חלקי שברים מקרים ודוגמאות

ה שברים חלקיים הם שברים שנוצרו על ידי פולינומים, שבהם המכנה יכול להיות פולינום ליניארי או ריבועי, בנוסף, ניתן להעלות לכוח כלשהו. לפעמים, כאשר יש לנו פונקציות רציונליות זה מאוד שימושי לשכתב את הפונקציה הזו כסכום של שברים חלקי או שברים פשוטים.

זאת משום שבדרך זו אנו יכולים לתפעל פונקציות אלה בצורה טובה יותר, במיוחד במקרים בהם יש צורך לשלב את היישום. פונקציה רציונלית היא פשוט מנה בין שני פולינומים, ויכולה להיות נכונה או לא נכונה.

אם מידת הפולינום של המונה קטנה מהמכנה, היא נקראת פונקציה רציונלית משלה; אחרת, הוא ידוע כפונקציה רציונלית לא נכונה.

אינדקס

• 1 הגדרה
• 2 מקרים
  • 2.1 מקרה 1
  • 2.2 מקרה 2
  • 2.3 מקרה 3
  • 2.4 מקרה 4
• 3 יישומים
  • 3.1 חישוב מקיף
  • 3.2 חוק פעולה המונית
  • 3.3 משוואות דיפרנציאליות: משוואה לוגיסטית
• 4 הפניות

הגדרה

כאשר יש לנו פונקציה רציונלית פסולה, אנו יכולים לחלק את מונה פולינום ידי פולינום המכנה ובכך לשכתב את השבר p (x) / q (x) בעקבות האלגוריתם החלוק כפי t (x) + s (x) / q (x), כאשר t (x) היא של פולינום (x) / q (x) הוא פונקציה רציונאלית ראויה.

חלק חלקי הוא כל פונקציה נכונה של פולינומים, המכנה שלהם הוא של הטופס (ax + b)ⁿ o (גרזן²+ bx + c)ⁿ, אם הגרף הפולינומי² + bx + c אין שורשים אמיתיים ו- n הוא מספר טבעי.

כדי לשכתב פונקציה רציונלית בחלקים שברים, הדבר הראשון שיש לעשות הוא לגרום למכנה q (x) כתוצר של גורמים לינאריים ו / או ריבועיים. עם זאת, נקבעים שברים חלקיים, התלויים באופי הגורמים האמורים.

תיקים

אנו מתייחסים למספר מקרים בנפרד.

מקרה 1

הגורמים q (x) הם כולם ליניאריים ואף אחד לא חזר על עצמו. כלומר:

q (x) = (a₁x + b₁) (א)₂x + b₂) ... (א)_sx + b_s)

אין גורם לינארי זהה לזה. כאשר מתרחש מקרה זה נכתוב:

p (x) / q (x) = A₁/ (א₁x + b₁) + A₂/ (א₂x + b₂) ... + A_s/ (א_sx + b_s).

איפה א₁,א₂,..., א_s הם הקבועים שברצונך למצוא.

דוגמה

אנו רוצים לפרק את התפקוד הרציונלי לשברים פשוטים:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

אנו ממשיכים למקם את המכנה, כלומר:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

ואז:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x + 1) x + 1 (x + 1) x + 1 (x + 1)

החלת מספר נפוץ לפחות, ניתן להשיג את זה:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

אנחנו רוצים לקבל את הערכים של הקבועים A, B ו- C, אשר ניתן למצוא על ידי החלפת השורשים לבטל כל אחד מהמונחים. החלפת 0 עבור x יש לנו:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2 א

A = - 1/2.

תחליף - 1 עבור x יש לנו:

- 1 - 1 = A (+ 1 + 1) (+ 1 + 2) + B (+ 1) 2 (- 1) + C (1 + 1) (1).

- 2 = - ב

B = 2.

