נגזרים רצופים (עם תרגילי פתור)

ה - נגזרים עוקבים הם נגזרים של פונקציה לאחר הנגזר השני. התהליך לחישוב הנגזרים הבאים הוא כדלקמן: יש לנו פונקציה f, אשר אנו יכולים להפיק ובכך להשיג את הפונקציה הנגזרת f. לנגזר זה של f נוכל לגזור אותו שוב, להשיג (f ')'.

פונקציה חדשה זו נקראת נגזרת שנייה; כל הנגזרות המחושבות מהשנייה הן רצופות; אלה, המכונה גם סדר גבוה יותר, יש יישומים גדולים, כגון מתן מידע על העלילה של הגרף של פונקציה, הבדיקה הנגזרת השנייה עבור הקצוות יחסית וקביעת סדרה אינסופית.

אינדקס

• 1 הגדרה
  • 1.1 דוגמה 1
  • 1.2 דוגמה 2
• 2 מהירות והאצה
  • 2.1 דוגמה 1
  • 2.2 דוגמה 2
• 3 יישומים
  • 3.1 גזירה מוגברת
  • 3.2 דוגמה
  • 3.3
  • 3.4 דוגמה
  • 3.5 סדרת טיילור
  • 3.6 דוגמה
• 4 הפניות

הגדרה

באמצעות סימון לייבניץ, יש לנו כי נגזרת של פונקציה "ו" ביחס "x" הוא dy / dx. כדי להביע את הנגזרת השנייה של "ו" באמצעות סימון לייבניץ, אנו כותבים כדלקמן:

באופן כללי, אנו יכולים לבטא את הנגזרים הבאים באופן הבא עם סימון לייבניץ, כאשר n מייצג את סדר הנגזרת.

רישומים אחרים המשמשים הם:

כמה דוגמאות שבהן אנו יכולים לראות את הסימונים השונים הן:

דוגמה 1

השג את כל הנגזרות של הפונקציה f המוגדרת על ידי:

באמצעות טכניקות הגזירה הרגילות, יש לנו נגזרת של f היא:

על ידי חזרה על התהליך אנו יכולים לקבל את הנגזרת השנייה, הנגזרת השלישית וכן הלאה.

שים לב שהנגזרת הרביעית היא אפס ונגזרת האפס היא אפס, ולכן עלינו:

דוגמה 2

חישוב הנגזרת הרביעית של הפונקציה הבאה:

הפקת הפונקציה הנתונה לנו כתוצאה מכך:

מהירות והאצה

אחד המניעים שהובילו לגילוי הנגזרת היה החיפוש אחר הגדרת מהירות מיידית. ההגדרה הרשמית היא כדלקמן:

תן y = f (t) להיות פונקציה אשר גרף מתאר את מסלולו של חלקיק בתוך רגע t, אז את המהירות של רגע לא ניתנת על ידי:

לאחר שהושג במהירות של חלקיק, אנו יכולים לחשב תאוצה מיידית, אשר מוגדר כדלקמן:

ההאצה המיידית של חלקיק שהנתיב שלו נתון על ידי y = f (t) הוא:

דוגמה 1

חלקיק נע על קו לפי תפקיד המיקום:

איפה "y" נמדדת מטרים ו "t" בתוך שניות.

- באיזו מהירות המהירות שלך היא 0?

- באיזו מהירות ההאצה שלך היא 0?

כאשר נובעים פונקציית המיקום "ו" יש לנו את המהירות ואת האצה ניתנים בהתאמה על ידי:

כדי לענות על השאלה הראשונה, זה מספיק כדי לקבוע מתי הפונקציה v הופך אפס; זו היא:

אנו ממשיכים עם השאלה הבאה באופן אנלוגי:

דוגמה 2

חלקיק נע על קו בהתאם למשוואה הבאה של תנועה:

קביעת "t, y" ו- "v" כאשר 0 =.

בידיעה כי מהירות האצה ניתנים על ידי

אנו ממשיכים לגזור ולקבל:

על ידי ביצוע 0 =, יש לנו:

שממנו אנו יכולים להסיק כי הערך של t עבור להיות שווה לאפס הוא t = 1.

לאחר מכן, בהערכת פונקציית המיקום ואת פונקציית המהירות ב- t = 1, עלינו:

יישומים

נגזרות מוגברת

נגזרים עוקבים ניתן להשיג גם על ידי הגזירה משתמעת.

