נגזרים אלגבריים (עם דוגמאות)

ה נגזרים אלגבריים הם מורכבים במחקר של נגזרת במקרה מסוים של פונקציות אלגבריות. מקור הרעיון של הנגזרת חוזר ליוון העתיקה. הפיתוח של רעיון זה היה מונע על ידי הצורך לפתור שתי בעיות חשובות, אחד בפיסיקה והשני במתמטיקה.

בפיזיקה, הנגזרת פותר את הבעיה של קביעת מהירות מיידית של אובייקט נע. במתמטיקה, ניתן למצוא את הקו המשיק לעקומה בנקודה מסוימת.

אמנם יש באמת הרבה יותר בעיות נפתרות באמצעות נגזרת, כמו גם הכללות שלה, תוצאות שהגיעו לאחר כניסתה של המושג שלה.

החלוצים של חשבון דיפרנציאלי הם ניוטון לייבניץ. לפני שנתן את ההגדרה הפורמלית, נוכל לפתח את הרעיון מאחורי, מנקודת מבט מתמטית ופיזית.

אינדקס

• 1 הנגזרת כשיפוע של הקו המשיק לעקומה
• 2 הנגזרת כמו מהירות מיידית של אובייקט נע
  • 2.1 פונקציה אלגברית
• 3 כללי הנגזרות
  • 3.1 נגזר מתמיד
  • 3.2 נגזרים של הספק
  • 3.3 נגזר מתוספת וחיסור
  • 3.4 נגזרים של מוצר
  • 3.5 נגזר מ מנה
  • 3.6 כלל הרשת
• 4 הפניות

נגזרת כמו המדרון של הקו משיק לעקומה

נניח שהגרף של פונקציה y = f (x) הוא גרף רציף (ללא פסגות או קודקודים או הפרדות), ונותן ל- A = (a, f (a)) נקודה קבועה. אנחנו רוצים למצוא את המשוואה של הקו המשיק לתרשים של הפונקציה f בנקודה A.

קח כל נקודה אחרת P = (x, f (x)) של התרשים, קרוב לנקודה A, וצייר את הקו השורה העובר דרך A ו- P. קו הוא קו חותך את גרף העקומה באחד או יותר נקודות.

כדי להשיג את הקו המשיק שאנחנו רוצים, אנחנו רק צריכים לחשב את המדרון כי יש לנו כבר נקודה על הקו: נקודה A.

אם נזיז נקודה P לאורך הגרף ונביא אותו קרוב יותר לנקודה A, השורה המתוארת לעיל תתקרב לקו המשיק שאנו רוצים למצוא. לוקח את הגבול כאשר "P נוטה A", שני הקווים יהיה חופף, ולכן המדרונות שלה גם.

השיפוע של הקו הירוק ניתן על ידי

לומר כי P מתקרב הוא שווה לומר כי "x" גישות "א". לפיכך, השיפוע של הקו המשיק לתרשים f בנקודה A, יהיה שווה ל:

הביטוי הנ"ל מסומן על ידי f (a), והוא מוגדר כנגזרת של פונקציה f בנקודה א '. אנו רואים כי מבחינה אנליטית, הנגזרת של פונקציה בנקודה היא גבול, אך מבחינה גיאומטרית, זהו המדרון של קו המשיק לתרשים של הפונקציה בנקודה.

עכשיו נראה את הרעיון הזה מנקודת מבט של הפיזיקה. נגיע לאותו הביטוי של הגבול הקודם, אם כי בדרך אחרת, השגת אחדות הדעה.

נגזרת כמו מהירות מיידית של אובייקט נע

בואו נראה דוגמה קצרה למה מהירות מיידית. כאשר נאמר, למשל, כי מכונית להגיע ליעד עשה זאת עם מהירות של 100 קמ"ש, כלומר, שעה אחת הוא נסע 100 ק"מ.

זה לא אומר בהכרח שבמשך כל היום המכונית הייתה תמיד במרחק של 100 ק"מ משם, מד המהירות של המכונית יכול, בכמה רגעים, להצביע על פחות או יותר. אם היה לו צורך לעצור ברמזור, המהירות באותו רגע היתה 0 ק"מ. עם זאת, לאחר שעה, המסלול היה 100 ק"מ.

זה מה שנקרא מהירות ממוצעת ניתנת על ידי מנה של המרחק נסע בין הזמן שחלף, כפי שראינו זה עתה. המהירות המיידית, לעומת זאת, היא זו שמציינת את המחט של מד המהירות של מכונית באופן מיידי (זמן) שנקבע.

בואו נסתכל על זה עכשיו באופן כללי יותר. נניח כי אובייקט נע לאורך קו וכי תזוזה זו מיוצגת באמצעות המשוואה s = f (t), כאשר המשתנה t מודד את הזמן והמשתנה הוא העקירה, תוך התחשבות בהתחלה את t = 0, כאשר הוא גם אפס, כלומר, f (0) = 0.

פונקציה זו f (t) מכונה פונקציית מיקום.

הביטוי הוא חיפש את מהירות מיידית של האובייקט ברגע קבוע "א". במהירות זו אנו מציינים אותו על ידי V (א).

תן לא להיות כל רגע קרוב לרגע "א". במרווח הזמן בין "a" ל "t", שינוי המיקום אובייקט נתון על ידי f (t) -f (א).

המהירות הממוצעת בזמן זה היא:

אשר הוא קירוב של מהירות V מיידי (א). קירוב זה יהיה טוב יותר כמו לא מתקרב "א". לכן,

שימו לב כי הביטוי הזה זהה לזה שהושג במקרה הקודם, אלא מנקודת מבט אחרת. זה מה שמכונה נגזרת של פונקציה f בנקודה א ', והיא מסומנת על ידי f (א), כאמור לעיל.

