שיטת ריבוע מינימלי, תרגילי פתור ומה זה עובד

השיטה של ריבועים לפחות הוא אחד היישומים החשובים ביותר קירוב של פונקציות. הרעיון הוא למצוא עקומה כך, בהתחשב סט של זוגות הורה, פונקציה זו טוב יותר את הנתונים. הפונקציה יכולה להיות קו, עקומת ריבועית, עקומה מעוקבת וכו '..

הרעיון של השיטה הוא למזער את סכום הריבועים של ההבדלים בין הקווים (רכיב Y), בין הנקודות שנוצרו על ידי הפונקציה שנבחרה לבין הנקודות השייכות לנתונים.

אינדקס

• שיטה אחת לפחות ריבועים
• 2 תרגילים נפתרו
  • 2.1 מימוש 1
  • 2.2 תרגיל 2
• 3 מה זה??
• 4 הפניות

שיטה ריבועים לפחות

לפני מתן השיטה, עלינו תחילה להיות ברורים לגבי מה "גישה טובה יותר" פירושו. הבה נניח שאנו מחפשים קו y = b + mx שמייצג בצורה הטובה ביותר קבוצה של נקודות n, כלומר (x1, y1), (x2, y2) ... (xn, yn).

כפי שמוצג בתרשים הקודם, אם המשתנים x ו- y היו קשורים על ידי קו y = b + mx, עבור x = x1 הערך המקביל של y יהיה b + mx1. עם זאת, ערך זה שונה מהערך האמיתי של y, שהוא y = y1.

נזכיר כי במישור, המרחק בין שתי נקודות נתון על ידי הנוסחה הבאה:

עם זאת, כדי לקבוע כיצד לבחור את קו y = b + mx כי הטוב ביותר בקירוב נתונים נתון, זה הגיוני להשתמש הבחירה של הקו הממזער את סכום הריבועים של המרחקים בין הנקודות כקריטריונים ואת ישר.

מאחר והמרחק בין הנקודות (x1, y1) ו- (x1, b + mx1) הוא y1 (b + mx1), הבעיה שלנו מצטמצמת למציאת מספרים m ו- b כך שהסכום הבא הוא מינימלי:

השורה שעומדת בתנאי זה מכונה "קירוב של קו הריבועים לפחות לנקודות (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn)".

לאחר שהבעיה נפתרה, אנחנו פשוט צריכים לבחור שיטה למצוא את הכי פחות ריבועים קירוב. אם הנקודות (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) הן על הקו y = mx + b, היינו צריכים להיות קוליניאריים ו:

בביטוי זה:

לבסוף, אם הנקודות אינן קוליניאריות, אז y-Au = 0 והבעיה יכולה להיות מתורגמת למציאת וקטור או כך שהנורמה האוקלידית מינימלית.

מציאת וקטור מזעור לא קשה כמו שאתה יכול לחשוב. מאז A הוא מטריקס nx2 ו u הוא מטריצה ​​2 × 1, יש לנו כי וקטור Au הוא וקטור ב Rⁿ והוא שייך לדימוי של A, שהוא תת-מרחב של Rⁿ עם מימד לא יותר משניים.

נניח כי n = 3 כדי להראות איזה הליך יש לעקוב. אם n = 3, התמונה של A תהיה מטוס או קו שעובר דרך המקור.

תן V להיות וקטור מזעור. בתרשים אנו רואים כי y- Au ממוזער כאשר הוא אורתוגונלי לתמונה של A. כלומר, אם V הוא וקטור למזער, ואז זה קורה כי:

לאחר מכן, אנו יכולים להביע את האמור לעיל בדרך זו:

זה יכול לקרות רק אם:

לבסוף, ניקוי V, אנחנו צריכים:

אפשר לעשות זאת מאז א^tA הוא הפיך כל עוד הנקודות הנתונות כנתונים אינם קוליניאריים.

עכשיו, אם במקום לחפש קו אנחנו רוצים למצוא פרבולה (שהבעתו תהיה של y = a + bx + cx²) אשר היה קירוב טוב יותר את נקודות הנתונים n, ההליך יהיה כמתואר להלן.

