שיטות פקטוריזציה ודוגמאות

ה גורם היא שיטה שבאמצעותה פולינום מתבטא בצורה של כפל של גורמים, אשר יכול להיות מספרים, אותיות או שניהם. כדי לגבש את הגורמים המשותפים לתנאים מקובצים, ובדרך זו הפולינום מפורקת למספר פולינומים.

לכן, כאשר הגורמים להכפיל אחד את השני התוצאה היא פולינום המקורי. Factoring היא שיטה שימושית מאוד כאשר יש לך ביטויים אלגבריים, כי זה יכול להיות המרה לכפל של כמה מונחים פשוטים; לדוגמה: 2 א² + 2ab = 2a _* (a + b).

ישנם מקרים בהם פולינום לא יכול להיות factored כי אין גורם משותף בין התנאים שלה; לפיכך, אלה ביטויים אלגבריים מתחלקים רק בינם לבין 1. לדוגמה: x + y + z.

בביטוי אלגברי הגורם המשותף הוא המחלק הנפוץ ביותר של המונחים שמרכיבים אותו.

אינדקס

• 1 שיטות פקטורינג
  • 1.1 פקטורינג לפי גורם נפוץ
  • 1.2 דוגמה 1
  • 1.3 דוגמה 2
  • 1.4 פקטורינג לפי קיבוץ
  • 1.5 דוגמה 1
  • 1.6 פקטורינג על ידי בדיקה
  • 1.7 דוגמה 1
  • 1.8 דוגמה 2
  • 1.9 פקטורינג במוצרים יוצאי דופן
  • 1.10 דוגמה 1
  • 1.11 דוגמה 2
  • 1.12 דוגמה 3
  • 1.13 פקטורינג עם שלטון Ruffini
  • 1.14 דוגמה 1
• 2 הפניות

שיטות פקטורינג

ישנן מספר שיטות factoring, אשר מוחלים בהתאם למקרה. כמה מהם הם כדלקמן:

פקטורינג לפי גורם נפוץ

בשיטה זו, אלה גורמים משותפים מזוהים; כלומר, אלה חוזרים על עצמם במונחים של הביטוי. אז הרכוש חלוקה מוחל, המחלק המשותף המקסימלי יוסר ואת factorization הושלמה.

במילים אחרות, הגורם המשותף של הביטוי מזוהה וכל מונח מחולק בינו לבין זה; המונחים המתקבלים יוכפלו בגורם הנפוץ ביותר שיבטא את הגורמים.

דוגמה 1

פקטור (b²x) + (b²y).

פתרון

ראשית יש את הגורם המשותף של כל מונח, אשר במקרה זה הוא ב², ולאחר מכן את התנאים מחולקים בין גורם משותף כדלקמן:

(ב)²x) / b² = x

(ב)²y) / b² = y.

הפקטורציה באה לידי ביטוי, הכפלת הגורם המשותף על ידי התנאים הבאים:

(ב)²x) + (b²y) = b² (x + y).

דוגמה 2

פקטור (2a)².ב³) + (3ab²).

פתרון

במקרה זה יש לנו שני גורמים שחוזרים על עצמם בכל מונח שהם "a" ו- "b", וכי הם מורמים לכוח. כדי לגבש אותם, תחילה שני המונחים נשברים לתוך הטופס הארוך שלהם:

2_*א_*א_*.ב_*.ב_*b + 3a_*.ב_*.ב

ניתן לראות כי הגורם "א" חוזר על עצמו פעם אחת בלבד בכהונה השנייה, והגורם "b" חוזר על עצמו פעמיים; אז במונח הראשון יש רק 2, גורם "א" ו "ב"; ואילו בתקופת כהונה שנייה יש רק 3.

לכן, אנו כותבים את פעמים כי "א" ו "ב" חוזרים על עצמם מוכפל על ידי הגורמים שנותרו מכל מונח, כפי שניתן לראות בתמונה:

פקטור על ידי קיבוץ

כפי שלא בכל המקרים המחלק המשותף המקסימלי של פולינום מתבטא בבירור, יש צורך לעשות צעדים אחרים כדי להיות מסוגל לשכתב את הפולינום ובכך גורם.

אחד השלבים הבאים הוא לקבץ את תנאי הפולינום למספר קבוצות, ולאחר מכן להשתמש בשיטת גורם משותף.

