מאפיינים, סוגי ודוגמאות

ה הומוטציה הוא שינוי גיאומטרי במטוס שבו, מנקודה קבועה הנקראת מרכז (O), המרחקים מוכפלים גורם משותף. בדרך זו, כל נקודה P מתאים לנקודה אחרת P 'המוצר של השינוי, ואלו מיושרים עם נקודת O.

ואז מרחיב היא התכתבות בין שתי צורות הנדסיות, ולהיכן טרנספורמציה נקראים homothetic, ואת אלה מיושרים עם נקודה קבועה וקטעים מקבילים.

אינדקס

• 1 הומוטציה
• 2 מאפיינים
• 3 סוגים
  • 3.1 הומוטציה ישירה
  • 3.2 הפוך הומוטי
• 4 הרכב
• 5 דוגמאות
  • 5.1 דוגמה ראשונה
  • 5.2 דוגמה שנייה
• 6 הפניות

הומוטי

ההומאוטיות היא טרנספורמציה שאין לה תמונה חופפת, מכיוון שמספר אחד או יותר של מספרים גדולים או קטנים יותר מן הדמות המקורית יתקבלו; כלומר, ההומוטציה הופכת מצולע לזה אחר.

מרחיב לתאימות צריכה להתאים לנקודה וקו ישר, כך זוגות נקודות הומולוגיות מיושרים עם נקודה קבועה שלישית, המהווה את המרכז של homotecia.

כמו כן, זוגות השורות המצטרפים אליהם חייבים להיות מקבילים. הקשר בין מגזרים אלה הוא קבוע הנקרא יחס ההומוטי (k); באופן שבו ניתן להגדיר את ההומוטות כ:

כדי להפוך את זה סוג של טרנספורמציה אתה מתחיל על ידי בחירת נקודה שרירותית, אשר יהיה מרכז ההומוטה.

מנקודה זו, מקטעי קו מצוירים עבור כל קודקוד של הדמות שיש להפוך. קנה המידה שבו מתרבת הדמות החדשה נעשה על ידי הסיבה של ההומוטות (k).

מאפיינים

אחד המאפיינים העיקריים של ההומוטציה הוא, שבגלל ההומוטות (k), כל הדמויות ההומוטיות דומות. בין שאר הנכסים הבולטים הם:

- מרכז ההומוטה (O) הוא הנקודה הכפולה היחידה והיא הופכת את עצמה; כלומר, זה לא משתנה.

- הקווים העוברים במרכז משתנים (הם כפולים), אבל הנקודות שמרכיבות אותו אינן כפולות.

- המיצרים שאינם עוברים במרכז הופכים לקווים מקבילים; בדרך זו, זוויות ההומוטותיות נשארות כשהן.

- הדימוי של לפלח לפי יחס homothetic של מרכז O ו- K הוא מקביל במגזר ואורכו הוא פעמים k. לדוגמה, כפי שניתן לראות בתמונה הבאה, homotecia תוצאה קטע AB אחר A'B קטע "כך AB מקביל A'B" ו- K להיות:

- זוויות הומוטיות הולמות; כלומר, יש להם אותה מידה. לכן, הדימוי של זווית הוא זווית שיש לה אותה משרעת.

מאידך גיסא, ההומאוטיות משתנה בהתאם לערכו של היחס (k), והמקרים הבאים עשויים להתרחש:

- אם קבוע k = 1, כל הנקודות קבועים כי הם הופכים את עצמם. כך, הדמות ההומוטטית עולה בקנה אחד עם המקור והשינוי ייקרא פונקציית הזהות.

- אם k, 1, הנקודה הקבועה היחידה תהיה מרכז ההומוטות (O).

- אם k = -1, ההומוטציה הופכת לסימטריה מרכזית (C); כלומר, סיבוב סביב C יתרחש בזווית של 180^o.

- אם k> 1, גודל הדמות שהשתנתה יהיה גדול מגודלו המקורי.

- כן 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- כן -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- אם k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

סוגים

ההומוטות ניתן גם לסווג לשני סוגים, בהתאם לערך היחס שלו (k):

הומוטציה ישירה

זה קורה אם הקבוע k> 0; כלומר, הנקודות ההומוטטיות נמצאות באותו צד ביחס למרכז:

גורם המידתיות או יחס הדמיון בין דמויות הומוטטיות ישירות יהיה תמיד חיובי.

הפוך הומוטטי

זה קורה אם k קבוע < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

גורם המידתיות או היחס בין הדמיון ההומוטטי יהיה תמיד שלילי.

הרכב

כאשר מספר תנועות נעשות ברצף עד קבלת דמות שווה המקורי, הרכב של תנועות מתרחשת. הרכב של כמה תנועות הוא גם תנועה.

ההרכב בין שתי הומוטקיות גורם להומוטציה חדשה; כלומר, יש לנו מוצר הומוטטי שבו המרכז יהיה מיושר עם המרכז של שתי טרנספורמציות המקורי, ואת היחס (k) הוא תוצר של שתי סיבות.

לכן, בהרכב של שתי הומוטציות H₁(אור₁, k₁) ו- H₂(אור₂, k₂), הכפלת הסיבות שלך: k₁ x k₂ = 1 תביא להומוטציה של יחס k₃ = K₁ x k₂. מרכז ההומוטציה החדשה הזאת (O₃) יהיה ממוקם על O ישר₁ הו₂.

ההומוטה תואמת שינוי שטוח ובלתי הפיך; אם שתי הומוטזות מוחלות על אותו מרכז ויחס, אך עם סימן שונה, הדמות המקורית תתקבל.

דוגמאות

דוגמה ראשונה

החלת homothety על מצולע במרכז נתון (O), הממוקם 5 ס"מ מנקודה A ויחסם הוא k = 0.7.

פתרון

כל נקודה נבחרת כמרכז ההומוטות, ומקרן זו מצוירים על ידי קודקודי הדמות:

המרחק מהמרכז (O) לנקודה A הוא OA = 5; עם זאת אתה יכול לקבוע את המרחק של אחת הנקודות ההומוטטיות (OA) בידיעה גם כי k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

התהליך יכול להיעשות על כל קודקוד, או שאתה יכול גם לצייר את המצולע ההומוטטי לזכור כי שני המצולעים יש צדדים מקבילים:

לבסוף, השינוי נראה כך:

דוגמה שנייה

החלת homothety על מצולע במרכז נתון (O), הממוקם 8.5 ס"מ מנקודה C אשר יחס y k = -2.

פתרון

המרחק מהמרכז (O) לנקודה C הוא OC = 8.5; עם נתונים אלה ניתן לקבוע את המרחק של אחת הנקודות ההומוטטיות (OC), בידיעה גם כי k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

לאחר ציור החלקים של הקודקודים של המצולע שהפך, יש לנו את הנקודות הראשוניות ואת ההומוטות שלהם נמצאים בקצה הנגדי ביחס למרכז:

הפניות

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). ציור טכני: מחברת פעילויות.
2. אנטוניו אלווארז דה לה רוזה, י 'ל. (2002). זיקה, הומולוגיה והומוטה.
3. Baer, ​​R. (2012). אלגברה לינארית וגיאומטריה פרויקטיבית. תאגיד שליח.
4. Hebert, י '(1980). מתמטיקה כללית, הסתברויות וסטטיסטיקות.
5. Meserve, B. E. (2014). מושגים יסוד של גיאומטריה. תאגיד שליח.
6. נחבין, ל '(1980). מבוא לאלגברה. רוברט.