים על ידי וקטורים A, B ו- C, כפי שמוצג בתרשים:

אנו יכולים להסיק את יישום זה באופן הבא: כפי שאמרנו בעבר, וקטור AxB הוא וקטור כי הוא נורמלי המטוס של A ו- B. יש לנו גם כי וקטור - (AxB) הוא עוד וקטור נורמלי המטוס אמר.

אנו בוחרים את הווקטור הרגיל היוצר את הזווית הקטנה ביותר עם הווקטור C; ללא אובדן של הכלליות, תן AxB להיות וקטור שזוויתו עם C הוא הקטן ביותר.

יש לנו גם אקסב ו- C יש נקודת ההתחלה זהה. בנוסף, אנו יודעים כי השטח של מקבילית אשר מהווה את הבסיס של מקביל הוא || AxB || לכן, אם גובה של paralleleipiped ניתנת על ידי ח, יש לנו כי נפח יהיה:

V = || AxB || ח.

מצד שני, שקול את המוצר scalar בין Axb ו- C, אשר ניתן לתאר כדלקמן:

עם זאת, על ידי תכונות טריגונומטריות יש לנו כי h = || C || cos (Θ), אז אנחנו צריכים:

בדרך זו, עלינו:

באופן כללי, יש לנו כי נפח של מקביל נתפס על ידי הערך המוחלט של המוצר סקלר משולש AxB ∙ C.

תרגילים נפתרים

תרגיל 1

בהינתן הנקודות P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ו- S = (2, 6, 9), נקודות אלה מקובלות על מקביליהן הם PQ, PR ו PS. לקבוע את עוצמת הקול של המקבילה מקביל.

פתרון

אם ניקח:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

באמצעות המאפיין של המוצר סקלר משולשת, אנחנו צריכים:

Axb = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

C C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

לכן, יש לנו כי נפח של המקבילה מקביל הוא 52.

תרגיל 2

קביעת עוצמת הקול של מקבילות קצוות אשר הקצוות שלהם ניתנים על ידי A = PQ, B = PR ו- C = PS, כאשר הנקודות P, Q, R ו- S הן (1, 3, 4), (3, 5, 3) (2, 1, 6) ו (2, 2, 5), בהתאמה.

פתרון

תחילה יש לנו A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

אנו מחשבים את ה- Axb = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

לאחר מכן אנו מחשבים את AxB ∙ C:

(1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

לכן אנו מסיקים כי נפח של המקבילה מקביל הוא 1 יחידה מעוקב.

הפניות

1. Leithold, L. (1992). חישוב עם גיאומטריה אנליטית. HARLA, S.A.
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). פיזיקה כרך א '. מקסיקו: קונטיננטל.
3. Saenz, J. (s.f.). חישוב וקטור 1 T. Hypotenuse.
4. שפיגל, מ. ר '(2011). ניתוח וקטור 2. מק גרב היל.
5. זיל, ד 'ג', & רייט, W. (2011). חישוב משתנים שונים 4. מק גרב היל.