מה הם גבולות טריגונומטריים? (עם תרגילי החלטה)

ה הטריגונומטריים הם גבולות של פונקציות כגון פונקציות אלה נוצרות על ידי פונקציות טריגונומטריות.

ישנן שתי הגדרות שיש לדעת כדי להבין כיצד מתבצעת החישוב של הטריגונומטריה.

הגדרות אלה הן:

- הגבלת הפונקציה "f" כאשר "x" נוטה "b": היא מורכבת בחישוב הערך שאליו f (x) מתקרב כ"גישות "x" b ", מבלי להגיע אל" b ".

- פונקציות טריגונומטריות: הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות סינוס, קוסינוס ושיקוף, הנקראות על ידי חטא (x), cos (x) ו- tan (x) בהתאמה.

פונקציות טריגונומטריות אחרות מתקבלים משלושת הפונקציות שהוזכרו לעיל.

מגבלות של פונקציות

כדי להבהיר את מושג הגבול של פונקציה תמשיך להראות כמה דוגמאות עם פונקציות פשוטות.

- הגבול של f (x) = 3 כאשר x "" נוטה ל "8" שווה ל "3", מכיוון שהתפקוד תמיד קבוע. לא משנה כמה "x" שווה, הערך של f (x) יהיה תמיד "3".

- הגבול של f (x) = x-2 כאשר x "" נוטה ל "6" הוא "4". מכיוון שכאשר "x" מתקרב "6" ואז "x-2" מתקרב "6-2 = 4".

- הגודל של g (x) = x² כאשר "x" נוטה ל "3" שווה ל 9, שכן כאשר "x" מתקרב "3" ואז "x²" גישות "3 ² = 9".

כפי שניתן לראות בדוגמאות הקודמות, חישוב הגבול כולל הערכה של הערך שאליו "x" נוטה בפונקציה, והתוצאה תהיה הערך של הגבול, אם כי הדבר נכון רק עבור פונקציות רציפות.

האם יש גבולות מסובכים יותר?

התשובה היא כן. הדוגמאות לעיל הן דוגמאות פשוטות של גבולות. בספרי החישוב, תרגילי המגבלות העיקריים הם אלה שיוצרים את הסוג של 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ו- (∞) ^ 0.

ביטויים אלה נקראים סתירות משום שהן ביטויים המתמטיים לא הגיוניים.

בנוסף לכך, בהתאם לפונקציות הכרוכות במגבלה המקורית, התוצאה המתקבלת בפתרון הסעיפים עשויה להיות שונה בכל מקרה.

דוגמאות לגבולות טריגונומטריים פשוטים

כדי לפתור מגבלות, זה תמיד מאוד שימושי לדעת את הגרפים של הפונקציות המעורבות. להלן גרפים של פונקציות סינוס, cosine ו משיק.

כמה דוגמאות למגבלות הטריגונומטריות הפשוטות הן:

- חישוב הגבול של חטא (x) כאשר "x" נוטה "0".

בעת צפייה בתרשים ניתן לראות כי אם "x" מתקרב "0" (הן בצד שמאל והן מימין), אז הגרף הסיני הוא גם מתקרב "0". לכן, את גבול החטא (x) כאשר "x" נוטה "0" הוא "0".

- לחשב את הגבול של cos (x) כאשר "x" נוטה "0".

בתצפית על הגרף הקוסיני, ניתן לראות שכאשר "x" קרוב ל "0", התרשים הקוסיני קרוב ל "1". זה מרמז כי הגבול של cos (x) כאשר "x" נוטה "0" שווה "1".

מגבלה יכולה להתקיים (להיות מספר), כמו בדוגמאות הקודמות, אבל זה יכול לקרות גם כי היא לא קיימת כפי שמוצג בדוגמה הבאה.

