מאפיינים מקבילים, סוגי, שטח, נפח

א מקביל הוא גוף גיאומטרי שנוצר על ידי שישה פרצופים, אשר המאפיין העיקרי שלהם הוא כי כל פניהם מקבילים, וגם הפנים הפוכות שלהם מקבילים זה לזה. זהו פוליאדרון נפוץ בחיי היומיום שלנו, שכן אנו מוצאים אותו בקופסאות נעליים, בצורת לבנים, צורת מיקרוגל, וכו '..

בהיותו פוליהדרון, ההקבלה מצמידה נפח סופי וכל פניה שטוחים. זהו חלק מקבוצת המנסרות, שהן הפולידהרה שבה כל קודקודיהן מכילות שני מישורים מקבילים.

אינדקס

• 1 אלמנטים של מקביל
  • 1.1 פנים
  • 1.2 קצוות
  • 1.3 ורטקס
  • 1.4 אלכסוני
  • 1.5 מרכז
• 2 מאפיינים של מקביל
• 3 סוגים
  • 3.1 חישוב באלכסון
• 4 שטח
  • 4.1 שטח של אורתודרון
  • 4.2 שטח קובייה
  • 4.3 שטח של זחל
  • 4.4 שטח של מעוין
• 5 נפח של מקביל
  • 5.1 מושלם מקביל
• 6 ביבליוגרפיה

אלמנטים של מקביל

פנים

הם כל אחד האזורים שנוצרו על ידי מקבילים שמגבילים את מקביל. מקביל יש שישה פרצופים, שבו כל פנים יש ארבעה פרצופים סמוכים אחד מול. בנוסף, כל צד מקביל להיפך.

קצוות

הם הצד המשותף של שני פרצופים. בסך הכל מקביל יש שנים עשר קצוות.

ורטקס

זוהי הנקודה המשותפת של שלושה פרצופים הסמוכים זה לזה שניים לשניים. מקביל יש שמונה קודקודים.

אלכסוני

בהינתן שני צדדים מנוגדים של מקביל, ניתן לצייר קטע מקטע הקודקוד של פנים אל קודקוד ההפך של האחר.

קטע זה ידוע בשם האלכסון של parallelepiped. לכל מקביל יש ארבעה אלכסונים.

מרכז העיר

זוהי הנקודה שבה כל אלכסונים מצטלבים.

מאפיינים של מקביל

כפי שציינו, גוף גיאומטרי זה יש שנים עשר קצוות, שישה פרצופים ושמונה קודקודים.

ב parallelepiped אתה יכול לזהות שלוש קבוצות שנוצרו על ידי ארבעה קצוות, אשר מקבילים זה לזה. בנוסף, הקצוות של ערכות אלה גם למלא את הנכס של בעל אורך זהה.

מאפיין נוסף שיש לו מקביל הוא שהם קמור, כלומר, אם ניקח כל זוג נקודות המשתייכות הפנים של מקביל, קטע שנקבע על ידי זוג נקודות יהיה גם בתוך מקביל..

בנוסף, parallelepipeds להיות קמור polyhedra לציית אוילר של משפט polyhedra, אשר נותן לנו קשר בין מספר פרצופים, מספר הקצוות ואת מספר הקודקודים. מערכת יחסים זו ניתנת בצורה של המשוואה הבאה:

C + V = A + 2

תכונה זו ידועה כמאפיין של אוילר.

כאשר C הוא מספר פרצופים, V מספר הקודקודים ו- A את מספר הקצוות.

סוגים

אנו יכולים לסווג מקבילות על פי פרצופיהם, בסוגים הבאים:

אורטופדי

הם מקבילים שבהם פניהם נוצרות על ידי שישה מלבנים. כל מלבן הוא בניצב עם אלה שהוא קצה הקצה. הם הנפוצים ביותר בחיי היומיום שלנו להיות זה בדרך הרגילה של תיבות נעליים לבנים.

קובייה או קסדה רגילה

זהו מקרה מסוים של הקודם, שבו כל אחד מהפרצופים הוא ריבוע.

הקובייה היא גם חלק מהגופים הגיאומטריים הנקראים מוצקים אפלטוניים. מוצק אפלטוני הוא פוליאתרון קמור, כך ששניהם ופניו הפנימיים שווים זה לזה.

Romboedro

זה מקביל עם יהלומים על פניו. יהלומים אלה כולם שווים זה לזה, כאשר הם חולקים קצוות.

Romboiedro

ששת פרצופה הם מעוינים. נזכיר כי מעוין הוא מצולע עם ארבעה צדדים וארבעה זוויות שווים שתיים עד שתיים. הרומבונים הם מקבילים שאינם ריבועים, ולא מלבנים, ולא מעוינים.

מאידך גיסא, המקבילות העקומות הן אלה שבהן גובה אחד לפחות אינו מסכים עם קצהו. בסיווג זה אנו יכולים לכלול את הרומבו-דונים והרומבי-דונים.

