אילו סוגי אינטגרלים יש?

ה סוגי אינטגרלים שאנו מוצאים בחישוב הם: אינטגרלים בלתי מוגדרים ואינטגרלים מוגדרים. למרות אינטגרלים מסוימים יש יישומים רבים יותר מאשר אינטגרלים בלתי מוגבל, יש צורך ללמוד תחילה לפתור אינטגרלים בלתי מוגדרים.

אחת היישומים האטרקטיביים ביותר של אינטגרלים מוגדרים היא החישוב של נפח מוצק של מהפכה.

לשני סוגי האינטגרלים יש את אותן תכונות של ליניאריות וגם טכניקות האינטגרציה אינן תלויות בסוג האינטגרל.

אבל למרות היותו דומה מאוד, יש הבדל עיקרי; בסוג הראשון של אינטגרל התוצאה היא פונקציה (שאינה ספציפית) ואילו בסוג השני התוצאה היא מספר.

שני סוגים בסיסיים של אינטגרלים

עולם האינטגראלים הוא רחב מאוד, אבל בתוכו אנו יכולים להבחין בין שני סוגים בסיסיים של אינטגרלים, שיש להם תחולה רבה בחיי היומיום.

1- אינטגרלים בלתי מוגדרים

אם F (x) = f (x) עבור כל x בתחום f, אנו אומרים ש- F (x) הוא antiderivative, פרימיטיבי או אינטגרלי של f (x).

יתר על כן, נציין כי (F (x) + C) "= F" (x) = f (x), מה שמרמז כי האינטגרלי של פונקציה אינו ייחודי, עבור מתן ערכים שונים של C הקבוע ישיג שונה - אנטי.

מסיבה זו F (x) + C נקרא אינטגרל בלתי מוגדר של f (x) ו- C נקרא אינטגרציה קבועה ואנו כותבים אותו בדרך הבאה

כפי שניתן לראות, האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה f (x) הוא משפחה של פונקציות.

לדוגמה, אם ברצונך לחשב את האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה f (x) = 3x², תחילה עליך למצוא antiderivative של f (x).

קל להבחין ש- F (x) = x³ הוא אנטי-רטיביטיבי, שכן F '(x) = 3x². לכן, ניתן להסיק כי

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2. אינטגרלים מוגדרים

תן y = f (x) להיות פונקציה בפועל, רציף בתוך מרווח סגור [a, b] ולתת F (x) antiderivative של f (x). זה נקרא אינטגרל מובהק של f (x) בין הגבולות a ו- b למספר F (b) -F (a), והוא מסומן כדלקמן

הנוסחה המוצגת לעיל ידועה יותר בשם "התיאוריה הבסיסית של חשבון". כאן "a" נקרא הגבול התחתון "b" נקרא הגבול העליון. כפי שניתן לראות, האינטגרל המובהק של פונקציה הוא מספר.

במקרה זה, אם יחושב האינטגרל המובהק של f (x) = 3x² במרווח [0.3], יתקבל מספר.

כדי לקבוע את המספר הזה, אנו בוחרים ב- F (x) = x³ כ- antiderivative של f (x) = 3x². לאחר מכן, אנו לחשב F (3) -F (0) אשר נותן לנו את התוצאה 27-0 = 27. לסיכום, האינטגרל המובהק של f (x) במרווח [0.3] הוא 27.

ניתן לציין כי אם G (x) = x³ + 3, אז G (x) נבחר הוא אנטי-נגזרת של f (x) שונה F (x), אבל זה לא משפיע על התוצאה כפי G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. מסיבה זו, אינטגרלים מוגדרים קבוע אינטגרציה אינו מופיע.

אחד היישומים השימושיים ביותר מסוג זה של אינטגרל הוא שהוא מאפשר לחשב את השטח (נפח) של דמות שטוחה (של מוצק של מהפכה), הקמת פונקציות מתאימות ומגבלות אינטגרציה (ציר ציר).

בתוך אינטגרלים מובהק נוכל למצוא מספר סיומות של בדוגמה זו אינטגרלים קו, אינטגרלים השטח, אינטגרל לא אמיתי, אינטגרלים מרובים, בין היתר, את כל יישומים שימושיים מאוד במדע והנדסה.

הפניות

1. Casteleiro, J. M. (2012). האם זה קל לשלב? הוראה עצמית. מדריד: ESIC.
2. Casteleiro, J. M., & Gummez-Álvarez, R. P. (2002). חישוב מקיף (מאוירת עורכים). מדריד: מערכת ESIC.
3. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). מתמטיקה. Pertice הול PTR.
4. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). פרלקולוס מתמטיקה: גישה לפתרון בעיות (2, עורך מאויר). מישיגן: אולם פרנטיס.
5. קישון, ח '(2005). חשבון אינטגרלי. אטלנטיק שותפים & מפיצים.
6. פרסל, א 'ג', ורברג, ד ', & ריגדון, ס' (2007). חישוב (התשיעי). פרנטיס הול.