דוגמה 1

פקטור AC + bc + מודעת + bd.

פתרון

ישנם 4 גורמים שבהם שני נפוצים: ב המונח הראשון הוא "ג" ובשני הוא "ד". בדרך זו שני המונחים מקובצים ומופרדים:

(ac + bc) + (מודעה + bd).

עכשיו אפשר ליישם את שיטת גורם משותף, מחלק כל מונח על ידי גורם משותף שלה ולאחר מכן הכפלת זה גורם משותף על ידי התנאים שהתקבלו, כך:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

עכשיו אתה מקבל binomial כי הוא נפוץ עבור שני המונחים. גורם זה מוכפל בגורמים הנותרים; ככה אתה צריך:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

פקטור על ידי בדיקה

שיטה זו משמש גורם פולינומים ריבועית, המכונה גם trinomials; כלומר, אלה מובנים כמו גרזן² ± bx + c, כאשר הערך של "a" שונה מ 1. שיטה זו משמשת גם כאשר trinomial יש את הטופס x² ± bx + c ואת הערך של "a" = 1.

דוגמה 1

פקטור x² + 5x + 6.

פתרון

יש לך trinomial ריבועי של הטופס x² ± bx + c. כדי לגבש אותו תחילה יש למצוא שני מספרים שכאשר מוכפלים, יש לתת את הערך של "c" ​​(כלומר, 6) וכי הסכום שלה שווה למקדם "b", שהוא 5. מספרים אלה הם 2 ו 3 You

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

בדרך זו, הביטוי הוא פשוט כך:

(x² + 2x) + (3x + 6)

כל מונח הוא factored:

- עבור (x² + 2x) מונח משותף מופק: x (x + 2)

- עבור (3x + 6) = 3 (x + 2)

כך נשאר הביטוי:

x (x +2) + 3 (x +2).

כפי שיש לך בינומי משותף, כדי להפחית את הביטוי להכפיל את זה במונחים עודפים ואתה צריך:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

דוגמה 2

פקטור 4 א² + 12a + 9 = 0.

פתרון

יש לך trinomial ריבועי של גרזן הטופס² ± bx + c וכדי להפוך את כל הביטוי מוכפל במקדם x²; במקרה זה, 4.

4 א² + 12a +9 = 0

4 א² (4) + 12 א (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 א² + 12a (4) + 36 = 0

4² א² + 12a (4) + 36 = 0

כעת אנו חייבים למצוא שני מספרים, שכאשר מכפילים יחד, נותנים כתוצאה מכך את הערך של "c" ​​(שהוא 36) וכי כאשר מוסיפים יחד לגרום מקדם של המונח "א", אשר 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12 =.

בדרך זו הביטוי משוכפל, תוך התחשבות בכך² א² = 4 א _* 4 א. לפיכך, הרכוש החלוקתי מוחל על כל מונח:

(4a + 6) _* (4a + 6).

לבסוף, הביטוי מחולק במקדם של²; כלומר, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* (4a + 6) / 2).

הביטוי הוא כדלקמן:

4 א² + 12a +9 = (2a +3) _* (2 + 3).

פקטורינג עם מוצרים יוצאי דופן

ישנם מקרים בהם, כדי גורם את הפולינומים עם השיטות הקודמות, זה הופך להיות תהליך ארוך מאוד.

לכן הביטוי יכול להתפתח עם הנוסחאות של המוצרים המופלאים ולכן התהליך הופך להיות פשוט יותר. בין המוצרים הבולטים ביותר הם:

- הפרש בין שני ריבועים: (א² - .ב²) = (א - ב) _* (a + b)

- ריבוע מושלם של סכום: א² + 2ab + b² = (a + b)²

- ריבוע מושלם של הבדל: א² - 2ab + b² = (a - b)²

- הבדל בין שתי קוביות: א³ - .ב³ = (a-b)_*(א)² + ab + b²)

- סכום של שתי קוביות: א³ - .ב³ = (a + b) _* (א)² - ab + b²)

דוגמה 1

גורם (5)² - x²)

פתרון

במקרה זה יש הבדל של שני ריבועים; לכן, הנוסחה של המוצר יוצא דופן מוחל:

(א)² - .ב²) = (א - ב) _* (a + b)

(5)² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

דוגמה 2

פקטור 16x² + 40x + 25²

פתרון

במקרה זה יש לנו ריבוע מושלם של סכום, כי אנחנו יכולים לזהות שני מונחים בריבוע, ואת המונח הנותר הוא תוצאה של הכפלת שני על ידי השורש הריבועי של המונח הראשון, על ידי השורש הריבועי של המונח השני.