דוגמה

בהתחשב באליפסה הבאה, למצוא "ו":

הנגזר משתמע ביחס x, יש לנו:

לאחר מכן, על ידי re-embredly ביחס x, זה נותן לנו:

לבסוף, יש לנו:

סוף יחסי

שימוש נוסף שאנחנו יכולים לתת נגזרים של הסדר השני הוא בחישוב של הקצוות היחסיים של פונקציה.

הקריטריון של הנגזרת הראשונה לקיצוניות מקומית אומר לנו, שאם יש לנו פונקציה f רציפה בטווח (a, b) ויש c השייכת למרווח זה כך fis בוטל ב c (כלומר, כי היא נקודה קריטית), אחד משלושת המקרים האלה עשוי להתרחש:

- אם f (x)> 0 עבור כל x השייכים ל- (a, c) ו- f (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- אם f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 עבור x השייכים ל- (c, b), ולאחר מכן f (c) הוא מינימלי מקומי.

- אם f '(x) יש את אותו סימן (a, c) ו (c, b), זה מרמז כי f (c) אינו נקודת קצה מקומית.

באמצעות הקריטריון של הנגזרת השנייה אנו יכולים לדעת אם מספר קריטי של פונקציה הוא מקסימום או מקומי מינימום, מבלי לראות מה הוא סימן של הפונקציה במרווחים הנ"ל.

הקריטריון של הגזירה השנייה אומר לנו שאם f (c) = 0 ו- f "(x) רציף (a, b), קורה שאם f" (c)> 0 ואז f (c) הוא מינימום מקומי ואם f "(ג) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

אם f "(c) = 0, אנחנו לא יכולים להסיק שום דבר.

דוגמה

בהתחשב בפונקציה f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², למצוא את המקסימום היחסי ואת המינימום של F החלת הקריטריון של הנגזרת השנייה.

ראשית אנו מחשבים f '(x) ו- f "(x) ויש לנו:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

עכשיו, f (x) 0 = 0, ואם רק 4x (x + 2) (x - 1) = 0, וזה קורה כאשר x = 0, x = 1 או x = - 2.

כדי לקבוע אם המספרים הקריטיים המתקבלים הם קיצוניים יחסית זה מספיק כדי להעריך ב F "ולכן ובכך לשמור על השלט שלה.

f "(0) = - 8, כך f (0) הוא מקסימלי מקומי.

f "(1) = 12, כך f (1) הוא מינימום מקומי.

f "(- 2) = 24, כך f (- 2) הוא מינימום מקומי.

סדרת טיילור

תנו f להיות פונקציה מוגדרת כדלקמן:

פונקציה זו יש רדיוס של ההתכנסות R> 0 ויש לו נגזרות של כל ההזמנות ב (R, R). נגזרות רצופות של F לתת לנו:

אם ניקח x = 0, נוכל לקבל את הערכים של c_n בהתבסס על הנגזרים שלה כדלקמן:

אם ניקח n = 0 כפונקציה f (כלומר, f ^ 0 = f), נוכל לכתוב מחדש את הפונקציה כדלקמן:

עכשיו לשקול את הפונקציה כסדרה של כוחות x = a:

אם נבצע ניתוח אנלוגי לקודמו, נצטרך לכתוב את הפונקציה f:

סדרות אלה ידועות כמו טיילור סדרה של F ב. כאשר 0 = יש לנו את המקרה המסוים שנקרא סדרת Maclaurin. סוג זה של סדרה הוא בעל חשיבות מתמטית רבה במיוחד בניתוח המספרי, שכן בזכות אלה אנו יכולים להגדיר פונקציות במחשבים כגון^x , חטא (x) ו- cos (x).

דוגמה

קבל את סדרת Maclaurin עבור e^x.

שים לב שאם f (x) = e^x, ואז f⁽ⁿ⁾(x) = e^x ו⁽ⁿ⁾(0) = 1, ולכן סדרת Maclaurin שלו היא:

הפניות

1. פרנק איירס, ג 'יי, מנדלסון, E. (s.f.). 5 חישוב. מק גרב היל.
2. Leithold, L. (1992). חישוב עם גיאומטריה אנליטית. HARLA, S.A.
3. פרסל, א 'ג', ורברג, ד ', & ריגדון, ס' (2007). חישוב. מקסיקו: חינוך פירסון.
4. Saenz, J. (2005). חישוב דיפרנציאלי. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (s.f.). חשבון מקיף. Hypotenuse.