משוואות פולינומיות (עם תרגילי פתור)

ה משוואות פולינומיות הם הצהרה המעלה את השוויון בין שני ביטויים או חברים, שבהם לפחות אחד מהמונחים המרכיבים כל צד של שוויון הם פולינומים P (x). משוואות אלה נקראות על פי מידת המשתנים שלהן.

באופן כללי, משוואה היא הצהרה הקובעת את השוויון של שני ביטויים, כאשר לפחות באחד מהם יש כמויות לא ידועות, הנקראות משתנים או לא ידועים. אמנם יש סוגים רבים של משוואות, הם מסווגים בדרך כלל לשני סוגים: אלגברי טרנסצנדנטי.

משוואות פולינום מכילות ביטויים אלגבריים בלבד, שעשויה להיות נעלם אחד או יותר מעורב במשוואה. על פי המעריך (תואר) הם מקיימים ניתן לסווג מדרגה ראשונה (ליניארי), מדרגה שנייה (ריבועית), תואר שלישי (מעוקב), בכיתה ד '(quartic) של תואר גדול או שווה ל חמש ולא רציונלית.

אינדקס

• 1 מאפיינים
• 2 סוגים
  • 2.1 כיתה א '
  • 2.2 תואר שני
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 ציון גבוה יותר
• 3 תרגילים נפתרו
  • 3.1 תרגיל ראשון
  • 3.2 תרגיל שני
• 4 הפניות

תכונות

משוואות פולינומיות הן ביטויים הנוצרים על ידי שוויון בין שני פולינומים; כלומר על ידי סכומי ההשלכות הסופיות בין ערכים שאינם ידועים (משתנים) ומספרים קבועים (מקדמים), כאשר למשתנים יש יכולות, וערכם יכול להיות מספר שלם חיובי, כולל אפס.

המעריכים קובעים את המידה או את סוג המשוואה. מונח זה של הביטוי שיש לו את הערך הגבוה ביותר המעריך ייצג את התואר המוחלט של הפולינום.

משוואות פולינומיות ידועות גם בשם משוואות אלגבריות, המקדמים שלהן יכולים להיות מספרים אמיתיים או מורכבים ומשתנים הם מספרים לא ידועים המיוצגים על ידי אות, כגון: "x".

אם החלפת ערך למשתנה "x" P (x) התוצאה היא אפס (0), אזי נאמר כי ערך זה עונה על המשוואה (זה פתרון), ובדרך כלל נקרא שורש של פולינום.

כאשר משוואה פולינומית מפותחת, אתה רוצה למצוא את כל השורשים או פתרונות.

סוגים

ישנם מספר סוגים של משוואות פולינומיות, אשר מובחנות על פי מספר המשתנים, וגם על פי מידת המעריך שלהם.

לפיכך, משוואות פולינום, שבו המונח הראשון הוא פולינום כי יש אחד ידוע, ואילו התואר שלהם יכול להיות כל מספר טבעי (n) והמונח השני הוא אפס, יכול לבוא לידי ביטוי באופן הבא:

א_{n *} xⁿ + א_{n-1 *} x^n-1 +... + א_{1 *} x¹ + א_{0 *} x₀ = 0

היכן

- א_n, א_n-1 א₀, הם מקדמים אמיתיים (מספרים).

- א_n זה שונה מאפס.

- N מעריך הוא מספר שלם חיובי המייצג את מידת המשוואה.

- x הוא משתנה או לא ידוע כי יש לחפש.

המידה המוחלטת או הגדולה יותר של משוואה פולינומית היא זו של מעריך בעל ערך רב יותר בין כל אלה המרכיבים את הפולינום; כך המשוואות מסווגות כ:

כיתה א '

משוואות פולינום מהדרגה הראשונה, המכונות גם משוואות ליניאריות, הם אלה שבם התואר (המעריך הגדול) שווה 1, הפולינום הוא מצורת P (x) = 0; והיא מורכבת ממונח ליניארי ומונח עצמאי. כתוב כך:

ax + b = 0.

היכן

- a ו- b הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0.

- הגרזן הוא מונח ליניארי.

- ב הוא המונח העצמאי.

לדוגמה, המשוואה 13x - 18 = 4x.

כדי לפתור משוואות לינאריות יש להעביר את כל המונחים המכילים את x הלא ידוע לצד אחד של השוויון, ואלה שאין להם מועברים לצד השני, כדי לנקות אותו ולקבל פתרון:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

בדרך זו, למשוואה הנתונה יש פתרון יחיד או שורש, שהוא x = 2.

כיתה ב '

משוואות פולינום מדרגה שנייה, המכונה גם משוואות ריבועיות, הם אלה שבהם תואר (המעריך הגדול) שווה 2, הפולינום הוא מהצורה P (x) = 0, והיא מורכבת מונח ריבועית , אחד ליניארי ואחד עצמאי. זה בא לידי ביטוי כדלקמן:

גרזן² + bx + c = 0.

היכן

- a, b ו- c הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0.

- גרזן² הוא המונח הריבועי, ו- "a" הוא מקדם המונח הריבועי.

- bx הוא המונח הלינארי, ו- "b" הוא מקדם המונח הליניארי.

- c הוא המונח העצמאי.