חישוב אלכסוני

כדי לחשב את האלכסון של אורת'דרון אנו יכולים להשתמש משפט Pythagorean עבור R³.

נזכיר כי אורתודרון יש את המאפיין כי כל צד הוא ניצב עם הצדדים כי קצה משותף. מתוך עובדה זו אנו יכולים להסיק כי כל קצה הוא ניצב עם אלה חולקים קודקוד.

כדי לחשב את אורך האלכסון של אורת'דרון אנו ממשיכים כדלקמן:

1. אנחנו מחשבים את האלכסון של אחד הפרצופים, שאותם נשים כבסיס. לשם כך אנו משתמשים במשפט פיתגורס. שם זה אלכסוני d_.ב.

2. ואז עם ד_.ב אנו יכולים ליצור משולש ימין חדש, כך hypotenuse של המשולש אמר הוא D אלכסוני חיפש.

3. אנו משתמשים שוב משפט Pythagorean ויש לנו את אורך אמר אלכסונית היא:

דרך נוספת לחשב באלכסון בצורה גרפית יותר היא עם סכום של וקטורים חופשיים.

נזכיר כי שני וקטורים חינם A ו- B מתווספים על ידי הנחת זנב וקטור B עם קצה וקטור א.

הווקטור (A + B) הוא זה שמתחיל בזנב A ומסתיים בקצה B.

חשבו על מקביל שאנו רוצים לחשב אלכסון.

אנו מזהים קצוות עם וקטורים בכיוון נוח.

לאחר מכן אנו מוסיפים את הווקטורים האלה והוקטור המתקבל יהיה האלכסון של המקביל.

אזור

השטח של מקביל הוא נתון על ידי סכום של כל אחד משטחי הפנים שלהם.

אם נקבע אחד הצדדים כבסיס,

א_L + 2 א_ב סה"כ שטח

איפה א_L שווה לסך השטחים של כל הצדדים הסמוכים לבסיס, הנקראים אזור לרוחב A_ב הוא אזור הבסיס.

בהתאם לסוג של parallelepiped שבה אנו עובדים אנו יכולים לשכתב נוסחה אמר.

שטח של אורתודרון

זה נתון על ידי הנוסחה

A = 2 (ab + bc + ca).

דוגמה 1

בהתחשב אורתודרון הבא, עם הצדדים = 6 ס"מ, b = 8 ס"מ ו C = 10 ס"מ, לחשב את השטח של מקבילים ואת אורך האלכסון שלה.

באמצעות הנוסחה עבור שטח של אורת'דרון אנחנו צריכים

A = 2 [6] (8) + (8) (10) + (10) (6)] = [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 ס"מ².

שים לב, כי זה הוא ortohedron, אורך של כל ארבעת האלכסון שלו הוא זהה.

באמצעות משפט Pythagorean עבור שטח אנחנו צריכים

D = (6)² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

שטח של קובייה

מכיוון שלכל קצה יש אורך זהה, יש לנו = b ו- a = c. החלפת הנוסחה הקודמת יש לנו

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6 א²

A = 6 א²

דוגמה 2

הקופסה של קונסולת משחקים יש צורה של קובייה. אם אנחנו רוצים לעטוף את התיבה עם נייר מתנה, כמה נייר היינו מבלים בידיעה כי אורך הקצוות של הקוביה הם 45 ס"מ?

באמצעות הנוסחה של אזור הקוביה אנו מקבלים את זה

A = 6 (45 ס"מ)² = 6 (2025 ס"מ)²= 12150 ס"מ²

שטח של זחל

מכיוון שכל הפנים שלהם שווים, די לחשב את השטח של אחד מהם ולהכפיל אותו בשש.

אנחנו יכולים לחשב את השטח של היהלום באמצעות האלכסון שלה עם הנוסחה הבאה

א_R = (Dd) / 2

באמצעות נוסחה זו נובע כי השטח הכולל של rhombohedron הוא

א_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

דוגמה 3

פניהם של הזמבים הבאים נוצרו על ידי מעוין שהאלכסון שלו הוא D = 7 ס"מ ו- d = 4 ס"מ. האזור שלך יהיה

A = 3 (7 ס"מ) (4 ס"מ) = 84 ס"מ².

שטח של מעוין

כדי לחשב את השטח של רומב עלינו לחשב את שטח של מעוינים להלחין אותו. מאז parallelepipeds לציית לנכס כי הצדדים הנגדיים יש את אותו אזור, אנחנו יכולים לקשר את הצדדים בשלושה זוגות.

בדרך זו יש לנו כי האזור שלך יהיה

א_T = 2b₁ח₁ + 2 ב₂ח₂ + 2 ב₃ח₃

איפה ב_i הם הבסיסים הקשורים הצדדים ואת_i גובהה היחסי המקביל לבסיסים האמורים.