- הגבול של tan (x) כאשר "x" נוטה "Π / 2" בצד שמאל שווה "+ ∞", כפי שניתן לראות בתרשים. מצד שני, את גבול שיזוף (x) כאשר "x" נוטה "- / 2" בצד ימין שווה "-∞".

זהויות של גבולות טריגונומטריים

שתי זהויות שימושיות מאוד בעת חישוב גבולות טריגונומטריים הן:

- הגבול של "חטא (x) / x" כאשר "x" נוטה ל "0" שווה ל "1".

- הגבול של "(1-cos (x)) / x" כאשר "x" נוטה ל "0" שווה ל "0".

זהויות אלה משמשות לעתים קרובות מאוד כאשר יש לך איזה חוסר ודאות.

תרגילים נפתרים

פתרו את המגבלות הבאות באמצעות הזהויות המתוארות למעלה.

- חישוב הגבול של "f (x) = חטא (3x) / x" כאשר "x" נוטה "0".

אם הפונקציה "f" מוערכת ב "0", יתקבל זיהוי של סוג 0/0. לכן, עלינו לנסות ולפתור את אי-ההבחנה הזאת באמצעות הזהויות המתוארות.

ההבדל היחיד בין גבול זה לבין הזהות הוא המספר 3 המופיע בתפקוד הסינוס. כדי ליישם את הזהות, הפונקציה "f (x)" חייבת להיות משוחזרת באופן הבא "3 * (חטא (3x) / 3x)". עכשיו, גם הטיעון של הסינוס וגם המכנה שווים.

לכן, כאשר "x" נוטה ל "0", תוך שימוש בזהות "3 * 1 = 3". לכן, הגבול של f (x) כאשר x "" נוטה ל "0" שווה ל "3".

- חישוב הגודל של "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" כאשר "x" נוטה ל "0".

כאשר "x = 0" מוחלף ב- g (x), מתקבל הסוג של ∞-∞. כדי לפתור את זה, שברים הם מופחת, אשר מניב את התוצאה "(1-cos (x)) / x".

עכשיו, כאשר מיישמים את הזהות הטריגונומטית השנייה, יש לנו את הגבול של g (x) כאשר "x" נוטה ל "0" שווה ל 0.

- חישוב הגבול של "h (x) = 4tan (5x) / 5x" כאשר "x" נוטה ל "0".

שוב, אם אתה מעריך h (x) ל "0" אתה תקבל את האינדקס של 0/0.

(5x) / 5x) * (4 / cos (x)) (5x) (5x).

שימוש ב - 4 / cos (x) כאשר x "" נוטה ל "0" שווה ל - "4/1 = 4" והזהות הטריגונומטית הראשונה מתקבלת כי גבול h (x) כאשר "x" נוטה "0" שווה ל "1 * 4 = 4".

תצפית

גבולות טריגונומטריים לא תמיד קל לפתרון. במאמר זה מוצגות רק דוגמאות בסיסיות.

הפניות

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). מתמטיקה. Pertice הול PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). פרלקולוס מתמטיקה: גישה לפתרון בעיות (2, עורך מאויר). מישיגן: אולם פרנטיס.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
4. לרסון, ר '(2010). פרלקולוס (8 אד.). Cengage למידה.
5. Leal, J. M., & Viloria, נ 'ג' (2005). שטוח גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצואלה ג.
6. Pérez, C. D. (2006). פרלקולוס. חינוך פירסון.
7. פרסל, א 'ג', ורברג, ד ', & ריגדון, ס' (2007). חישוב (התשיעי). פרנטיס הול.
8. Saenz, J. (2005). חשבון דיפרנציאלי עם פונקציות טרנסצנדנטליות מוקדמות למדע ולהנדסה (מהדורה שנייה ed.). Hypotenuse.
9. סקוט, א '(2009). גיאומטריה מטוס קרטזית, חלק: חידות אנליטיות (1907) (הדפס מחדש). מקור ברק.
10. סאליבן, מ. (1997). פרלקולוס. חינוך פירסון.