טכניקות ספירה טכנית, יישומים ודוגמאות

ה טכניקות ספירה הם סדרה של שיטות הסתברות לספור את המספר האפשרי של הסדרים בתוך קבוצה או מספר קבוצות של אובייקטים. אלה משמשים בעת ביצוע חשבונות באופן ידני הופך מסובך בשל מספר גדול של אובייקטים ו / או משתנים.

לדוגמה, הפתרון לבעיה זו הוא פשוט מאוד: לדמיין את הבוס שלך שואל אותך לספור את המוצרים האחרונים שהגיעו בשעה האחרונה. במקרה זה אתה יכול ללכת לספור את המוצרים אחד אחד.

עם זאת, לדמיין כי הבעיה היא זו: הבוס שלך שואל אותך לספור כמה קבוצות של 5 מוצרים מאותו סוג יכול להיווצר עם אלה שהגיעו השעה האחרונה. במקרה זה, החישוב הופך מסובך. מה שנקרא טכניקות לספור משמשים עבור סוג זה של המצב.  

טכניקות אלה הן אחדות, אך החשובות ביותר נחלקות לשני עקרונות בסיסיים, שהם הכפלה והתוסף; תמורות ושילובים.

אינדקס

• 1 עיקרון כפלי
  • 1.1 יישומים
  • 1.2 דוגמה
• עקרון נוסף 
  • 2.1 יישומים
  • 2.2 דוגמה
• 3 תמורות
  • 3.1 יישומים
  • 3.2 דוגמה
• 4 שילובים
  • 4.1 יישומים
  • 4.2 דוגמה
• 5 הפניות 

עקרון הכפל

יישומים

העיקרון הכפל, יחד עם התוסף, הם בסיסיים להבנת פעולת טכניקות הספירה. במקרה של הכפל, הוא כולל את הדברים הבאים:

תאר לעצמך פעילות הכוללת מספר מסוים של צעדים (סך הכל מסומן "r"), שבו הצעד הראשון יכול להיות מורכב של צורות N1, השלב השני של N2, צעד "r" של טפסים Nr. במקרה זה, הפעילות יכולה להתבצע ממספר הטפסים הנובעים מפעולה זו: N1 x N2 x ... xx nr טפסים

לכן עיקרון זה נקרא כפל, ומרמז כי כל אחד מהצעדים הדרושים לביצוע הפעילות חייב להיעשות בזה אחר זה. 

דוגמה

בואו נדמיין אדם שרוצה לבנות בית ספר. כדי לעשות זאת, שקול את הבסיס של הבניין ניתן לבנות בשתי דרכים שונות, בטון או בטון. באשר לקירות, הם יכולים להיות עשויים אדובי, מלט או לבנים.

באשר לגג, זה יכול להיות בנוי מלט או גיליון מגולוון. לבסוף, הציור הסופי יכול להיעשות רק בדרך אחת. השאלה המתעוררת היא: כמה דרכים צריך בית הספר לבנות??

ראשית, אנו רואים את מספר השלבים, אשר יהיה הבסיס, הקירות, הגג ואת הציור. בסך הכל, 4 שלבים, כך r = 4.

להלן יהיה לרשום את N:

N1 = דרכים לבנות את הבסיס = 2

N2 = דרכים לבנות את הקירות = 3

N3 = דרכים להפוך את הגג = 2

N4 = דרכים לעשות צבע = 1

לכן, מספר הצורות האפשריות יחושב על פי הנוסחה שתוארה לעיל:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 דרכים להשלמת בית הספר.

עקרון נוסף

יישומים

עיקרון זה הוא פשוט מאוד, והוא שבמקרה של מספר חלופות קיימות לביצוע אותה פעילות, הדרכים האפשריות מורכבות מסכום הדרכים השונות האפשריות לביצוע כל החלופות.

במילים אחרות, אם ברצוננו לבצע פעילות עם שלוש חלופות, שבהן ניתן לבצע את האלטרנטיבה הראשונה בצורות M, השנייה בצורות N והאחרונה בצורות W, ניתן לבצע את הפעולות הבאות: M + N + ... + W טפסים.

דוגמה

תאר לעצמך הפעם אדם שרוצה לקנות מחבט טניס. לשם כך, יש לה שלושה מותגים לבחירה: וילסון, Babolat או ראש.

כאשר הוא הולך לחנות הוא רואה כי מחבט וילסון ניתן לקנות עם הידית של שני גדלים שונים, L2 או L3 בארבעה דגמים שונים יכול להיות מתוח או בלי stringing.

מחבט Babolat, לעומת זאת, יש שלוש ידיות (L1, L2 ו L3), ישנם שני דגמים שונים והוא יכול להיות גם מתוח או בלי stringing.

מחבט הראש, לעומת זאת, הוא רק עם ידית אחת, L2, בשני דגמים שונים ורק בלי מחרוזת. השאלה היא: כמה דרכים אדם זה צריך לקנות את המחבט שלו??