החלפת - 2 עבור x יש לנו:

- 2 - 1 = A (+ 2 + 1) (+ 2 + 2) + B (2 + 2) (- 2) + C (+ 2) 1 (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

בדרך זו מתקבלים הערכים A = -2 / 2, B = 2 ו- C = -3/2..

יש שיטה נוספת להשיג את הערכים של A, B ו- C. אם בצד ימין של המשוואה x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x אנו משלבים מונחים, יש לנו:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

כפי שזה שוויון של פולינומים, יש לנו כי המקדמים של הצד השמאלי חייב להיות שווה לאלה של הצד הנכון. התוצאה היא המערכת הבאה של משוואות:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = 1

כאשר אנו פותרים את מערכת המשוואות הזו, אנו משיגים את התוצאות A = -1/2, B = 2 ו- C = -3/2.

לבסוף, החלפת ערכים שהתקבלו עלינו:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = 1 / (2x) + 2 (x + 1) - 3 / (2 x + 2).

מקרה 2

גורמי q (x) הם כולם לינאריים וחלקם חוזרים על עצמם. נניח כי (גרזן + ב) הוא גורם כי הוא חזר פעמים "; לאחר מכן, גורם זה מתאים את הסכום של "שברים" חלקי.

א_s/ (גרזן + ב)^s + א_s-1/ (גרזן + ב)^s-1 +... + A₁/ (גרזן + ב).

איפה א_s,א_s-1,..., א₁ הם הקבועים שייקבעו. בדוגמה הבאה נציג כיצד לקבוע את הקבועים.

דוגמה

לפרק לשברים חלקיים:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

אנו כותבים את הפונקציה הרציונלית כסכום של שברים חלקיים כדלקמן:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / x - 2)² + E / (x - 2).

ואז:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

החלפת 2 עבור x, עלינו:

7 = 4C, כלומר, C = 7/4.

החלפת 0 עבור x יש לנו:

- 1 = -8A או A = 1/8.

החלפת ערכים אלה במשוואה הקודמת ופיתוח, אנחנו צריכים:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +Dx³ - 2Dx² + לדוגמה,²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

על ידי התאמת המקדמים, אנו מקבלים את המערכת הבאה של משוואות:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

בפתרון המערכת, יש לנו:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

בגלל זה, אנחנו צריכים:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

מקרה 3

הגורמים q (x) הם ליניארי ריבועי, ללא כל גורם ריבועי חזר. במקרה זה גורם ריבועי (גרזן² + bx + c) מתאים לחלק החלקי (Ax + B) / (גרזן)² + bx + c), כאשר הקבועים A ו- B הם אלה שברצונך לקבוע.

הדוגמה הבאה מראה כיצד להמשיך במקרה זה

דוגמה

לפרק לשברים פשוטים (x + 1) / (x³ - 1).

תחילה אנו ממשיכים למכנה את המכנה, מה שנותן לנו תוצאה:

(x - 1) = (x - 1) (x + x 1).

אנו יכולים לראות זאת (x² + x + 1) הוא פולינום ריבועי שאינו ניתן לשינוי; כלומר, אין לה שורשים אמיתיים. הפירוק שלה לשברים חלקיים יהיה כדלקמן:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x 1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x 1)

מכאן אנו מקבלים את המשוואה הבאה:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

באמצעות שוויון של פולינומים, אנו מקבלים את המערכת הבאה:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

ממערכת זו יש לנו = 2/3, B = - 2/3 ו- C = 1/3. החלפת, אנחנו צריכים:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x 1).

מקרה 4

לבסוף, מקרה 4 הוא אחד שבו גורמי q (x) הם ליניאריים ורבעוניים, שבהם חוזרים על חלק מהגורמים הריבועיים הליניאריים.

