רקע היסטורי של גיאומטריה אנליטית

ה רקע היסטורי של גיאומטריה אנליטית הם חוזרים אל המאה ה -17, כאשר פייר דה פרמה ורנה דקארט הגדירו את הרעיון הבסיסי שלהם. ההמצאה שלו בעקבות המודרניזציה של אלגברה ואת סימון אלגברי של פרנסואה Viète.

שדה זה יש בסיסים שלה ביוון העתיקה, במיוחד עבודות של אפולוניוס ו Euclid, שהיה לו השפעה רבה בתחום זה של המתמטיקה.

הרעיון המהותי מאחורי גיאומטריה אנליטית הוא כי מערכת היחסים בין שני משתנים, כך אחד הוא פונקציה של האחר, מגדיר עקומה.

רעיון זה פותח לראשונה על ידי פייר דה פרמה. הודות למסגרת חיונית זו, אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ הצליחו לפתח את החישוב.

הפילוסוף הצרפתי דקארט גילה גם גישה אלגברית לגיאומטריה, ככל הנראה לבדו. עבודתו של דקארט על הגיאומטריה מופיעה בספר המפורסם שלו נאום השיטה.

בספר זה מצוין כי המצפן והמבנים הגיאומטריים של הקצוות הישרים כרוכים בתוספת, בחיסור, בכפל ובשורשים הריבועיים.

גיאומטריה אנליטית מייצגת את האיחוד של שתי מסורות חשובות במתמטיקה: גיאומטריה כמחקר של צורה, ואריתמטיקה ואלגברה, אשר קשורים לכמות או למספרים. לכן, גיאומטריה אנליטית היא המחקר של שדה הגיאומטריה באמצעות מערכות קואורדינטות.

היסטוריה

רקע של גיאומטריה אנליטית

הקשר בין הגיאומטריה ואלגברה התפתח לאורך ההיסטוריה של המתמטיקה, אם כי הגיאומטריה הגיעה לדרגה מוקדמת יותר של בגרות.

לדוגמה, המתמטיקאי היווני אוקלידס היה מסוגל לארגן תוצאות רבות בספר הקלאסי שלו האלמנטים.

אבל זה היה אפולוניוס היוונית העתיקה של Perga אשר חזה את הפיתוח של גיאומטריה אנליטית בספרו חידות. הוא הגדיר חרוט כהצטלבות בין חרוט לבין מטוס.

השימוש בתוצאות של משולשי עיגולים דומים חוֹתֵך אוקלידס, מצא שהותירו מרחקים של כל נקודה "P" של קווים ניצבת שני חרוטים, הציר המרכזי של חרוט ואת המשיק בנקודת קצה של יחס הציר. אפולוניוס בשימוש יחסים זו לגזור תכונות בסיסיות של חרוטים.

ההתפתחות הבאה של מערכות קואורדינטות במתמטיקה התפתחה רק לאחר שהאלגברה התבגרה הודות למתמטיקאים האיסלאמיים וההודים.

עד הגיאומטריה רנסנס שימש כדי להצדיק פתרונות לבעיות אלגבריות, אבל לא היה הרבה כי אלגברה יכול לתרום גיאומטריה.

מצב זה ישתנה עם אימוץ סימון נוח ליחסים אלגבריים ופיתוח המושג של פונקציה מתמטית, אשר היה אפשרי כעת.

המאה ה -16

בסוף המאה השש עשרה הציג המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט את הסימון האלגברי הראשון שיטתי, תוך שימוש באותיות כדי לייצג כמויות מספריות, ידועות ובלתי ידועות.

הוא גם פיתח שיטות כלליות חזקות לעבודה ביטויים אלגבריים ופתרון משוואות אלגבריות.

הודות לכך, מתמטיקאים לא היו תלויים לחלוטין בגיאומטריה ובאינטואיציה גיאומטרית כדי לפתור בעיות.

אפילו כמה מתמטיקאים החלו לנטוש את החשיבה הגיאומטרית הסטנדרטית של החשיבה, לפיה המשתנים הליניאריים של אורכים וריבועים תואמים לשטחים, ואילו מעוקב מתאים כרכים.

הראשון לעשות את הצעד הזה היו הפילוסוף והמתמטיקאי רנה דקארט, ועורך הדין והמתמטיקאי פייר דה פרמה.