אם הנתונים n נקודות היו פרבולה אמר, זה היה צריך:

ואז:

באופן דומה אנו יכולים לכתוב y = Au. אם כל הנקודות הן לא פרבולה, יש לנו y- Au שונה מאפס עבור כל וקטור U הבעיה שלנו היא שוב: למצוא וקטור U ב R3 כך הנורמה שלה || y-Au || להיות קטן ככל האפשר.

על ידי חזרה על ההליך הקודם, אנו יכולים להגיע אל הווקטור שמחפש:

תרגילים נפתרים

תרגיל 1

מצא את הקו המתאים ביותר נקודות (1,4), (-2,5), (3, -1) ו (4,1).

פתרון

אנחנו חייבים:

ואז:

לכן, אנו מסיקים כי הקו המתאים ביותר נקודות ניתנת על ידי:

תרגיל 2

נניח כי אובייקט הוא ירד מגובה של 200 מ '. תוך כדי נפילה, הצעדים הבאים נלקחים:

אנו יודעים כי גובה האובייקט אמר, לאחר שעבר זמן t, ניתנת על ידי:

אם ברצוננו להשיג את הערך של g, נוכל למצוא פרבולה שהיא קירוב טוב יותר לחמש הנקודות המופיעות בטבלה, ולכן היינו מקבלים את המקדם המלווה² זה יהיה קירוב סביר (-1 / 2) גרם אם המדידות מדויקות.

אנחנו חייבים:

ואז:

לכן נקודות הנתונים מותאמות לפי הביטוי הריבועי הבא:

לאחר מכן, עליך:

זהו ערך קרוב באופן סביר לזה הנכון, שהוא g = 9.81 m / s². על מנת לקבל קירוב מדויק יותר של g יהיה צורך להתחיל תצפיות מדויקות יותר.

בשביל מה??

בבעיות המתרחשות במדעי הטבע או החברתי נוח לכתוב את היחסים המתרחשים בין משתנים שונים באמצעות ביטוי מתמטי כלשהו.

לדוגמה, אנו יכולים להתייחס עלות (ג), הכנסה (I) ורווחים (U) בכלכלה באמצעות נוסחה פשוטה:

בפיזיקה, אנו יכולים להתייחס להאצה הנגרמת על ידי כוח הכבידה, הזמן שבו חפץ נופל וגובה החפץ על פי חוק:

בביטוי הקודם s_o הוא הגובה הראשוני של אותו אובייקט ו- v_o היא המהירות הראשונית שלך.

עם זאת, מציאת נוסחאות כאלו אינה משימה פשוטה; בדרך כלל זה תלוי מקצועי על החובה לעבוד עם נתונים רבים שוב ושוב לבצע מספר ניסויים (על מנת לוודא כי התוצאות המתקבלות הן קבועות) כדי למצוא יחסים בין הנתונים השונים.

דרך נפוצה להשיג זאת היא לייצג את הנתונים המתקבלים במטוס כנקודות ולחפש פונקציה רציפה המתקרבת לנקודות אלו בצורה אופטימלית.

אחת הדרכים למצוא את הפונקציה "הקרובה ביותר" הנתונים הנתון היא בשיטת הריבועים לפחות.

בנוסף, כפי שראינו גם בתרגיל, הודות לשיטה זו אנו יכולים לקבל קירובים די קרוב קבועים פיזית.

הפניות

1. צ 'ארלס W קרטיס אלגברה לינארית. שפרינגר - ולרג
2. קאי לאי צ'אנג תורת ההסתברות הראשונית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו-יורק
3. ריצ'רד L Burden & J.Douglas יריד. ניתוח נומרי (7ed). תומפסון למידה.
4. סטנלי גרוסמן. יישומים של אלגברה ליניארית. מקגראו-היל / אינטרמריקנה מקסיקו
5. סטנלי גרוסמן. אלגברה ליניארית מקגראו-היל / אינטרמריקנה מקסיקו