מהו התחום ואת הדירה של פונקציה? (עם דוגמאות לפתרון)

המושגים של תחום ו תחום נגד של פונקציה הם נלמדים בדרך כלל קורסים חצץ לימד בתחילת הקריירה באוניברסיטה.

לפני הגדרת תחום התחום, אתה חייב לדעת מה הפונקציה. פונקציה f היא חוק (כלל) של התכתבות שנעשו בין האלמנטים של שתי קבוצות.

הקבוצה שבה נבחרים האלמנטים נקראת תחום הפונקציה, והקבוצה שאליה נשלחים אלמנטים אלה דרך f נקראת דומיין נגד.

במתמטיקה, פונקציה עם תחום A ודומיין נגדי B מסומנת בביטוי f: A → B.

הביטוי הנ"ל אומר כי אלמנטים של קבוצה A נשלחים להגדיר B בעקבות חוק התכתבות ו.

פונקציה מקצה כל אלמנט של קבוצה A אלמנט אחד של קבוצה ב.

דומיין ותחום נגד

בהינתן פונקציה ממשית של משתנה אמיתי f (x), יש לנו את התחום של הפונקציה יהיה כל אותם מספרים אמיתיים כך, כאשר מוערכים ב F, התוצאה היא מספר אמיתי.

בדרך כלל הדלפק של פונקציה הוא סט המספרים הממשיים R. הניגודיות נקראת גם הגדרת ההגעה או הקודומין של הפונקציה f.

הדומיין הנגדי של פונקציה הוא תמיד R?

לא. כל עוד הפונקציה לא נלמדת בפירוט, היא נלקחת בדרך כלל כמערכת נגדית את קבוצת המספרים הריאליים.

אבל ברגע שהפונקציה נחקרת, ניתן להתייחס לקבוצה מתאימה יותר כאל תחום נגד, אשר יהיה תת-קבוצה של R.

הקבוצה המתאימה שהוזכרה בסעיף הקודם תואמת את התמונה של הפונקציה.

ההגדרה של התמונה או הטווח של פונקציה f מתייחסת לכל הערכים שמקורם בהערכת אלמנט של התחום ב- f.

דוגמאות

הדוגמאות הבאות ממחישות כיצד לחשב את תחום הפונקציה ואת התמונה שלה.

דוגמה 1

תנו f להיות פונקציה אמיתית מוגדרת על ידי f (x) = 2.

התחום של F הוא כל המספרים הריאליים כך, כאשר מוערכים ב F, התוצאה היא מספר אמיתי. הדומיין הנגדי כרגע שווה ל- R.

מאחר שהפונקציה הנתונה קבועה (תמיד שווה ל -2), אין זה משנה מה נבחר המספר האמיתי, שכן כאשר מעריכים אותו ב- f התוצאה תמיד תהיה שווה ל -2, שהיא מספר ממשי.

לכן, התחום של הפונקציה הנתונה הוא כל המספרים הממשיים; כלומר, R =.

עכשיו, כאשר ידוע כי התוצאה של הפונקציה היא תמיד שווה ל 2, יש לנו כי התמונה של הפונקציה היא רק מספר 2, ולכן הדלפק של הפונקציה ניתן להגדיר מחדש כמו B = Img (f) = 2.

לכן, f: R → 2.

דוגמה 2

תן g להיות פונקציה אמיתית מוגדרת על ידי g (x) = √x.

בעוד התמונה של g אינה ידועה, התחום הנגדי של g הוא B = R.

עם פונקציה זו עליך לקחת בחשבון כי השורשים הריבועיים מוגדרים רק עבור מספרים שאינם שליליים; כלומר, למספרים הגבוהים או שווים לאפס. לדוגמה, √-1 אינו מספר ממשי.

לכן, התחום של הפונקציה g חייב להיות כל המספרים הגדולים או שווים לאפס; זה, x ≥ 0.

לכן, A = [0, + ∞).

כדי לחשב את הטווח יש לציין כי כל תוצאה של g (x), להיות שורש ריבועי, תהיה תמיד גדולה או שווה לאפס. כלומר, B = [0, + ∞).

לסיכום, g: [0, + ∞) → [0, + ∞].

דוגמה 3

אם יש לנו את הפונקציה h (x) = 1 (x-1), יש לנו פונקציה זו אינה מוגדרת עבור x = 1, שכן במכנה אפס יתקבל והחלוקה באפס אינה מוגדרת.

מאידך גיסא, עבור כל ערך ממשי אחר התוצאה תהיה מספר ממשי. לכן, התחום הוא כל ריאל למעט אחד; כלומר, R = 1.

באותה דרך ניתן לראות כי הערך היחיד שלא ניתן להשיג כתוצאה מכך הוא 0, שכן עבור חלק שווה להיות אפס המונה חייב להיות אפס.

לכן, התמונה של הפונקציה היא קבוצה של כל ריאלס למעט אפס, ולכן הוא נלקח כמו תחום הדלפק B = R \ 0.

לסיכום, h: R \ 1 → R \ 0.

תצפיות

הדומיין והתמונה אינם חייבים להיות מאותה קבוצה, כפי שמוצג בדוגמאות 1 ו -3.

כאשר פונקציה היא זממו על המטוס קרטזית, התחום מיוצג על ידי ציר ה- X ואת תחום הדלפק או טווח מיוצג על ידי ציר Y.

הפניות

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). מתמטיקה. Pertice הול PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). פרלקולוס מתמטיקה: גישה לפתרון בעיות (2, עורך מאויר). מישיגן: אולם פרנטיס.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
4. לרסון, ר '(2010). פרלקולוס (8 אד.). Cengage למידה.
5. Leal, J. M., & Viloria, נ 'ג' (2005). שטוח גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצואלה ג.
6. Pérez, C. D. (2006). פרלקולוס. חינוך פירסון.
7. פרסל, א 'ג', ורברג, ד ', & ריגדון, ס' (2007). חישוב (התשיעי). פרנטיס הול.
8. Saenz, J. (2005). חשבון דיפרנציאלי עם פונקציות טרנסצנדנטליות מוקדמות למדע ולהנדסה (מהדורה שנייה ed.). Hypotenuse.
9. סקוט, א '(2009). גיאומטריה מטוס קרטזית, חלק: חידות אנליטיות (1907) (הדפס מחדש). מקור ברק.
10. סאליבן, מ. (1997). פרלקולוס. חינוך פירסון.