הכפלה עקרון ספירת טכניקות ודוגמאות



ה - עיקרון כפולי היא טכניקה המשמשת לפתרון בעיות ספירה כדי למצוא את הפתרון מבלי שיהיה צורך לרשום את מרכיביו. הוא ידוע גם כעיקרון הבסיסי של ניתוח קומבינטורי; מבוסס על הכפלה עוקבת כדי לקבוע כיצד אירוע יכול להתרחש.

עיקרון זה קובע כי אם החלטה (ד1) ניתן לנקוט בדרכים שונות והחלטה אחרת (ד2) ניתן לנקוט בדרכים, את המספר הכולל של דרכים בהן ניתן לקבל החלטות1 ד2 יהיה שווה להכפלה של n * מ. על פי העיקרון, כל החלטה נעשית בזה אחר זה: מספר דרכים = N1 * N2... * Nx דרכים.

אינדקס

  • 1 דוגמאות
    • 1.1 דוגמה 1
    • 1.2 דוגמה 2
  • 2 טכניקות ספירה
    • 2.1 עקרון התוספת
    • 2.2 עיקרון ההמרה
    • 2.3 עיקרון הצירוף
  • 3 תרגילים נפתרו
    • 3.1 מימוש 1
    • 3.2 תרגיל 2
  • 4 הפניות

דוגמאות

דוגמה 1

פאולה מתכננת ללכת לקולנוע עם החברים שלה, ולבחור את הבגדים היא תלבש, אני להפריד 3 חולצות 2 חצאיות. כמה דרכים יכולה פאולה להתלבש??

פתרון

במקרה זה, פאולה צריכה לקבל שתי החלטות:

ד1 = לבחור בין 3 חולצות = n

ד2 = בחר בין 2 חצאיות = m

ככה פאולה יש n * מ החלטות לעשות או דרכים שונות של ההלבשה.

n * מ = 3* 2 = 6 החלטות.

העיקרון הכפול נובע מהטכניקה של דיאגרמת העץ, שהיא תרשים המתייחס לכל התוצאות האפשריות, כך שכל אחת מהן יכולה להופיע מספר מוגבל של פעמים.

דוגמה 2

מריו היה צמא מאוד, אז הוא הלך למאפייה לקנות מיץ. לואיס עונה לו ואומר לו שיש לו שני גדלים: גדולים וקטנים; וארבעה טעמים: תפוח, תפוז, לימון וענבים. כמה דרכים מריו יכול לבחור את המיץ?

פתרון

בתרשים ניתן לראות כי מריו יש 8 דרכים שונות לבחור את המיץ וכי, כמו עקרון הכפל, תוצאה זו מתקבל על ידי הכפל של n*מ. ההבדל היחיד הוא כי באמצעות תרשים זה אתה יכול לדעת איך הן הדרכים שבהן מריו בוחר את המיץ.

מצד שני, כאשר מספר התוצאות האפשריות הוא גדול מאוד, זה מעשי יותר להשתמש עיקרון כפרי.

טכניקות ספירה

טכניקות ספירה הן שיטות המשמשות כדי לספור ישירות, ובכך לדעת את מספר הסדרים אפשריים כי אלמנטים של קבוצה נתון יכול להיות. טכניקות אלה מבוססות על מספר עקרונות:

עקרון התוספת

עיקרון זה קובע כי אם שני אירועים m ו- n לא יכולים להתרחש בו זמנית, מספר הדרכים שבהן האירוע הראשון או השני יכול להתרחש יהיה סכום m + n:

מספר טפסים = m + n ... + x צורות שונות.

דוגמה

אנטוניו רוצה לצאת לטיול אבל לא מחליט לאיזה יעד; בסוכנות התיירות בדרום הם מציעים לך קידום לנסוע לניו יורק או לאס וגאס, בעוד סוכנות התיירות המזרחית ממליצה לך לנסוע לצרפת, איטליה או ספרד. כמה חלופות נסיעות שונות לעשות אנטוניו להציע?

פתרון

עם סוכנות התיירות בדרום אנטוניו יש 2 חלופות (ניו יורק או לאס וגאס), ואילו עם סוכנות התיירות המזרחית יש 3 אפשרויות (צרפת, איטליה או ספרד). מספר החלופות השונות הוא:

מספר החלופות = m + n = 2 + 3 = 5 חלופות.

עקרון ההמרה

מדובר בהוראה ספציפית של כל האלמנטים המרכיבים את המערכת, כדי להקל על ספירת כל הסידורים האפשריים שניתן לעשות עם האלמנטים.

מספר התמורות של n אלמנטים שונים, נלקח בבת אחת, מיוצג כמו:

nעמ 'n = n!

דוגמה

ארבעה חברים רוצים לצלם ולרצות לדעת כמה צורות שונות ניתן להזמין.

פתרון

אתה רוצה לדעת את הסט של כל הדרכים האפשריות שבו 4 אנשים ניתן להציב את התמונה. אז, אתה צריך:

4עמ '4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 דרכים שונות.

