חישוב של קירובים באמצעות דיפרנציאל

קירוב במתמטיקה הוא מספר שאינו הערך המדויק של משהו, אבל הוא כל כך קרוב אליו כי זה נחשב שימושי כמו הערך המדויק.

כאשר קירוב נעשים במתמטיקה זה בגלל ידני זה קשה (או לפעמים בלתי אפשרי) לדעת את הערך המדויק של מה שנדרש.

הכלי העיקרי בעת עבודה עם קירובים הוא ההפרש של פונקציה.

ההפרש של פונקציה f, הנקובה על ידי Δf (x), אינו יותר מאשר הנגזרת של הפונקציה f כפול השינוי במשתנה הבלתי תלוי, כלומר, Δf (x) = f '(x) * Δx.

לפעמים df ו- dx משמשים במקום Δf ו- Δx.

גישות באמצעות ההפרש

הנוסחה המוחלת על מנת לבצע קירוב באמצעות ההפרש נובעת דווקא מההגדרה של הנגזרת של פונקציה כגבול.

נוסחה זו ניתנת על ידי:

(x) x (x) x f x (x) + f '(x0) * Δx.

הנה זה הבין כי Δx = x-x0, ולכן, x = x0 + Δx. באמצעות נוסחה זו ניתן לשכתב כמו

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

יש לציין כי "x0" אינו ערך שרירותי, אלא הוא ערך כזה ש- f (x0) ידוע בקלות; בנוסף, "f (x)" הוא רק הערך שאנחנו רוצים להתקרב.

האם יש קירובים טובים יותר?

התשובה היא כן. הקודמת היא הפשוטה ביותר של קירובים הנקראים "קירוב ליניארי".

עבור קירובים איכותיים יותר (השגיאה קטנה) פולינומים עם נגזרות יותר בשם "פולינומים טיילור" משמשים, כמו גם שיטות מספריות אחרות כגון שיטת ניוטון רפסון בין היתר..

אסטרטגיה

האסטרטגיה הבאה היא:

- בחר פונקציה מתאימה f כדי לבצע את הקירוב ואת הערך "x" כך f (x) הוא הערך שברצונך משוער.

- בחר ערך "x0", קרוב ל "x", כך f (x0) קל לחשב.

- חישוב Δx = x-x0.

- חישוב הנגזרת של הפונקציה ו- f (x0).

- החלף את הנתונים בנוסחה.

פתרו תרגילי קירוב

במה שממשיך יש סדרה של תרגילים שבהם קירובים נעשים באמצעות ההפרש.

תרגיל ראשון

בערך √3.

פתרון

בעקבות האסטרטגיה, יש לבחור פונקציה מתאימה. במקרה זה ניתן לראות שהפונקציה לבחירה חייבת להיות f (x) = √x והערך המשוער הוא f (3) = √3.

עכשיו אנחנו חייבים לבחור ערך "x0" קרוב ל "3" כך f (x0) קל לחשב. אם אתה בוחר "x0 = 2" יש לך "x0" קרוב ל "3" אבל F (x0) = f (2) = √2 לא קל לחשב.

הערך "x0" הנוח הוא "4", מכיוון ש "4" קרוב ל "3" וגם f (x0) = f (4) = √4 = 2.

אם "x = 3" ו "x0 = 4", אז Δx = 3-4 = -1. עכשיו אנחנו ממשיכים לחשב את נגזרת של F. כלומר, f '(x) = 1/2 * √x, כך f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

החלפת כל הערכים בנוסחה שתקבל:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

אם נעשה שימוש במחשבון, זה מתקבל כי √3≈1.73205 ... זה מראה כי התוצאה הקודמת היא קירוב טוב של הערך האמיתי.

תרגיל שני

בערך √10.

פתרון

כמו קודם הוא נבחר כפונקציה f (x) = √x ובמקרה זה x = 10.

הערך של x0 שיש לבחור בהזדמנות זו הוא "x0 = 9". לאחר מכן יש לנו Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ו- f (9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

כאשר מעריכים את הנוסחה אתה מקבל את זה

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

באמצעות מחשבון אתה מקבל את זה √10 ≈ 3.1622776 ... כאן אתה יכול לראות גם קירוב טוב התקבל לפני.

תרגיל שלישי

בערך ³ 133, כאשר ³ 133 מציין את השורש המעוקב.

פתרון

ברור כי הפונקציה שיש להשתמש בתרגיל זה היא f (x) = ³√x וערך "x" חייב להיות "10".

ערך קרוב ל "10" כך ששורש הקוביה שלו ידוע "x0 = 8". אז יש לנו את זה Δx = 10-8 = 2 ו- f (x0) = f (8) = 2. יש לנו גם את ה- f (x) = 1/3 * ³ 133xx, וכתוצאה מכך f (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

בהחלפת הנתונים בנוסחה, מתקבל כי:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

המחשבון אומר כי ³√10 ≈ 2.15443469 ... לכן, קירוב נמצא טוב.

התרגיל הרביעי

בערך ln (1.3), כאשר "ln" מציין את הפונקציה הטבעית logarithm.

פתרון

ראשית, הפונקציה f (x) = ln (x) נבחרת וערך ה- x הוא 1.3. עכשיו, בידיעה קצת על הפונקציה logarithm, אנו יכולים לדעת כי ln (1) = 0, וגם "1" הוא קרוב ל "1.3". לכן, "x0 = 1" נבחר ולכן Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

מצד שני f (x) = 1 / x, כך f '(1) = 1. כאשר מעריכים את הנוסחה נתון אתה צריך:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

בעת שימוש במחשבון אתה צריך ln (1.3) ≈ 0.262364 ... אז קירוב עשה טוב.

הפניות

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). מתמטיקה. Pertice הול PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). פרלקולוס מתמטיקה: גישה לפתרון בעיות (2, עורך מאויר). מישיגן: אולם פרנטיס.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
4. לרסון, ר '(2010). פרלקולוס (8 אד.). Cengage למידה.
5. Leal, J. M., & Viloria, נ 'ג' (2005). שטוח גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצואלה ג.
6. Pérez, C. D. (2006). פרלקולוס. חינוך פירסון.
7. פרסל, א 'ג', ורברג, ד ', & ריגדון, ס' (2007). חישוב (התשיעי). פרנטיס הול.
8. Saenz, J. (2005). חשבון דיפרנציאלי עם פונקציות טרנסצנדנטליות מוקדמות למדע ולהנדסה (מהדורה שנייה ed.). Hypotenuse.
9. סקוט, א '(2009). גיאומטריה מטוס קרטזית, חלק: חידות אנליטיות (1907) (הדפס מחדש). מקור ברק.
10. סאליבן, מ. (1997). פרלקולוס. חינוך פירסון.