M = מספר דרכים לבחירת מחבט וילסון

N = מספר דרכים לבחירת מחבטי Babolat

W = מספר דרכים לבחירת מחבט ראשי

אנחנו עושים את עיקרון מכפיל:

M = 2 x 4 x 2 = 16 טפסים

N = 3 x 2 x 2 = 12 טפסים

W = 1 x 2 x 1 = 2 טפסים

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 דרכים לבחור מחבט.

כדי לדעת מתי להשתמש עיקרון הכפל ואת התוסף, אתה רק צריך לבדוק אם הפעילות יש סדרה של צעדים להתבצע, ואם יש כמה חלופות, התוסף.

תמורות

יישומים

כדי להבין מהו תמורה, חשוב להסביר מהו שילוב כדי להבדיל ביניהם ולדעת מתי להשתמש בהם.

שילוב יהיה סידור של אלמנטים שבהם איננו מעוניינים בעמדה שכל אחד מהם תופס.

תמורה, לעומת זאת, תהיה סידור של אלמנטים שבהם אנו מעוניינים בעמדה שכל אחד מהם כובש.

בואו לתת דוגמה כדי להבין טוב יותר את ההבדל.

דוגמה

תארו לעצמכם כיתה עם 35 תלמידים, ובמצבים הבאים:

1. המורה רוצה שלושה מתלמידיו שיסייעו לו לשמור על הכיתה נקייה או לספק חומרים לתלמידים אחרים כאשר הוא צריך את זה.
2. המורה רוצה למנות את נציגי הכיתה (נשיא, עוזר ומממן).

הפתרון יהיה כדלקמן:

1. תארו לעצמכם כי על ידי הצבעה חואן, María ו Lucía נבחרים לנקות את הכיתה או לספק את החומרים. ברור, קבוצות אחרות של שלושה אנשים היו יכולים להיווצר, בין 35 תלמידים אפשריים.

עלינו לשאול את עצמנו את הדברים הבאים: האם חשוב לסדר או למשרה שכל אחד מהתלמידים תופסים בעת בחירתם??

אם אנחנו חושבים על זה, אנחנו רואים שזה באמת לא חשוב, שכן הקבוצה תטפל בשתי המשימות באופן שווה. במקרה זה, זה שילוב, כי אנחנו לא מעוניינים בעמדה של האלמנטים.

2. עכשיו דמיינו שג'ון נבחר כנשיא, מריה כעוזרת ולוצ'יה כספית.

במקרה זה, האם ההזמנה תהיה חשובה? התשובה היא כן, כי אם נשנה את האלמנטים, התוצאה תשתנה. כלומר, אם במקום לשים את חואן כנשיא, שמנו אותו כעוזר, ומריה כנשיא, התוצאה הסופית תשתנה. במקרה זה זהו תמורה.

לאחר הבדל ההבדל, נוכל לקבל את נוסחאות של תמורות ושילובים. עם זאת, תחילה עלינו להגדיר את המונח "n!" (ב Factory), שכן הוא ישמש את נוסחאות שונות.

n! = למוצר בין 1 ל n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x x x n

שימוש זה עם מספרים אמיתיים:

10 = 1 x 2 x 3 x 4 x x 10 = 3,628,800

 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x x 5 = 120

הנוסחה של הפרמוטציות תהיה כדלקמן:

nPr = n! / (n-r)!

עם זאת אנו יכולים למצוא את ההסדרים שבהם סדר חשוב, והיכן n אלמנטים שונים.

שילובים

יישומים

כפי שכבר הערנו בעבר, השילובים הם הסדרים שבהם לא אכפת לנו את המיקום של האלמנטים.

הנוסחה שלה היא כדלקמן:

nRr = n! / (n-r) r!

דוגמה

אם יש 14 תלמידים שרוצים להתנדב לנקות את הכיתה, כמה קבוצות ניקיון יכולות כל קבוצה להיווצר על ידי 5 אנשים??

הפתרון, אם כן, יהיה כדלקמן:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5) 5! 14 = / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5 = 2002 2002 קבוצות

הפניות

1. ג 'פרי, R.C., הסתברות ואמנות השיפוט, הוצאת אוניברסיטת קיימברידג '. (1992).
2. ויליאם פלר, "מבוא לתורת ההסתברות וליישומיה", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. פינטי, ברונו דה (1970). "יסודות לוגיים ומדידה של הסתברות סובייקטיבית". פסיכולוגי.
4. הוג, רוברט נ. קרייג, אלן; McKean, Joseph W. (2004). מבוא לסטטיסטיקה מתמטית (כרך 6). נהר האוכף העליון: פירסון.
5. פרנקלין, י. (2001) המדע של השערות: ראיות והסתברות לפני פסקל,ג 'ונס הופקינס.