מה הן משוואות סימולטניות? (עם תרגילי פתור)

ה משוואות סימולטניות הן אותן משוואות שיש להגשים בעת ובעונה אחת. לכן, כדי להיות משוואות סימולטני אחד חייב להיות יותר משוואה אחת.

כאשר יש לך שתי משוואות שונות או יותר, אשר חייב להיות אותו פתרון (או אותם פתרונות), אתה אומר שיש לך מערכת של משוואות או שאתה אומר שיש לך משוואות בו זמנית.

כאשר יש לך משוואות בו זמנית זה יכול לקרות כי אין להם פתרונות משותפים או יש כמות סופית או יש כמות אינסופית.

משוואות סימולטניות

לאור שתי משוואות שונות Eq1 ו Eq2, יש לנו כי המערכת של שתי משוואות אלה נקרא משוואות בו זמנית.

משוואות בו זמנית למלא אם S הוא פתרון של Eq1 אז S הוא גם פתרון של Eq2 ולהיפך

תכונות

כאשר מדובר במערכת של משוואות בו זמנית אתה יכול להיות 2 משוואות, 3 משוואות או N משוואות.

השיטות הנפוצות ביותר המשמשות לפתרון משוואות סימולטניות הן: החלפה, שוויון וצמצום. יש גם שיטה אחרת הנקראת כלל של Cramer, שהיא שימושית מאוד במערכות עם יותר משתי משוואות סימולטניות.

דוגמה למשוואות סימולטניות היא המערכת

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

ניתן לראות כי x = 0, y = 2 הוא פתרון של Eq1 אבל זה לא פתרון של Eq2.

הפתרון הנפוץ היחיד ששתי המשוואות הוא x = 1, y = 1. כלומר, x = 1, y = 1 הוא הפתרון של מערכת משוואות סימולטניות.

תרגילי החלטה

לאחר מכן אנו ממשיכים לפתור את המערכת של משוואות בו זמנית שהוצגו לעיל, באמצעות 3 שיטות המוזכרים.

תרגיל ראשון

פתרו את שיטת המשוואות Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 בשיטת החלפה.

פתרון

שיטת החלופה מורכבת מניקוי אחד הלא ידועים של אחת המשוואות ולאחר מכן החלפתה במשוואה השנייה. במקרה זה, אתה יכול לנקות "y" מ Eq1 ואתה מקבל את זה y = 2-x.

כאשר מחליפים את הערך של "y" ב Eq2, הוא השיג כי 2x- (2-x) = 1. לכן, אנו מקבלים את זה 3x-2 = 1, כלומר, x = 1.

לאחר מכן, מאז הערך של x ידוע, הוא מוחלף ב "y" ו y = 2-1 = 1 מתקבל.

לכן, הפתרון היחיד של מערכת משוואות סימולטניות Eq1 ו- Eq2 הוא x = 1, y = 1.

תרגיל שני

פתרו את שיטת המשוואות Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 בשיטת האיזון.

פתרון

שיטת ההשוואה כוללת ניקוי של אותה שאלה משתי המשוואות ולאחר מכן השוואת המשוואות המתקבלות.

ניקוי x "" משתי המשוואות, אנו משיגים כי x = 2-y, וכי x = (1 + y) / 2. עכשיו, שתי משוואות אלה משווים ואנחנו מקבלים את זה 2-y = (1 + y) / 2, שם מתברר כי 4-2y = 1 + y.

הקבצה של "y" הלא ידוע באותו צד תוצאות y = 1. עכשיו שאתה יודע "ו" אתה ממשיך למצוא את הערך של "x". כאשר מחליפים את y = 1 נקבל את x = 2-1 = 1.

לכן, הפתרון הנפוץ בין משוואות Eq1 ו- Eq2 הוא x = 1, y = 1.

תרגיל שלישי

פתרו את שיטת המשוואות Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 בשיטת ההפחתה.

פתרון

שיטת ההפחתה מורכבת מהכפלת המשוואות הניתנות על ידי המקדמים המתאימים, כך שכאשר מוסיפים משוואות אלו אחד המשתנים מבוטל.

בדוגמה הספציפית הזו, אינך צריך להכפיל כל משוואה על-ידי מקדם כלשהו, ​​פשוט הוסף אותם יחד. בעת הוספת Eq1 בתוספת Eq2 אנו מקבלים את זה 3x = 3, שממנו אנו מקבלים כי x = 1.

כאשר מעריכים x = 1 ב Eq1 אנו מקבלים את זה 1 + y = 2, שממנו מתברר כי y = 1.

לכן, x = 1, y = 1 הוא הפתרון היחיד של המשוואות בו-זמנית Eq1 ו- Eq2.

תרגיל רביעי

לפתור את המערכת של משוואות בו זמנית Eq1: 2x-3y = 8 ו Eq2: 4x-3y = 12.

פתרון

תרגיל זה אינו דורש שום שיטה מסוימת, ולכן אתה יכול ליישם את השיטה כי הוא נוח ביותר עבור כל הקורא.

במקרה זה, שיטת ההפחתה תשמש. הכפלה Eq1 על ידי -2 נותן את המשוואה Eq3: -4x + 6y = -16. עכשיו, הוספת Eq3 ו Eq2 נותן 3y = -4, ולכן y = -4 / 3.

עכשיו, כאשר מעריכים y = -4 / 3 ב Eq1 אנחנו מקבלים את זה 2x-3 (-4 / 3) = 8, כאשר 2x + 4 = 8, ולכן, x = 2.

לסיכום, הפתרון היחיד של מערכת משוואות סימולטניות Eq1 ו- Eq2 הוא x = 2, y = -4 / 3.

תצפית

השיטות המתוארות במאמר זה ניתן ליישם על מערכות עם יותר משתי משוואות בו זמנית.

ככל שיותר משוואות ובלתי ידועות יותר, הנוהל לפתרון המערכת מסובך יותר.

כל שיטה של ​​פתרון מערכות משוואות תניב את אותם הפתרונות, כלומר, הפתרונות אינם תלויים בשיטה המיושמת.

הפניות

1. מקורות, א. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחישוב. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד לפתור משוואה ריבועית. מרילו גארו.
3. Haeussler, E. F, & Paul, R. S. (2003). מתמטיקה למינהל וכלכלה. חינוך פירסון.
4. ג'ימנז, ג ', רופריגז, מ', & אסטרדה, ר '(2005). מתמטיקה 1 SEP. סף.
5. Preciado, C. T. (2005). קורס מתמטיקה 3 א. עריכה Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). אלגברה אני קל! כל כך קל. צוות רוק לחץ.
7. סאליבן, י. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. חינוך פירסון.