כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית?

משוואה ריבועית או משוואה של התואר השני יכולה להיות אפס, אחד או שניים פתרונות אמיתיים, בהתאם המקדמים המופיעים המשוואה האמורה.

אם אתה עובד על מספרים מורכבים אז אתה יכול לומר כי כל משוואה ריבועית יש שני פתרונות.

כדי להתחיל משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה ax² + bx + c = 0, כאשר a, b ו- c הם מספרים ממשיים ו- x הוא משתנה.

הוא אמר כי x1 הוא פתרון של המשוואה הריבועית הקודמת אם החלפת x על ידי x1 עונה על המשוואה, כלומר, אם (x1) ² + b (x1) + c = 0.

אם יש לך למשל את המשוואה x²-4x + 4 = 0, אז x1 = 2 הוא הפתרון מאז (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

להיפך, אם x2 = 0 מוחלף, אנו מקבלים (0) ²-4 (0) + 4 = 4 וכ 4 ≠ 0 ואז x2 = 0 אינו פתרון של המשוואה הריבועית.

פתרונות של משוואה ריבועית

ניתן להפריד בין מספר הפתרונות של משוואה ריבועית לשני מקרים:

1.- במספרים האמיתיים

כאשר עובדים עם מספרים ממשיים, משוואות ריבועיות יכולות להיות:

-פתרונות אפס: כלומר, אין מספר ממשי המספק את המשוואה הריבועית. לדוגמה, המשוואה שניתנה על ידי המשוואה x² + 1 = 0, אין מספר ממשי כזה העונה על משוואה זו, שכן הן x² גדול או שווה לאפס ו 1 הוא קפדני יותר מאפס, כך סכום שלו יהיה גדול יותר קפדנית כי אפס.

-פתרון חוזר: יש ערך ריאלי יחיד המספק את המשוואה הריבועית. לדוגמה, הפתרון היחיד למשוואה x²-4x + 4 = 0 הוא x1 = 2.

-שני פתרונות שונים: ישנם שני ערכים המספקים את המשוואה הריבועית. לדוגמה, x² + x-2 = 0 יש שני פתרונות שונים שהם x1 = 1 ו- x2 = -2.

2. - במספרים מורכבים

כאשר עובדים עם מספרים מורכבים משוואות ריבועי תמיד יש שני פתרונות אשר z1 ו z2 כאשר z2 הוא מצומד של z1. בנוסף הם יכולים להיות מסווגים ב:

-קומפלקסים: הפתרונות הם בצורת z = p ± qi, כאשר p ו- q הם מספרים ממשיים. מקרה זה מתאים למקרה הראשון של הרשימה הקודמת.

-קומפלקסים טהורים: הוא כאשר החלק האמיתי של הפתרון שווה לאפס, כלומר, הפתרון הוא בצורת z = qi, כאשר q הוא מספר ממשי. מקרה זה מתאים למקרה הראשון של הרשימה הקודמת.

-קומפלקסים עם חלק דמיוני שווים לאפס: הוא כאשר החלק המורכב של הפתרון שווה לאפס, כלומר, הפתרון הוא מספר ממשי. מקרה זה מתאים לשני המקרים האחרונים של הרשימה הקודמת.

כיצד מחושבים הפתרונות של משוואה ריבועית??

כדי לחשב את הפתרונות של משוואה ריבועית, נעשה שימוש בנוסחה הידועה בשם "המחליף", האומרת שהפתרונות של גרסת משוואה + bx + c = 0 ניתנים על ידי הביטוי של התמונה הבאה:

הכמות המופיעה בתוך השורש הריבועי נקראת המפלה של המשוואה הריבועית והיא מסומנת במכתב "d".

המשוואה הריבועית תהיה:

-שני פתרונות אמיתיים אם, ורק אם, d> 0.

-פתרון אמיתי חזר אם, ורק אם, d = 0.

-אפס פתרונות אמיתיים (או שני פתרונות מורכבים) אם, ורק אם, ד<0.

דוגמאות:

-הפתרונות של המשוואה x² + x-2 = 0 ניתנים על ידי:

-למשוואה x²-4x + 4 = 0 יש פתרון חוזר אשר ניתן על ידי:

-הפתרונות של המשוואה x² + 1 = 0 ניתנים על ידי:

כפי שניתן לראות בדוגמה האחרונה, x2 הוא המצמד של x1.

הפניות

1. מקורות, א. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחישוב. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד לפתור משוואה ריבועית. מרילו גארו.
3. Haeussler, E. F, & Paul, R. S. (2003). מתמטיקה למינהל וכלכלה. חינוך פירסון.
4. ג'ימנז, ג ', רופריגז, מ', & אסטרדה, ר '(2005). מתמטיקה 1 SEP. סף.
5. Preciado, C. T. (2005). קורס מתמטיקה 3 א. עריכה Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). אלגברה אני קל! כל כך קל. צוות רוק לחץ.
7. סאליבן, י. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. חינוך פירסון.