שים לב שביצוע השינוי h = x-a, יש לנו שכאשר "x" נוטה ל- "a", "h" נוטה ל -0, והמגבלה הקודמת הופכת (באופן שווה) ל:

שני הביטויים הם שווים אבל לפעמים עדיף להשתמש אחד במקום השני, בהתאם למקרה.

נגזרת של פונקציה f מוגדר אז באופן כללי יותר בכל נקודה "x" השייכת לתחום שלה

הכיתוב הרגיל ביותר לייצוג הנגזרת של הפונקציה y = f (x) הוא זה שראינו זה עתה (F & O). עם זאת, סימון נוסף בשימוש נרחב הוא סימון לייבניץ המיוצג כמו כל הביטויים הבאים:

לאור העובדה שהנגזרת היא למעשה גבול, היא עשויה להתקיים או לא קיימת, שכן המגבלות אינן קיימות תמיד. אם היא קיימת, אומרים שהפונקציה הנדונה היא ניתנת לשינוי בנקודה הנתונה.

פונקציה אלגברית

פונקציה אלגברית היא שילוב של פולינומים באמצעות סכומים, הפחתות, מוצרים, מרכאות, סמכויות ורדיקלים.

פולינום הוא ביטוי לצורה

עמ '_n= a_nxⁿ+ א_n-1x^n-1+ א_n-2x^n-2+... + א₂x²+ א₁x + a₀

איפה n הוא מספר טבעי וכל_i, עם i = 0,1, ..., n, הם מספרים רציונליים א_n≠ 0 במקרה זה נאמר כי מידת פולינום זה הוא n.

להלן דוגמאות של פונקציות אלגבריות:

כאן פונקציות מעריכי, logarithmic ו trigonometric אינם כלולים. הכללים של הגזירה כי אנו רואים להלן תקפים עבור פונקציות באופן כללי, אך אנו להגביל את עצמנו וליישם אותם במקרה של פונקציות אלגבריות.

חוקים לעקוף

נגזר קבוע

היא קובעת כי הנגזרת של קבוע היא אפס. כלומר, אם f (x) = c, אז f '(x) = 0. לדוגמה, הנגזרת של הפונקציה הקבועה 2 שווה ל -0.

נגזר כוח

אם f (x) = xⁿ, ואז f '(x) = nx^n-1. לדוגמה, נגזרת של x³ זה 3x². כתוצאה מכך, אנו מקבלים כי הנגזרת של פונקצית הזהות f (x) = x היא f (x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

דוגמא נוספת היא: f (x) = 1 / x², ואז f (x) = x^-2 ו- f (x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

נכס זה הוא גם שורשים תקפים, כי השורשים הם כוחות רציונליים ואתה יכול ליישם את הנ"ל גם במקרה זה. לדוגמה, נגזרת השורש הריבועי ניתנת על ידי

נגזר מסכום וחיסור

אם f ו- g הם פונקציות ברורות ב- x, אזי הסכום f + g שונה גם הוא ו- f (g +) (x) = f (x) + g (x).

באופן אנלוגי, יש לנו את זה (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). במילים אחרות, הנגזר של סכום (חיסור) הוא סכום (או חיסור) של הנגזרים.

דוגמה

אם h (x) = x²+x-1, לאחר מכן

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

נגזר ממוצר

אם F ו- G הם פונקציות שונות ב- x, אזי fg המוצר הוא גם שונה ב- x והוא מילא את זה

(x) = f (x) g (x) + f (x) g (x).

כתוצאה מכך, אם c הוא קבוע ו- f הוא פונקציה שונה ב- x, אז cf הוא גם משתנה ב- x ו- cf (x) = cf '(X).

דוגמה

אם f (x) = 3x (x²+1), אז

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

נגזר מתוך מנה

אם F ו- G ניתנים לשינוי ב- x ו- g (x) ≠ 0, אז f / g הוא גם שונה ב- x, וזה נכון

דוגמה: אם h (x) = x³/ (x²-5x), לאחר מכן

h (x) = [x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '/) x⁵-5x)²= [[3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

כלל שרשרת

כלל זה מאפשר את הגזירה של הרכב הפונקציות. הוא קובע את הנקודות הבאות: אם y = f (u) הוא שונה ב- u, yu = g (x) הוא משתנה ב- x, אזי הפונקציה המתרכבת f (g (x)) משתנה ב- x, והיא מרוצה ש [f ( g (x))] '= f' (g (x) g '(x).

כלומר, הנגזרת של פונקציה מורכבת היא תוצר של הנגזרת של הפונקציה החיצונית (נגזר חיצוני) על ידי הנגזר של הפונקציה הפנימית (נגזר פנימי).

דוגמה

אם f (x) = (x⁴-2x)³, אז

f '(x) = 3 (x)⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

יש גם תוצאות לחישוב הנגזרת של ההופכי של פונקציה, כמו גם את ההכללה כדי נגזרות סדר גבוה יותר. היישומים נרחבים. ביניהם הם מדגישים את שירותיהם בבעיות של אופטימיזציה של מקסימום מינימום של פונקציות.

הפניות

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). חישוב דיפרנציאלי. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). חישוב 4000. עריכה Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). מתמטיקה לפני החישוב. אוניברסיטת מדיין.
4. אדוארדו, נ '(2003). מבוא לחישוב. מהדורות סף.
5. מקורות, א. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחישוב. Lulu.com.
6. פרסל, א 'ג', ריגדון, ס 'א', & Varberg, ד '(2007). חישוב. חינוך פירסון.
7. Saenz, J. (2005). חישוב דיפרנציאלי (מהדורה שנייה). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. תומאס, ג 'ב', & וייר, ד '(2006). חישוב: מספר משתנים. חינוך פירסון.