במקרה זה, כן (גרזן² + bx + c) הוא גורם ריבועי כי הוא חזר פעמים ", ואז החלק החלקי המקביל לגורם (גרזן)² + bx + c) יהיה:

(א₁x + B) / (גרזן² + bx + c) + + + (A_s-1x + B_s-1) / (גרזן)² + bx + c)^s-1 + (א_sx + B_s) / (גרזן)² + bx + c)^s

איפה א_s, א_s-1,..., A ו- B_s, ב_s-1,..., B הם קבועים שאתה רוצה לקבוע.

דוגמה

אנחנו רוצים לפרק את הפונקציה הרציונלית הבאה לשברים חלקיים:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

כמו x² - 4x + 5 הוא גורם ריבועי בלתי הפיך, יש לנו כי הפירוק שלה לחלקיקים חלקי ניתנת על ידי:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

לפשט ולפתח, יש לנו:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

מן האמור לעיל יש לנו את המערכת הבאה של משוואות:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

בעת פתרון המערכת, עלינו:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ו- E = - 3/5.

כאשר מחליפים את הערכים שהתקבלו יש לנו:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

יישומים

חישוב מקיף

החלקים החלקיים משמשים בעיקר ללימוד חשבון אינטגרלי. להלן נראה כמה דוגמאות כיצד לעשות אינטגרלים באמצעות שברים חלקי.

דוגמה 1

אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל של:

אנו יכולים לראות כי המכנה q (x) = (t + 2)²(t + 1) מורכב מגורמים ליניאריים שבהם אחד חוזר אלה; בשביל זה אנחנו במקרה 2.

אנחנו חייבים:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

אנו לשכתב את המשוואה ויש לנו:

1 + A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

אם t = 1, עלינו:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

אם t = 2, זה נותן לנו:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = 1

לאחר מכן, אם t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

החלפת ערכי A ו- C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

מן האמור לעיל יש לנו כי B = 1.

אנו משחזרים את האינטגרל כך:

אנו ממשיכים לפתור אותה בשיטת החלפה:

התוצאה היא:

דוגמה 2

פתרו את האינטגרל הבא:

במקרה זה אנו יכולים לגרום ל- q (x) = x² - 4 q (x) = (x - 2) (x + 2). ברור שאנחנו במקרה 1. לכן:

(X + 2) = A / (x - 2) + B (x + 2)

זה יכול גם לבוא לידי ביטוי:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

אם x = - 2, יש לנו:

- 12 = A (0) + B (4)

B = 3

ואם x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

לכן, אנחנו צריכים לפתור את אינטגרל נתון שווה לפתור:

זה נותן לנו כתוצאה מכך:

דוגמה 3

פתרו את האינטגרל:

יש לנו q (x) = 9x⁴ + x² , כי אנחנו יכולים גורם q (x) = x²(9x² + 1).

בהזדמנות זו יש לנו גורם ליניארי חוזר גורם ריבועי; כלומר, אנחנו במקרה 3.

אנחנו חייבים:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

קיבוץ ושימוש בשוויון של פולינומים, יש לנו:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

ממערכת משוואות זו עלינו:

D = 9 ו- C = 0

בדרך זו, יש לנו:

על ידי פתרון האמור לעיל, יש לנו:

חוק המונים

יישום מעניין של החלקים החלקיים המוחלים על חשבון אינטגרל נמצא בכימיה, ליתר דיוק בחוק של פעולה המונית.

נניח שיש לנו שני חומרים, A ו- B, אשר באים יחד ויוצרים חומר C, כך הנגזרת של כמות C ביחס לזמן הוא פרופורציונלי לתוצר של כמויות של A ו- B בכל רגע נתון.

אנו יכולים לבטא את חוק הפעולה המונית כדלקמן:

בביטוי זה α הוא הכמות הראשונית של גרם המקביל ל- A β והכמות הראשונית של גרם המקביל ל- B.