אם מספר התמורות של n אלמנטים זמינים נלקח על ידי חלקים של קבוצה כי הוא נוצר על ידי אלמנטים r, הוא מיוצג כמו:

nעמ 'r 49 n! ÷ (n - r)!

דוגמה

בחדר הכיתה יש 10 עמדות. אם 4 תלמידים משתתפים בכיתה, בכמה דרכים שונות יכולים התלמידים לכבוש את העמדות?

פתרון

המספר הכולל של קבוצת הכיסאות הוא 10, ורק 4 אלה ישמשו. הנוסחה הנתונה מוחלת על מנת לקבוע את מספר התמורות:

nעמ 'ייצור = n! ÷ (n - r)!

10עמ '4 10 =! ÷ (10 - 4)!

10עמ '4 10 =! ÷ 6!

10עמ '4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 דרכים למלא את ההודעות.

ישנם מקרים בהם חלק מהאלמנטים הזמינים של קבוצה חוזרים על עצמם (הם אותו דבר). כדי לחשב את מספר הסידורים הנוטלים את כל האלמנטים בבת אחת, נעשה שימוש בנוסחה הבאה:

nעמ 'ייצור = n! ÷ n1!* n2!... נייצור!

דוגמה

כמה מילים שונות של ארבע אותיות יכולות להיווצר מהמילה "זאב"?

פתרון

במקרה זה יש לנו 4 אלמנטים (אותיות) אשר שניים מהם בדיוק אותו הדבר. החלת נוסחה נתונה, אנו יודעים כמה מילים שונות הן:

nעמ 'ייצור = n! ÷ n1!* n2!... נייצור!

4עמ '2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4עמ '2, 1, 1 = (4)*3*2*1) ÷ (2)*1)*1*1

4עמ '2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 מילים שונות.

עקרון השילוב

זה על תיקון כל או חלק מהאלמנטים היוצרים קבוצה ללא סדר מסוים. לדוגמה, אם יש לך מערך XYZ, זה יהיה זהה ZXY, YZX, ZYX מערכים, בין היתר; הסיבה לכך היא, שלמרות שלא להיות באותו הסדר, האלמנטים של כל סידור זהים.

כאשר יסודות מסוימים (r) של הסט (n) נלקחים, עקרון השילוב ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

nגr 49 n! ÷ (n - r)!!

דוגמה

בחנות הם מוכרים 5 סוגים שונים של שוקולד. כמה דרכים שונות אתה יכול לבחור 4 שוקולדים?

פתרון

במקרה זה אתה צריך לבחור 4 שוקולדים של 5 סוגים נמכר בחנות. סדר שבו הם נבחרו לא משנה, בנוסף, סוג של שוקולד ניתן לבחור יותר מאשר פעמיים. החלת הנוסחה, עליך:

nגייצור = n! ÷ (n - r)!!

5ג4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5ג4 = 5! ÷ (1)!!

5ג4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5ג4 = 120 = 24 = 5 דרכים שונות לבחירת 4 שוקולדים.

כאשר כל האלמנטים (r) של הסט (n) נלקחים, עקרון השילוב ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

nגn = n!

תרגילים נפתרים

תרגיל 1

יש לך צוות בייסבול עם 14 חברים. בכמה דרכים ניתן להקצות 5 עמדות למשחק?

פתרון

המערכת מורכבת מ -14 אלמנטים וברצונך להקצות 5 מיקומים ספציפיים; כלומר, סדר זה חשוב. נוסחת תמורה מוחלת כאשר n רכיבים זמינים נלקחים על ידי חלקים של קבוצה שנוצרה על ידי r.

nעמ 'r 49 n! ÷ (n - r)!

כאשר n = 14 ו- r = 5. הוא מוחלף בנוסחה:

14עמ '5 14 = ÷ (14 - 5)!

14עמ '5 14 = ÷ (9)!

14עמ '5 = 240 240 דרכים להקצות את 9 עמדות המשחק.

תרגיל 2

אם משפחה של 9 חברים הולך לטיול וקונה את הכרטיסים שלהם עם מושבים רצופים, כמה דרכים שונות הם יכולים לשבת?

פתרון

זה כ 9 אלמנטים אשר יתפוס 9 מנדטים ברצף.

עמ '9 = 9!

עמ '9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 דרכים שונות של ישיבה.

הפניות

  1. הופקינס, ב (2009). משאבים להוראת מתמטיקה בדידה: פרויקטים בכיתה, מודולי היסטוריה ומאמרים.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). מתמטיקה בדידה חינוך פירסון,.
  3. לוטפיה, ל 'א. (2012). פתרון סופי ומתמטי בדידות. עמותת מחקר וחינוך.
  4. Padroó, F. C. (2001). מתמטיקה בדידה פוליטק. של קטלוניה.
  5. שטיינר, א. (2005). מתמטיקה למדעים יישומיים. רוברט.