Resolvent

בדרך כלל, הפתרון לסוג זה של משוואות ניתן על ידי ניקוי x מהמשוואה, והוא נשאר כדלקמן, אשר נקרא פותר:

שם, (ב² - 4ac) נקראת המפלה של המשוואה, וביטוי זה קובע את מספר הפתרונות שיש למשוואה:

- כן (ב² - 4ac) = 0, למשוואה יהיה פתרון יחיד כפול; כלומר, יהיו לך שני פתרונות שווים.

- כן (ב² - 4ac)> 0, למשוואה יהיו שני פתרונות אמיתיים שונים.

- כן (ב² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

לדוגמה, יש לך את המשוואה 4x² + 10x - 6 = 0, כדי לפתור אותה, תחילה לזהות את התנאים a, b ו- c ולאחר מכן להחליף אותו בנוסחה:

= 4

b = 10

c = -6.

יש מקרים שבהם משוואות פולינומיות של התואר השני אינן כוללות את שלושת המונחים, ולכן הם נפתרים אחרת:

- במקרה של משוואות ריבועיות אין את המונח הלינארי (כלומר, b = 0), המשוואה תתבטא בגרזן² + c = 0. כדי לפתור אותה, היא מסומנת x² ואת השורשים הריבועיים מוחלים בכל חבר, לזכור כי שני הסימנים האפשריים כי הלא ידוע נחשבים:

גרזן² + c = 0.

x² = - c ÷ a

לדוגמה, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ 220 -2.

- כאשר למשוואה הריבועית אין מונח עצמאי (כלומר, c = 0), המשוואה תתבטא בגרזן² + bx = 0. כדי לפתור את זה, אנחנו חייבים לחלץ את הגורם המשותף של x לא ידוע של החבר הראשון; מאחר שהמשוואה שווה לאפס, נכון שלפחות אחד מהגורמים יהיה שווה ל 0:

גרזן² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

בדרך זו, עליך:

x = 0.

x = -b ÷ a.

לדוגמה: יש לך את המשוואה 5x² + 30x = 0. גורם ראשון:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

שני גורמים נוצרים כי הם x ו (5x + 30). זה נחשב כי אחד מהם יהיה שווה לאפס ואת הפתרון השני יינתן:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = 30

x = -30 ÷ 5

x₂ 49 -4.

תואר ראשון

המשוואות הפולינומיות בעלות דרגה גבוהה יותר הן אלו שעולות מן התואר השלישי ואילך, שניתן לבטא או לפתור באמצעות המשוואה הפולינומית הכללית בכל דרגה:

א_{n *} xⁿ + א_{n-1 *} x^n-1 +... + א_{1 *} x¹ + א_{0 *} x₀ = 0

זה משמש כי משוואה עם תואר יותר משניים הוא תוצאה של גורם של פולינום; כלומר, היא באה לידי ביטוי ככפל של פולינומים של תואר אחד או יותר, אבל ללא שורשים אמיתיים.

הפתרון של סוג זה של משוואות הוא ישיר, כי הכפל של שני גורמים יהיה שווה לאפס אם כל הגורמים הוא null (0); לכן, כל משוואות פולינומיות נמצא חייב להיות נפתרה, התאמת כל אחד מהגורמים שלה לאפס.

לדוגמה, יש לך את המשוואה של תואר שלישי (מעוקב) x³ + x² +4x + 4 = 0. כדי לפתור אותה, יש לבצע את השלבים הבאים:

- התנאים מקובצים:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- הגפיים נשברות למטה כדי לקבל את הגורם המשותף של הלא ידוע:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- בדרך זו, שני גורמים מתקבלים, אשר חייב להיות שווה לאפס:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- ניתן לראות כי הגורם (x² + 4) = 0 לא יהיה פתרון אמיתי, ואילו גורם (x + 1) = 0 כן. לכן הפתרון הוא:

(x + 1) = 0

x = -1.

תרגילים נפתרים

פתרו את המשוואות הבאות:

תרגיל ראשון

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

פתרון

במקרה זה המשוואה באה לידי ביטוי ככפל של פולינומים; כלומר, זה factored. כדי לפתור אותה, כל גורם חייב להיות שווה לאפס:

- 2x² + 5 = 0, אין פתרון.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

לכן, למשוואה הנתונה שני פתרונות: x = 3 ו- x = -1.

תרגיל שני

x⁴ - 36 = 0.

פתרון

הוא קיבל פולינום, אשר יכול להיות rewritten כהבדל של ריבועים להגיע לפתרון מהיר יותר. לפיכך, המשוואה נותרה:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

כדי למצוא את הפתרון של המשוואות, שני הגורמים שווים לאפס:

(x² + 6) = 0, אין פתרון.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

לכן, למשוואה הראשונית יש שני פתרונות:

x = √ 6.

x = - √6.

הפניות

1. Andres, T. (2010). מתמטיקה אולימפיאדת טרזורה. שפרינגר. ניו יורק.
2. אנג'ל, ר '(2007). אלגברה יסודית חינוך פירסון,.
3. Baer, ​​R. (2012). אלגברה לינארית וגיאומטריה פרויקטיבית. תאגיד שליח.
4. Baldor, A. (1941). אלגברה הוואנה: תרבות.
5. Castaño, H. F. (2005). מתמטיקה לפני החישוב. אוניברסיטת מדיין.
6. Cristóbal Sánchez, M. (2000). מדריך מתמטי להכנת האולימפיאדה. אוניברסיטה.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). אלגברה מעולה.
8. מסרה, נ. (1995). מתמטיקה 3.