קרן גיאומטריה אנליטית

Descartes ו פרמה עצמאית הקימה גיאומטריה אנליטית במהלך 1630, על ידי אימוץ אלגברה Viète לחקר לוקוס גיאומטרי.

מתמטיקאים אלה הבינו כי אלגברה היא כלי של כוח גדול בגיאומטריה המציא את מה שכיום ידוע גיאומטריה אנליטית.

מראש הם עשו היה להתגבר Viète באמצעות אותיות לייצג מרחקים כי הם משתנה במקום קבוע..

Descartes השתמשו במשוואות כדי ללמוד את הקימורים הגיאומטרי מוגדר, והדגיש את הצורך לשקול את הקימורים האלגבריים-גרפיים בכלל של משוואות פולינומי במעלות "x" ו "y".

פרמה הדגיש כי כל מערכת יחסים בין הקואורדינטות "x" ו- "ו" קובעת עקומה.

באמצעות הרעיונות האלה הוא שינה מחדש את הצהרותיו של אפולוניוס בנוגע למונחים אלגבריים ושיחזר חלק מעבודותיו האבודות..

פרמה הצביע על כך שכל משוואה ריבועית ב- x ו- y יכולה להיות ממוקמת בצורה הרגילה של אחד מקטעי הקוני. למרות זאת, פרמה מעולם לא פירסם את עבודתו בנושא.

הודות להתקדמותו, מה שארכימדס יכול היה לפתור רק בקושי רב ובמקרים בודדים, פרמה ודסקארט יכלו לפתור אותה במהירות ולכמה עקומות (הידועות כיום כאל עקומות אלגבריות).

אבל רעיונותיו זכו רק בקבלה כללית באמצעות מאמציהם של מתמטיקאים אחרים במחצית השנייה של המאה השבע-עשרה.

מתמטיקאים פראנס ואן שוטן, פלורימונד דה באון ויוהן דה ויט סייעו להרחיב את עבודתו של דקרט והוסיפו חומר נוסף חשוב.

השפעה

באנגליה, ג'ון וואליס פירסם גיאומטריה אנליטית. הוא השתמש במשוואות כדי להגדיר את החרוטים ולהפיק את תכונותיהם. למרות שהוא השתמש בקואורדינטות שליליות בחופשיות, זה היה אייזק ניוטון שהשתמש בשני צירים אלכסוניים כדי לחלק את המטוס לארבעה רבעים.

ניוטון ואת הגרמני Gottfried Leibniz מהפכה במתמטיקה בסוף המאה ה -17 על ידי עצמאי הוכחת כוח החישוב.

ניוטון הדגים את החשיבות של שיטות אנליטיות בגיאומטריה ותפקידה בחישוב, כאשר הוא טען שכל קובייה (או כל עקומה אלגברית מדרגה שלישית) יש שלוש או ארבע משוואות סטנדרטיות לצירים קואורדינטות מתאימים. בעזרתו של ניוטון עצמו, המתמטיקאי הסקוטי ג'ון סטירלינג הוכיח זאת ב -1717.

גיאומטריה אנליטית של שלושה ממדים ויותר

למרות שגם דקארט וגם פרמה הציעו להשתמש בשלושה קואורדינטות כדי ללמוד עקומות ומשטחים בחלל, גיאומטריה אנליטית תלת מימדית התפתחה לאט עד 1730.

המתמטיקאים אוילר, הרמן וקלייראוט ייצרו משוואות כלליות לצילינדרים, קונוסים ומשטחים של מהפכה.

לדוגמה, אוילר השתמש במשוואות לתרגום בחלל כדי להפוך את המשטח הריבועי הכללי, כך שהצירים העיקריים שלו התאימו לצירים של קואורדינטות.

אוילר, ג'וזף לואיס לגראנז 'וגאספארד מונג עשו גיאומטריה אנליטית עצמאית מגיאומטריה סינתטית (לא אנליטית).

הפניות

1. פיתוח גיאומטריה אנליטית (2001). התאושש מאנציקלופדיה
2. היסטוריה של גיאומטריה אנליטית (2015). התאושש מ maa.org
3. ניתוח (מתמטיקה). שחזר מ britannica.com
4. גיאומטריה אנליטית. שחזר מ britannica.com
5. Descartes ואת הלידה של גיאומטריה אנליטית. שחזר מ sciencedirect.com