א² + 2ab + b² = (a + b)²

כדי גורם, רק השורשים הריבועיים של המונחים הראשון והשלישי מחושבים:

√ (16x²) = 4x

√ (25)²) = 5.

אז שני המונחים המתקבלים מופרדים על ידי סימן הפעולה, ואת כל הפולינום הוא בריבוע:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

דוגמה 3

פקטור 27 א³ - .ב³

פתרון

הביטוי מייצג חיסור שבו שני גורמים מועלים לקובייה. כדי למקד אותם, מוחלת הנוסחה של המוצר הבולט של הפרש הקוביה, שהיא:

א³ - .ב³ = (a-b)_*(א)² + ab + b²)

לכן, כדי למקם, השורש המעוקב של כל מונח של בינומי הוא מחולץ מוכפל בכיכר של המונח הראשון, בתוספת תוצר של הראשון על ידי המונח השני, בתוספת המונח השני על ידי הכיכר.

27 א³ - .ב³

³√ (27 א³) = 3 א

³√ (-b³) = -b

27 א³ - .ב³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27 א³ - .ב³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

פקטורינג עם שלטונו של רופיני

שיטה זו משמשת כאשר יש לך פולינום של תואר יותר משניים, על מנת לפשט את הביטוי למספר פולינומים של פחות תואר.

דוגמה 1

פקטור Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

פתרון

ראשית לחפש את המספרים כי הם מחלקים של 12, שהוא מונח עצמאי; אלה הם ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ו ± 12.

לאחר מכן x מוחלף על ידי ערכים אלה, מהנמוך ביותר לגבוה ביותר, ולכן הוא קובע עם אילו הערכים החטיבה תהיה מדויקת; כלומר, השאר חייב להיות 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

וכן הלאה עבור כל מחלק. במקרה זה, הגורמים שנמצאו הם עבור x = -1 ו- x = 2.

כעת מיושמת שיטת Ruffini, לפיה מקדמי הביטוי יחולקו בין הגורמים שנמצאו עבור הדיביזיה. תנאי הפולינום מסודרים מהמעריך הגבוה ביותר לנמוך ביותר; במקרה בו חסר מונח עם התואר הבא ברצף חסר, 0 הוא הניח במקומו.

המקדמים ממוקמים בתכנית כפי שמוצג בתמונה הבאה.

המקדם הראשון מוריד ומוכפל על ידי המחלק. במקרה זה, המחלק הראשון הוא -1, והתוצאה מוצבת בעמודה הבאה. אז הערך של מקדם מתווסף אנכית עם תוצאה זו הושג והתוצאה ממוקמת להלן. כך התהליך חוזר על עצמו עד העמודה האחרונה.

אז אותו נוהל חוזר שוב, אבל עם המחלק השני (שהוא 2) כי הביטוי עדיין יכול להיות פשוט.

לכן, עבור כל שורש שהושג, פולינום יהיה מונח (x - a), כאשר "א" הוא הערך של השורש:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

מצד שני, תנאים אלה חייבים להיות מוכפלים בשאר של Ruffini שלטון 1: 1 ו -6, שהם גורמים המייצגים ציון. בדרך זו הביטוי שנוצר הוא: (x² + x - 6).

קבלת התוצאה של גורמי הפולינום בשיטת Ruffini היא:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

לסיום, הפולינום של תואר 2 המופיע בביטוי הקודם יכול להיות משוכפל כ- (x + 3) (x-2). לכן, הגורם הסופי הוא:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

הפניות

1. ארתור גודמן, ל. ח. (1996). אלגברה ו טריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. חינוך פירסון.
2. J, V. (2014). כיצד ללמד ילדים על פקטורינג כדי פולינום.
3. מנואל מורילו, א 'ס' (s.f.). בסיסי במתמטיקה עם יישומים.
4. Roelse, P. L. (1997). שיטות ליניאריות לפקטור פולינומי על פני תחומים סופיים: תיאוריה ומימושים. אוניברסיטה.
5. Sharpe, D. (1987). טבעות ופקטוריזציה.