דוגמה 4

חשבו על המקביל הבא,

שבו הצד A והצד A '(הצד הנגדי) יש כבסיס b = 10 וגובה h = 6. האזור המסומן יהיה בעל ערך של

א₁ = 2 (10) (6) = 120

B ו- B 'יש b = 4 ו- h = 6, לאחר מכן

א₂ = 2 (4) (6) = 48

ו- C ו- C 'יש b = 10 ו- h = 5, כך

א₃ = 2 (10) (5) = 100

לבסוף השטח של הזמבי הוא

A = 120 + 48 + 100 = 268.

נפח של מקביל

הנוסחה שנותנת לנו את עוצמת הקול של מקבילות היא התוצר של השטח של אחד מפניה על ידי גובה המתאים הפנים אמר.

V = A_גח_ג

בהתאם לסוג הנוסחה אמר parallelepiped ניתן לפשט.

אז יש לנו למשל את נפח של אורתודרון יהיה נתון על ידי

V = abc.

כאשר a, b ו- c מייצגים את אורך הקצוות של האורתודרון.

ובמקרה מסוים של הקוביה הוא

V = a³

דוגמה 1

ישנם שלושה דגמים שונים עבור תיבות של קובצי cookie וברצונך לדעת באילו דגמים אלה ניתן לאחסן קובצי cookie נוספים, כלומר, באילו מהקופסאות יש את עוצמת הקול הגבוהה ביותר.

הראשון הוא קובייה אשר קצה שלה יש אורך של 10 ס"מ

הכרך שלו יהיה V = 1000 ס"מ³

השני יש קצוות b = 17 ס"מ, C = 5 ס"מ, d = 9 ס"מ

ולכן נפח שלו הוא = 765 ס"מ³

והשלישית יש e = 9 ס"מ, F = 9 ס"מ ו- G = 13 ס"מ

והנפח שלו הוא V = 1053 ס"מ³

לכן, את הקופסה עם נפח הגדול ביותר הוא השלישי.

שיטה נוספת כדי להשיג את עוצמת הקול של parallelepiped היא לפנות אלגברה וקטורית. בפרט, את המוצר משולש scalar.

אחד הפרשנויות הגאומטריות שיש להן את המוצר הסקלרי המשולש הוא נפח של מקביל, שקצוותיו הם שלושה וקטורים החולקים את אותו קודקוד כנקודת מוצא.

בדרך זו, אם יש לנו מקביל ואנחנו רוצים לדעת מה נפח, זה מספיק כדי לייצג אותו במערכת קואורדינטות ב R³ התאמת אחד הקודקודים שלה עם המקור.

אז אנחנו מייצגים את הקצוות כי מסכימים במקור עם וקטורים כפי שמוצג בתרשים.

ובדרך זו יש לנו את נפח האמור לעיל מקביל ניתנה על ידי

אשר 49 AxB ∙ C |

או באופן שווה את נפח הוא הקובע של המטריצה ​​3 × 3, שנוצר על ידי הרכיבים של וקטורים קצה.

דוגמה 2

על ידי ייצוג מקביל הבא ב R³ אנו יכולים לראות כי וקטורים שקובעים את זה הם הבאים

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) ו- w = (-0.25, -4, 4)

באמצעות מוצר משולש scalar יש לנו

אשר 49 (uxv) ∙ w

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(0, 0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

מכאן אנו מסיקים כי V = 60

עכשיו לשקול את parallelepipiped הבאים R3 אשר הקצוות נקבעים על ידי וקטורים

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ו- C = (3, 4, 4)

השימוש בדטרמיננטים נותן לנו את זה

אז יש לנו כי נפח של המקבילה מקביל הוא 112.

שתיהן דרכים שקולות לחישוב עוצמת הקול.

מושלם מקביל

זה ידוע בשם אוילר של לבנים (או אוילר של בלוק) כדי אורתודרון כי ממלא את הנכס, כי הן אורך הקצוות שלה ואת אורך של אלכסונים של כל אחד מהפנים שלה הם מספרים שלמים.

בעוד אוילר לא היה המדען הראשון שחקר את האורתודרונות שעמדו באותו נכס, הוא מצא תוצאות מעניינות לגביו.

לבנים אוילר קטן התגלה על ידי פול Halcke ואת אורכי הקצוות שלה הם = 44, b = 117 ו c = 240.

בעיה פתוחה בתורת המספרים היא כדלקמן

האם יש אורתודרונות מושלמים?

בשלב זה לא ניתן היה לענות על שאלה זו, שכן לא ניתן היה להוכיח כי גופים אלה אינם קיימים, אך לא נמצאה אף אחת מהן.

מה שהוכח עד כה הוא שקיים מקביל מושלם. לגילוי הראשון יש את אורך הקצוות הערכים 103, 106 ו -271.

ביבליוגרפיה

1. גיא, ר '(1981). בעיות לא פתורות בתורת המספרים. שפרינגר.
2. Landaverde, F. d. (1997). גיאומטריה. התקדמות.
3. Leithold, L. (1992). חישוב עם גיאומטריה אנליטית. HARLA, S.A.
4. רנדון, א. (2004). ציור טכני: חוברת עבודה 3 Baccalaureate 2 . טבר.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). פיזיקה כרך א '. מקסיקו: קונטיננטל.