בנוסף, R ו- s מייצגים את מספר הגרמים של A ו- B בהתאמה, המשלבים צורה של גרם + גרם של C. C. מצידה, x מייצג את מספר גרם החומר C בזמן t, ו- K הוא קבוע של מידתיות. המשוואה לעיל ניתן לשכתב כמו:

ביצוע השינוי הבא:

יש לנו את המשוואה הופך:

מהביטוי הזה אנו יכולים להשיג:

איפה כן ≠ b, שברים חלקי יכול לשמש לאינטגרציה.

דוגמה

קחו למשל חומר C הנובע משילוב של חומר A עם B, באופן שבו חוק ההמונים מתקיים כאשר הערכים של a ו- b הם 8 ו -6 בהתאמה. תן משוואה שנותנת לנו את הערך של גרם של C כפונקציה של זמן.

בהתייחס לערכים שבחוק המסה הנתון, יש לנו:

כאשר הפרדת משתנים יש לנו:

כאן 1 / (8 - x) (6 - x) ניתן לכתוב כסכום של שברים חלקי, כדלקמן:

לכן, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

אם אנחנו מחליפים x עבור 6, יש לנו כי B = 1/2; ואת החלפת x עבור 8, יש לנו = - 1/2.

שילוב על ידי חלקי חלקי יש לנו:

זה נותן לנו כתוצאה מכך:

משוואות דיפרנציאליות: משוואה לוגיסטית

יישום נוסף שניתן לתת לשברים חלקיים הוא במשוואה הלוגיסטית הדיפרנציאלית. במודלים פשוטים יש לנו כי קצב הגידול של האוכלוסייה הוא יחסי לגודלו; J

מקרה זה הוא אידיאלי נחשב מציאותי עד שזה קורה כי המשאבים הזמינים במערכת אינם מספיקים כדי לשמור על האוכלוסייה.

במצבים אלה סביר יותר לחשוב שיש קיבולת מקסימלית, שנקרא לה L, שהמערכת יכולה לקיים, וששיעור הצמיחה הוא פרופורציונלי לגודל האוכלוסייה מוכפל בגודל הקיים. טיעון זה מוביל למשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

ביטוי זה נקרא משוואה דיפרנציאלי לוגיסטי. זוהי משוואה דיפרנציאלית הניתנת להפרדה שניתן לפתור באמצעות שיטת האינטגרציה על ידי שברים חלקיים.

דוגמה

דוגמא תהיה התחשבות באוכלוסייה שגדלה בהתאם למשוואה הלוגיסטית הבאה y = 0.0004y (1000 - y), שהנתונים הראשוניים שלה הם 400. אנו רוצים לדעת את גודל האוכלוסייה בזמן t = 2, כאשר t נמדד בשנים.

אם אנחנו כותבים ו 'עם לייבניץ סימון כפונקציה התלויים t, אנחנו צריכים:

אינטגרל של הצד השמאלי יכול להיפתר תוך שימוש בשיטה של ​​אינטגרציה על ידי שברים חלקי:

ניתן לשכתב את השוויון האחרון כדלקמן:

- החלפת y = 0 יש לנו שווה 1/1000.

- החלפת y = 1000 יש לנו כי B שווה 1/1000.

עם ערכים אלה אינטגרל נשאר כדלקמן:

הפתרון הוא:

שימוש בנתונים ההתחלתיים:

בעת פינוי ועזבנו:

אז יש לנו את זה ב t = 2:

לסיכום, לאחר 2 שנים גודל האוכלוסייה הוא כ 597.37.

הפניות

1. א, ר 'א (2012). מתמטיקה 1. אוניברסיטת האנדים. פרסומים המועצה.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 פיתרו אינטגרלים. האוניברסיטה הניסויית הלאומית של טאצ'ירה.
3. Leithold, L. (1992). חישוב עם גיאומטריה אנליטית. HARLA, S.A.
4. פרסל, א 'ג', ורברג, ד ', & ריגדון, ס' (2007). חישוב. מקסיקו: חינוך פירסון.
5. Saenz, J. (s.f.). חשבון מקיף. Hypotenuse.